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cune contre les deux autres suivant ces lignes , seroient toujours (part. 3. ) en équilibre entr'elles ; & qu'en ce cas d'équilibre entre ces trois puissances P.,R,K, elles seroient aussi toûjours entr'elles ( Th. 1. Corol. 4.) comme les sinus de ces mêmes angles EAC, EAB, BAC, que leurs directions ou cordes prolongées traverseroient.

Voilà jusqu'ici pour trois puissances en équilibre avec des cordes seulement , ou pour des poids ainsi soutenus chacun par deux puissances. Voici presentement pour ceux qui le seroient par quelque nombre de puissances quelconques qu'on voudra, o de directions aussi quelconques : le Th. 1. en va encore étre le fondement , ainsi qu'il l'a déja été des deux qui le suivent.

THEOREME I V. 1. Tant de puissances P, Q, R, S,&c. qu'on voudra , F 16.60. dirigées à volonté dans tels plans qu'on voudra aussi , soûte- 61. 62. 63. nant en équilibre un poids quelconque Kavec des cordes seulement attachées ensemble par un næud commun Alla méme chose se dira de chacun des næuds des cordes qui en ont plusieurs., de chacun desquels partent plusieurs cordons , ou branches de corde ) auquel ce poids K est suspendu : l'effort resultant du concours de toutes ces puissan

puissances.contre ce poids ainsi en équilibre avec elles , sera toûjours suivant la direction KA de ce méme poids en sens directement contraire, & égal à sa pesan

II. Ce poids K ainsi en équilibre avec toutes ces puissances P.2, R, S,&c. sera toûjours à chacune d'elles en raison de la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme dans le Corol. 1. du Lem. 10.8 dans le Lem. 11. à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. de ces mêmes puissances.

ÚI. Ce même poids Ken équilibre avec toutes ces puissances P, R, r, s, &c. sera aussi toûjours alors à chacune d'elles comme le produit de leur nombre ( quel qu'il soit ) par la distance de leur centre principal d'équilibre au næud commun A de toutes leurs cordes , eft à chacune des proportionnelles AB, AC, AE , AF, & s. de ces mêmes puissances.

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teur.

3

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FIG.591

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IV. Reciproquement si le poids K eft à chacune de ces puif Santes P, Q, R, S, &c. en quelqu'une des raisons marquées dans les part. 2. 3.& qu'il soit directement contraire à l'effort refultant de leur concours i il sera en équilibre avec elles.

DEMONSTRATION... PART. I. Les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. font voir que puisque ( Hyp. ) il y a ici équilibre entre le poids K & l'effort resultant du concours des puissances P,Q,R,S, &c. contre lui ; cet effort doit être direetement contraire & égal à la pesanteur de ce poids Ce qu'il falloit 1o. démontrer.

Part. I I. Soient (comme dans le Corol. 1. du Lem. 10.& dans le Lem. 11.) les parallelogrammes ABHC, AHGE, AGDF, &c. le premier ABCH, fait de deux quelconques AB, AC, des proportionnelles aux puissances supposées ; le second AHGE , fait de la diagonale AH de celui-ci, & d'une troisiéme AE quelconque de ces proportionnelles ; le troisiéme AGDF, fait de la diagonale AG de ce second parallelogramme, & d'une quatrieme aussi quelconque AF de ces mêmes proportionnelles ; & ainsi de suite en quelque nombre qu'elles soient. Je dis donc

que la diagonale du dernier de ces parallelogrammes, par exemple AD, s'il n'y en a que trois , ou que quatre puissances avec le poids, comme ici pour ne pas accabler l'esprit par la multitude des lignes , sera toùjours à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, des puissances P,Q,R,S, comme le poids K à chacune de ces puissances supposées en équilibre avec lui.

Car ( Lem. 3. Corol. 10.) l'effort resultant du concours de toutes ces puissances P,Q,R,S, se fait de A vers D, suivant cette derniere diagonale AD, & est à chacune de toutes ces puissances comme certe derniere diagonale AD est à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Or (part. 1.) dans l'équilibre supposé entre le poids K & ces puissances P, Q, R, S, cet effort resultant de leur concours de A vers D suivant AD, eft directement

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2

contraire & égal à la pesanteur de ce poids. Donc en ce cas d'équilibre non seulement cette derniere diagonale AD est toûjours en ligne droite avec la direction AK de ce poids ; mais encore ce poids K est aussi toûjours à cha, cune des puissances P, Q,R,S, comme cette derniere diagonale AD est à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. La même chose se trouvera de même pour tout autre nombre de puissances ainfi en équilibre avec quelque poids que ce soit. Donc en general un poids ainsi en équilibre avec tant de puissances qu'on voudra , par le moyen de plusieurs cordons issus d'un seul næud, sera toûjours à chacune de ces puissances comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme ci-dessus , sera à chacune de leurs proportionnelles. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

PART. III. Soient encore sur les cordes ou directions Fie. 02. AP, AQ, AR, AS, &c. des puissances P, Q, R, S, &c. 63. en équilibre ( Hyp.) avec le poids ķ , leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. Par les extrêmitez B, C, de deux quelconques AB, AC, d'entr'elles soit la droite BC, du milieu G de laquelle soit menée GE à l'extrêmité E d'une troisiéme quelconque AE de ces proportionnelles , laquelle GE soit divisée en H, de maniere qu'on ait HE. HG :: 2. 1. De ce point Hà l'extrêmité F de la proportionnelle AF soit aussi menée HF , laquelle soit pareillement diviséeen L, de maniere qu’on air LF.LH:: 3. 1. Et ainsi de suite suivant les Corol. 2. 3.4. du Lem. 11. s'il y avoit ici plus de quatre puissances avec le poids. ş. du même Lemme 11. fait voir que

l'effort resultant du concours des quatre puissances P, Q, R, S, sera ici de A vers L suivant AL; & à chacune de ces puissances comme 4xAL est à chacune de leurs

proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc cet effort devant être ici (part. 1. ) directement contraire & égal à la pefanteur du poids K ( Hyp.) en équilibre avec lui ; ce poids K sera pareillement ici à chacune des puissances P, Q, R, S, comme 4xAL eft à chacune de leurs proportion

Le Corol.

nelles AB, AC, AE, AF. Or | Déf. 13.) L est le centrs
principal d'équilibre de ces quatre puissances P, Q, R,.
S. Donc le poids K ici ( Hyp:) en équilibre avec elles,
doit non seulement y avoir la direction KA suivant AL;.
mais encore y être à chacune de ces puissances P, Q,
R., S, comme le produit 4xAL de leur nomb. 4: par la
distance AL de leur centre principal L d'équilibre au
neud commun A de toutes leurs cordes , est à chacune
des proportionnelles AB, AC, AE, AF, de ces quatre
puissances.
Les Corol. 2: 3.4: 5:du Lem: 18: qui pour le cas de

.
quatre puissances en équilibre avec un poids donnent ce
rapport de 4xAL à leurs proportionnelles, donneroient
de même le rapport de nxAL aux proportionnelles de tel
nombre n de puissances qu'on voudroit ainsi en équilibre
avec un poids , & ce poids dirigé suivant AL, li L écoit
le centre principal d'équilibre de toutes ces puissances.
Donc en general, quelque soit le nombre de puissances
dirigées à volonté dans quelque nombre de plans que ce
soit, lesquelles soutiennent toutes ensemble en équilibre
un poids Kaussi quelconque avec des cordes seulement,
qui partent toutes d'un même næud commun A.; ce poids
ainli en équilibre avec toutes ces puiilances, non seule-:
ment aura sa direction suivant la ligne menée de ce point
A au centre principal d'équilibre de toutes ces puissan-
ces ; mais encore il lera toujours alors à chacune d'elles
.comme le produit de leur nombre par la distance du
næud A à leur centre principal d'équilibre, sera à cha-
cune de leurs p:oportionnelles.Ce qu'il falloit 3o. dé-

Part. IV. Le poids K étant ici supposé aux puissances 61. 62. 63. P, Q, R, S, &c. appliquées comme ci-dessus en celle

qu’on voudra des raisons marquées dans les part. 2. 3.il leur sera ( Lem. 3. Corol. 10. @ Lem. II. Corol. s.) en même raison que l'effort resułtant de leur concours contre lui; & par consequent ce poids sera égal à cet effort. Donc ce même poids K étant aussi ( Hyp..

) directement

montrer.

FIG. 60.

contraire à ce même effort , il doit ( Ax. 3. ). demeurer en équilibre avec lui ; c'est-à-dire, avec les puissances P, Q, R, S, &c. du concours desquelles cet effort résulté. Ce qu'il falloit 4o. démontrer.

COROLLAIRE I.

prouve aukti

par ceux de la

La part. 2. démontrée en se servant de parallelogram-mes, le prouve encore par la part. 3. sans en faire aucun; & reciproquement cette part. 3. démontrée sans parallelogrammes, se

part. 2. Car, 1°. Le-poids K étant en équilibre comme dans le com- F1 6.628 mencement des démonstrations de ces part. 2. 3. avec 63. les quatre puissances P, Q, R, S, seulement; si l'on prend AD=4*AL sur AL prolongée dans les Fig. 62. 63. cette AD sera (Lem. 11.) la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient été faits en A ( comme dans la démonstration de la part. zi) des proportionnelles AB, AC, AE, AF, de ces quatre puillances P, Q, R , S. Donc suivant la démonstration de la part. 3. certe derniere diagonale AD sera encore ici non seulement en ligne droite avec la direction AK du poids K; mais ausli à chacune de ces proportionnelles AB, AC, AE, AF, des puissances P, Q, R, S, comme ce poids eft à chacune de ces puissances. On le déduira encore de même des Corol. 2. 3. 4. 5. du Lem. 11. pour tout autre nombre de puislances quelconques dirigées à volonté, & supposées ainsi en équilibre avec le poids K. Donc encore en general un poids quelconque ainsi soutenu en équilibre par tant de puisances auffi quelconques qu'on voudra, de directions pareillement quelconques qui rencontrent toutes celle du poids en un même næud ou point A , sera toujours alors à chacune de ces puissances, comme la diagonale du dernier des parallelogrammes , qui seroient faits en A de la même maniere que

dans la démonitration de la part. 2. feroit à chacune des proportionnelles de ces mêmes puissances. Ce qui est cette

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