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sel autre nombre de puissances quelconques qu'on voudra, plus grand que trois.

COROLLAIRE III.

Ce qu'on vient de voir de la part. 4. dans le précedent Corol. 2. fur les Fig. 60. 61. par la voye des parallelogrammes qu'on a tenue dans la démonstration de la part. 2. fe peut encore déduire de cette même part. 4. fur les Fig. 62. 63. fans parallelogrammes, en fuivant la voye. qu'on a tenue dans la démonftration de la

part. 3.

Car fi après avoir encore conduit à volonté dans des FIG. 62 plans quelconques les direction AP, AQ, AR, &c. de 63. toutes les puiffances données P, Q, R, S, K, &c. à la referve de celles AS, AK, de deux quelconques S, K, de ces puiffances, & avoir pris fur ces directions arbitraires AP, AQ, AR, &c. depuis leur concours A, des parties AB, AC, AE, &c. proportionnelles aux puiffances P, Q, R, &c. qu'on leur deftine; foit menée par les extrêmitez B, C, de deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles, la droite BC; du milieu G de cette ligne foit enfuite menée à l'extrêmité E d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles, une feconde droite GE, laquelle foit divifée en H,de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. De ce point H à l'extrêmité d'une quatrième quelconque de ces proportionnelles foit menée de même une troifiéme droite, laquelle foit divifée en deux parties telles que celle du côté de cette quatriéme proportionnelle foit à l'autre du côté de G:: 3.1. ainfi que dans la démonstration de la part. 3. .conformément aux Corol. 2. 3. 4. du Lem. 1 1. quelque nombre de puiffances données quelconques qu'on fuppofe juf qu'à la derniere de celles qu'on aura dirigées à volonté, laquelle eft ici R. Enfuite fuivant le Lem. 14. foient du point A menées dans quelque plan que ce foit, les lignes AF==xAB, AL=x^, de maniere que la droite HF menée de H à l'extrêmité F de ces deux-là foit divifée en S

K AB

L par la feconde AL, en parties FL, LH, telles qu'on ait FL. LH:: 3, 1. Ce qui eft facile par le Lem. 14 Après cela foient dirigées fuivant AF, & fuivant LA prolongée vers K, les deux puiffances S,K, refervées cideffus pour les dernieres.

Il eft vifible que cette construction donnera non feulement AB, AC, AE, AF, 4×AL, en raifon des puiffances P, Q, R, S,K, dirigées fuivant ces lignes; mais encore BG GC, avec EH.HG:: 2. 1. Et FL. LH:: 3. 1. ainfi que dans la démonstration de la part. 3. Donc (part. 4.) toutes ces puiffances feront ici en équilibre entr'elles: de plus les directions arbitraires de toutes, excepté des deux dernieres S, K, dont les directions doivent varier avec celles-là, font voir auffi que cet équilibre peut arriver avec une infinité de directions differentes de ces mêmes puiffances. Il en fera de même de tel autre nombre de puiffances données quelconques qu'on voudra, pourvû (Schol. du Th. :) qu'il ne foit pas moindre que quatre, le nombre & le rapport de celles-ci entr'elles étant pareillement arbitraire jufques-là..

Si l'on prend m pour cet autre nombre de puiffances données auffi quelconques plus grand d'une unité que celui z des nomb. 1. 2. du Corol. 4. du Lem. F. & encore S, K, pour les deux dernieres refervées comme cideffus; le nomb. 2. du Corol. 4. du Lem. 1 1. fait voir

n

qu'il faudroit alors AL X & divifer la ligne HE

K AB
P
M-I

en L, de maniere qu'on eût FL. LH:: m2, r. Ce qui dans l'exemple précedent de cinq puissances, donneroit

KAB K AB

AL=x P px, & FL. LH:: -2.1: 3. r. ainfi qu'on les y vient de faire.

S-I

Si l'on fait ici la remarque qu'on a faite à la fin du Corol. 2. on verra derechef que s'il y a des directions fuivant lefquelles les puiflances propofées ne demeurcroient pas en équilibre entrelles, il ne laisse pas d'y en avoir encore une infinité fuivant lefquelles ces mémes puiffances y demeureroient..

COROLLAIRE IV.

*La part. 4. du prefent Th. 4. donne encore le reciproque des deux précedens Corol. 2. 3. fçavoir, que tant de puiffances quelconques qu'on voudra au-deffus de trois, fucceffivement appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un feul noeud commun, & de directions données à volonté, peuvent être entr'elles dans une infinité de rapports differens, & cependant faire toujours équilibre fuivant ces mêmes directions, pourvû (Lem. 17. Corol. 2.) que ces directions foient répandues en plus d'un demi-cercle ou d'une demi-sphere, dont le nœud commun de ces cordons foit le centre, & que pour le cas de quatre cordons leurs directions données foient toutes en même plan: tous les autres cas de plus de quatre cordons les auront en tels plans qu'on voudra, ainfi qu'on le verra dans le Prob. de la Sect. IX. avec les précautions qu'il faut prendre pour trouver ce dont il s'agit ici, lefquelles nous y engageroient à une trop grande digreffion: c'eft pour cela que nous n'y allons parler que de directions données quelconques en même plan au deffus de trois, & répandues en plus d'un demicercle, foient donc, par exemple, dans les Fig. 60. 61: F16.60; en même plan, & répandues en plus d'un demi-cercle les directions données AP, AQ, AR, AS, AK, fuivant lefquelles les cinq puiffances P, Q, R, S, K, foient en équilibre entr'elles; la part. 4. fait voir, dis-je, qu'une infinité d'autres puiffances cinq à cinq peuvent encore être fucceffivement en équilibre entr'elles fuivant ces mêmes directions, quoique ces nouvelles puiffances de chaque fois cinq, foient entr'elles dans des rapports tout differens de ceux de celles-là, & de toute autre fois cinq.

61.

Pour le voir, fur une quelconque des directions données, par exemple, fur KA prolongée vers D, foit prife AD à volonté, & de même AF à volonté fur telle autre AS qu'on voudra de ces directions données ; foit le parallelogramine AFDG, dont AD foit la diagonale; de

63.

même ayant pris AE à volonté fur une troifiéme quelconque AR de ces directions, foit achevé le parallelogramme AEGH, dont AG foit la diagonale. Enfin (puifqu'il n'y a ici que cinq directions données) fur les deux autres directions AP, AQ, foient menées les droites HB, HC, qui leur foient reciproquement paralleles, & qui avec elles faffent le parallelogramme BACH, dont AH foit la diagonale.

Cela fait, la part. 2. fait voir que fi l'on applique aux directions données AP, AQ, AR, AS, AK, autant de puiffances P, Q, R, S, K, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, AD; toutes ces puiffances ainfi dirigées feront en équilibre entr'elles. Donc toutes ces proportionnelles (hors AC, AB, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente; toutes les puiffances P, Q, R, S, K, le font auffi, hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent faire fucceffivement équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions données AP, AQ, AR, AS, AK, & ainfi de tout autre nombre de directions données, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requifes, excepté s'il n'y en avoit que trois; car le Th. L. fait voir que s'il n'y avoit que trois directions, ou que trois cordes de directions données, le rapport des trois puiffances requifes pour faire équilibre entr'elles fuivant ces trois directions, feroit auffi donné, & confequemment invariable.

COROLLAIRE V.

La même chofe que dans le précedent Corol. 4. fe peut encore déduire de la part. 4. fans faire aucun parallelogramme. Pour cela fur une quelconque des cinq directions données AP, AQ, AR,AS, AK, par exemple, fur KA prolongée du côté A, foit prife AL à volonté, & encore AE, AF, à volonté fur deux autres quelconques AS, AR, des quatre directions reftantes; foit la

droite FL prolongée vers H de maniere qu'on ait FL HL:: 3.1. n'y ayant ici (Hyp.) que cinq directions données: le nomb. 1. du Corol. 4. du Lem. 1 1, auquel il y auroit ici une puiffance à ajouter oppofée à l'impreffion refultante du concours de toutes les autres, fait voir que s'il y en avoit ici tel autre qu'on voudra, fait de l'unité ajoutée au nombre quelconque de toutes celles-là, il y faudroit FL. LH::m-2. 1. Puifque le nombre de toutes ces puiffances ensemble étant mn+1. donne m-21. Après cela menez EH prolongée vers G, de maniere que vous ayez EH. HG:: 2. 1. Enfin par le point G menez ( Lem. 1 3.) la droite BC telle que ce point G la divife en deux parties égales.

Cela fait, la part. 4. du prefent Th. du prefent Th. 4. fait voir que fr l'on applique aux directions données AP, AQ, AR, AS, AK, qui foient entr'elles comme AB, AC, AE, AF, 4xAL; toutes ces puiffances feront en équilibre entreelles. Donc toutes ces proportionnelles AB, AC, AE, AF, 4×AL (hors AB, AC, qui doivent varier avec les autres) étant arbitraires dans la conftruction précedente, toutes les puiffances P, Q, R, S, K, le font auffi, hors les deux premieres P, Q, qui doivent varier avec les autres. Donc une infinité de puiffances cinq à cinq, de rapports tout differens, peuvent fucceffivement faire. équilibre entr'elles fuivant les mêmes cinq directions. données au deffus de trois, & confequemment auffi de puiffances fucceffivement requifes, ainsi qu'on l'a déja vû. dans le précedent Corol. 4.

COROLLAIRE VI

Les quatre derniers Corollaires 2. 3. 4. 5. font voir que non feulement tant de puiffances données qu'on voudra au deffus de trois, appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un noeud commun, peuvent demeurer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune, mais. encore que fi les directions de ces cordes font données

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