cune contre les deux autres fuivant ces lignes, feroient toûjours (part. 3.) en équilibre entr'elles; & qu'en ce cas d'équilibre entre ces trois puiffances P,R, K, elles feroient auffi toûjours entr'elles (Th. 1. Corol. 4.) comme les finus de ces mêmes angles EAC, EAB, BAC, que leurs directions ou cordes prolongées traverseroient.

Voilà jufqu'ici pour trois puiffances trois puiffances en équilibre avec des cordes feulement, ou pour des poids ainfi foûtenus chacun par deux puiffances. Voici prefentement pour ceux qui le feroient par quelque nombre de puiffances quelconques qu'on voudra, & de directions auffi quelconques : le Th. 1. en va encore être le fondement, ainsi qu'il l'a déja été des deux qui le fuivent.

THEOREME IV.

1. Tant de puiffances P, Q, R, S, &c. qu'on voudra, FIG. 60. dirigées à volonté dans tels plans qu'on voudra aussi, foûte- 61, 62, 63à nant en équilibre un poids quelconque Kavec des cordes feulement attachées enfemble parun næud commun A(la méme chofe fe dira de chacun des nauds des cordes qui en ont plufieurs, de chacun defquels partent plufieurs cordons, ou branches de corde) auquel ce poids K eft fufpendu: l'effort refultant du concours de toutes ces puissances contre ce poids ainfi en équilibre avec elles, fera toûjours fuivant la direction KA de ce méme poids en fens directement contraire, & égal à sa pesan

teur.

II. Ce poids K ainfi en équilibre avec toutes ces puissances P, Q, R, S, &c. fera toûjours à chacune d'elles en raifan de la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme dans le Corol. 1.du Lem. 10.& dans le Lem. I I. à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. de ces mêmes puissances.

III. Ce même poids Ken équilibre avec toutes ces puissances P, Q, R, S, &c. fera auffi toûjours alors à chacune d'elles comme le produit de leur nombre (quel qu'il foit) par la diftance de leur centre principal d'équilibre au naud commun A de toutes leurs cordes, eft à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c.de ces mêmes puissances.

R

IV. Reciproquement fi le poids Keft à chacune de ces puif fances P, Q, R, S, &c. en quelqu'une des raifons marquées dans les part. 2. 3. & qu'il foit directement contraire à l'effort refultant de leur concours : il fera en équilibre avec elles.

PART. I. Les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. font voir que puifque (Hyp.) il y a ici équilibre entre le poids K & l'effort refultant du concours des puiffances P, Q, R, S, &c. contre lui; cet effort doit être dire&tement contraire & égal à la pefanteur de ce poids Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. Soient (comme dans le Corol. r. du Lem.. 10. & dans le Lem. 1 r.) les parallelogrammes ABHC, AHGE, AGDF, &c. le premier ABCH, fait de deux quelconques AB, AC, des proportionnelles aux puiffan ces fuppofées; le fecond AHGE, fait de la diagonale AH de celui-ci, & d'une troifiéme AE quelconque de ces proportionnelles ; le troifiéme AGDF, fait de la diagonale AG de ce fecond parallelogramme, & d'une quatrième auffi quelconque AF de ces mêmes proportionnelles ; & ainfi de fuite en quelque nombre qu'elles foient. Je dis donc que la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, par exemple AD, s'il n'y en a que trois, ou que quatre puiflances avec le poids, comme ici pour ne pas accabler l'efprit par la multitude des lignes, fera toujours à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, des puiflances P,Q,R,S, comme le poids K à chacune de ces puiffances fuppofées en équilibre avec lui.

Car (Lem. 3. Corol. 10.) l'effort refultant du concours de toutes ces puiffances P, Q, R,S, fe fait de A vers D, fuivant cette derniere diagonale AD, & eft à chacune de toutes ces puiffances comme cette derniere diagonale AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Or (part. 1.) dans l'équilibre fuppofé entre le poids K & ces puiffances P, Q, R, S, cet effort refultant de leur concours de A vers D fuivant AD, eft directement

contraire & égal à la pefanteur de ce poids. Donc en ce cas d'équilibre non feulement cette derniere diagonale AD eft toûjours en ligne droite avec la direction AK de ce poids; mais encore ce poids K eft aussi toûjours à chacune des puiffances P, Q, R, S, comme cette derniere diagonale AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. La même chofe fe trouvera de même pour tout autre nombre de puiffances ainfi en équilibre avec quelque poids que ce foit. Donc en general un poids ainfi en équilibre avec tant de puiflances qu'on voudra, , par le moyen de plufieurs cordons iffus d'un feul noeud, fera toûjours à chacune de ces puiffances comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme ci-deffus, fera à chacune de leurs proportionnelles. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

PART. III. Soient encore fur les cordes ou directions F16. 62. AP, AQ, AR, AS, &c. des puiffànces P, Q, R, S, &c. 63. en équilibre (Hyp.) avec le poids K, leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. Par les extrêmitez B, C, de deux quelconques AB, AC, d'entr'elles foit la droite BC, du milieu G de laquelle foit menée GE à l'extrêmité E d'une troifiéme quelconque AE de ces proportionnelles, laquelle GE foit divifée en H, de maniere qu'on ait HE. HG : : 2. 1. De ce point Hà l'extrêmité F de la proportionnelle AF foit auffi menée HF, laquelle foit pareillement divifée en L, de maniere qu'on ait LF. LH:: 3. 1. Et ainfi de fuite fuivant les Corol. 2. 3. 4. du Lem. 11. s'il y avoit ici plus de quatre puiffances avec le poids. Le Corol. S.. du même Lemme 11. fait voir que l'effort resultant du concours des quatre puiffances P, Q, R, S, fera ici de A vers L fuivant AL, & à chacune de ces puiffances comme 4×AL eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc cet effort devant être ici (part. 1.) directement contraire & égal à la pefanteur du poids K (Hyp.) en équilibre avec lui; ce poids K fera pareillement ici à chacune des puiffances P,Q, ·R, S, comme 4×AL eft à chacune de leurs proportion

FIG. 60.

nelles AB, AC, AE, AF. Or ( Déf. 13.) L eft le centre principal d'équilibre de ces quatre puiffances P, Q, R, S. Donc le poids K ici (Hyp.) en équilibre avec elles, doit non feulement y avoir fa direction KA fuivant AL; mais encore y être à chacune de ces puiflances P, Q R., S, comme le produit 4×AL de leur nomb. 4. par la distance AL de leur centre principal L d'équilibre au noeud commun A de toutes leurs cordes, eft à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, de ces quatre. puiffances.

n

Les Corol. 2. 3. 4. 5. du Lem. 1 1. qui pour le cas de quatre puiflances en équilibre avec un poids donnent ce rapport de 4xAL à leurs proportionnelles, donneroient de même le rapport de nxAL aux proportionnelles de tel nombre de puissances qu'on voudroit ainfi en équilibre avec un poids, & ce poids dirigé fuivant AL, fi L étoit le centre principal d'équilibre de toutes ces puiffances. Donc en general, quelque foit le nombre de puiffances dirigées à volonté dans quelque nombre de plans que ce foit, lefquelles foutiennent toutes enfemble en équilibre un poids K auffi quelconque avec des cordes feulement, qui partent toutes d'un même noeud commun A.; ce poids ainfi en équilibre avec toutes ces puilances, non feule-· ment aura fa direction fuivant la ligne menée de ce point A au centre principal d'équilibre de toutes ces puiffances; mais encore il fera toujours alors à chacune d'elles comme le produit de leur nombre par la diftance du nœud A à leur centre principal d'équilibre, sera à chacune de leurs p:oportionnelles. Ce qu'il falloit 3°..dé

montrer.

PART. IV. Le poids K étant ici fuppofé aux puiffances 61. 62. 63. P, Q, R, S, &c. appliquées comme ci-deffus en celle qu'on voudra des raifons marquées dans les part. 2. 3.il leur fera (Lem. 3. Corol. 10. & Lem. 11. Corol.. 5.) en même raison que l'effort refultant de leur concours contre lui; & par confequent ce poids fera égal à cet effort. Donc ce même poids K étant auffi (Hyp.) directement

contraire à ce même effort, il doit (Ax. 3.) demeurer en équilibre avec lui; c'eft-à-dire, avec les puiffances P, Q, R, S, &c. du concours defquelles cet effort réfulté. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.·

COROLLAIRE I

La part. 2. 2. démontrée en fe fervant de parallelogrammes, le prouve encore par la part. 3. fans en faire aucun; & reciproquement cette part. 3. démontrée fans parallelogrammes, fe prouve aufli par ceux de la part. 2. Car,

1°. Le poids K étant en équilibre comme dans le com- F1 G. 62 mencement des démonftrations de ces part. 2. 3. avec 63. les quatre puiffances P, Q, R, S, feulement; fi l'on prend AD 4xAL fur AL prolongée dans les Fig. 62. 63. cette AD fera (Lem. 11.) la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient été faits en A ( comme dans la démonstration de la part. z.) des proportionnelles AB, AC, AE, AF, de ces quatre puiffances P, Q, R, S. Donc fuivant la démonftration de la part. 3. cette derniere diagonale AD fera encore ici non feulement en ligne droite avec la direction AK du poids K; mais auffi à chacune de ces proportionnelles AB, AC, AE, AF, des puiffances P, Q, R, S, comme ce poids eft à cha- cune de ces puiffances. On le déduira encore de même des Corol. 2. 3. 4. 5.du Lem. I I. pour tout autre nombre de puiffances quelconques dirigées à volonté, & fuppofées ainfi en équilibre avec le poids K. Donc encore en general un poids quelconque ainfi foutenu en équilibre par tant de puiflances auffi quelconques qu'on voudra, de directions pareillement quelconques qui rencontrent toutes celle du poids en un même noeud ou point A, fera toujours alors à chacune de ces puiffances, comme la diagonale du dernier des parallelogrammes, qui feroient faits en A de la même maniere que dans la démonftration de la part. 2. feroit à chacune des proportionnelles de ces mêmes puiffances. Ce qui eft cette