COROLLAIRE IV.

La part. 4. du prefent Th. 4. donne encore le reciproque des deux précedens Corol. 2. 3. fçavoir, que tant de puiflances quelconques qu'on voudra au-deffus de trois, fucceffivement appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un feul noeud commun, & de directions données à volonté, peuvent être entr'elles dans une infinité de rapports differens, & cependant faire toujours équilibre fuivant ces mêmes directions, pourvû (Lem. 17. Corol. 2.) que ces directions foient répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demi-fphere, dont le nœud commun de ces cordons foit le centre, & que pour le cas de quatre cordons leurs directions données foient toutes en même plan: tous les autres cas de plus de quatre cordons les auront en tels plans qu'on voudra, ainsi qu'on le verra dans le Prob. de la Sect. IX. avec les précautions qu'il faut prendre pour trouver ce dont il s'agit ici, lefquelles nous y engageroient à une trop grande digreffion: c'eft pour cela que nous n'y allons parler que de directions données quelconques en même plan au deffus de trois, & répandues en plus d'un demicercle, foient donc, par exemple, dans les Fig. 60. 61: F10.69) en même plan, & répandues en plus d'un demi-cercle les directions données AP, AQ, AR, AS, AK, fuivant lefquelles les cinq puiffances P, Q, R, S, K, foient en équilibre entr'elles; la part. 4. fait voir, dis-je, qu'une infinité d'autres puiffances cinq à cinq peuvent encore être fucceffivement en équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, quoique ces nouvelles puiffances de chaque fois cinq, foient entr'elles dans des rapports tout differens de ceux de celles-là, & de toute autre fois cinq. Pour le voir, fur une quelconque des directions données, par exemple, fur KA prolongée vers D, foit prife AD à volonté,& de même AF à volonté fur telle autre AS qu'on voudra de ces directions données ; foit le parallelogramme AFDG, dont AD foit la diagonale; de

61.

63.

même ayant pris AE à volonté fur une troifiéme quelconque AR de ces directions, foit achevé le parallelogramme AEGH, dont AG foit la diagonale. Enfin (puisqu'il n'y a ici que cinq directions données) fur les deux autres directions AP, AQ, foient menées les droites HB, HC, qui leur foient reciproquement paralleles, & qui avec elles faffent le parallelogramme BACH, dont AH foit la diagonale.

Cela fait, la part. 2. fait voir que fi l'on applique aux directions données AP, AQ, AR, AS, AK, autant de puiffances P, Q, R, S, K, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, AD; toutes ces puissances ainsi dirigées feront en équilibre entr'elles. Donc toutes ces proportionnelles (hors AC, AB, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente; toutes les puiffances P, Q, R, S, K, le font auffi, hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent faire successivement équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions données AP, AQ, AR, AS, AK; & ainfi de tout autre nombre de directions données, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requifes, excepté s'il n'y en avoit que trois; car le Th. L. fait voir que s'il n'y avoit que trois directions, ou que trois cordes de directions données, le rapport des trois puiffances requifes pour fai re équilibre entr'elles fuivant ces trois directions, feroit auffi donné, & confequemment invariable.

COROLLAIRE V.

4.

fe

La même chofe que dans le précedent Corol. peut encore déduire de la part. 4. fans faire aucun paFIG. 6. rallelogramme. Pour cela fur une quelconque des cinq directions données AP, AQ, AR, AS, AK, par exemple, fur KA prolongée du côté A, foit prife AL à vofonté, & encore AE, AF, à volonté fur deux autres quel conques AS, AR, des quatre directions restantes ; foit la

droite FL prolongée vers H de maniere qu'on ait FL HL:: 3.1. n'y ayant ici (Hyp.) que cinq directions données: le nomb. 1. du Corol. 4. du Lem. 1 1, auquel il y auroit ici une puiffance à ajouter oppofée à l'impreffion refultante du concours de toutes les autres, fait voir que s'il y en avoit ici tel autre qu'on voudra, fait de l'unité ajoutée au nombre quelconque n de toutes celles-là, il y faudroit FL. LH::m-2. 1. Puifque le nombre de toutes ces puiffances ensemble étant m=n+I. donne m-21. Après cela menez EH prolongée vers G, de maniere que vous ayez EH.HG:: 2. 1. Enfin par le point G menez ( Lem. 1 3.) la droite BC telle que ce point & la divife en deux parties égales.

Cela fait, la part. 4. du prefent Th. 4. fait voir que ទ l'on applique aux directions données AP, AQ, AR, AS, AK, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, 4xAL; toutes ces puiffances feront en équilibre entreelles. Donc toutes ces proportionnelles AB, AC, AE, AF, 4×AL (hors AB, AC, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente, toutes les puiffances P, Q, R, S, K, le font auffi, hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent fucceffivement faire équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions. données au deffus de trois, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requifes, ainfi qu'on l'a déja vû dans le précedent Corol. 4.

COROLLAIRE VI

Les quatre derniers Corollaires 2. 3. 4. 5. font voir que non feulement tant de puiffances données qu'on voudra au deffus de trois, appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un noeud commun, peuvent deimeurer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune, mais. encore que fi les directions de ces cordes font données

répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demifphere, dont ce noeud commun foit le centre: les puiffances qui y feront fucceffivement appliquées, peuvent être entr'elles en une infinité de rapports differens, & cependant faire toujours équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, excepté lorfqu'il n'y en a que quatre en plus d'une demi-sphere : le premier fe voit dans les Corol. 2. 3. le fecond dans les Corol. 4. 5. de forte que fuivant ces quatre Corollaires tant de puiffances données qu'on voudra au deffus de trois, peuvent faire équilibre entr'elles fuivant autant de directions variées à l'infini; & reciproquement tant de directions qu'on voudra étant données répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demi-sphere, autant de puiffances de rapports variez à l'infini, peuvent faire équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, excepté lorfqu'il n'y en a que quatre en plus d'une demi-fphere, le rapport des puiffances étant invariable en ce cas, ainfi qu'on le verra dans le Probl, 9. de la Section I.

COROLLAIRE VII.

S'il n'y a que trois puiffances P, Q, R, qui résistent au poids K avec trois cordes feulement AP, AQ, AR, dirigées à volonté fuivant differens plans, du nœud com mun A de ces cordes auquel eft auffi attachée celle du poids K, foient prifes fur elles des parties AB, AC, AE, proportionnelles à ces trois puiffances P, Q, R,qui leur font appliquées; de ces trois proportionnelles AB, AC, AE,comme côtez, foit fait le parallelepipede BACFDHEG, avec fa diagonale AD.

1°. Il fuit de la part. 1. de ce Théoreme-ci, que fi le poids K demeure ainfi en équilibre avec les trois puiffances P, Q, R, l'effort refultant du concours de ces trois puiffances fera toujours fuivant la direction KA de ce poids en fens contraire, & égal à fa pefanteur. Mais le parallelogramme ABFC étant (Hyp.) fait de deux AB, AC, des trois proportionnelles AB, AC, AE ; & le paral

lelogramme AEDF fait enfuite (Hyp.) de la diagonale AF de celui-là, & de la troifiéme proportionnelle AE; cet effort refultant du concours des trois puiffances P, Q, R, contre le poids K, doit fe faire (Lem. 3. Corol. 10.) de A vers D fuivant la diagonale AD de ce dernier parallelogramme & tout à la fois du parallelepipede BACFDHEG, doit (en cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, R,) être en ligne droite avec la direction. AK du poids K, c'est-à-dire, qu'alors cette direction KA prolongée doit paffer par l'angle D de ce parallelepipede.

2o. Il fuit auffi de la part. 2. de ce Théoreme-ci, qu'en ce cas d'équilibre entre le poids K & les trois puiffances P, Q, Rce poids doit être à chacune de ces puiffances, comme la diagonale AD du parallelepipede BACFDHEG eft à chacun de fes trois côtez AB, AC, AE, pris ( Hyp.) fur les directions de ces trois puifances; puifque l'effort refultant de leur concours contre ce poids, lui (nomb. 1.) eft égal, & eft ( Lem. 3. Corol. 10.) en cette raifon à chacune de ces trois puiffances.

30. Il fuit reciproquement de la part. 3. de ce Théore-me-ci, que fi la diagonale AD du dernier des deux parallelogrammes ABFC, AFDE, ou du parallelepipede BACFDHEG, eft en ligne droite avec la direction AK du poids K, c'est-à-dire, fi cette direction KA prolongée paffe par l'angle D de ce parallelepipede, & que ce poids. foit à chacune de ces trois puiffances P, Q, R, comme la diagonale AD de ce même parallelepipede eit à chaeun de fes trois côtez AB, AC, AE, pris fur leurs directions; ces trois puiffances foûtiendront enfemble ce poids en équilibre avec elles: puifque (nomb. 1.) l'effort resultant de leur concours contre ce poids, lui fera dire&tement contraire & égal.

COROLLAIRE VIH.

Les trois puiffances P, Q, R, tirant encore contre le Fict of poids K comme dans le précedent Corol. 7. avec des directions quelconques dans des plans differens, fur lefquel-