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les depuis le point A de leur concours, soient encore prises AB, AC, AE, AD, proportionnelles à ces puissances P, Q, R, & à ce poids K.

1°. En cas d'équilibre entr'elles & lui., sa direction passera par

le centre de gravité de la base BCE d'une pyramide triangulaire BCĚD, qui aura ses quatre angles B,C,E, D, aux extrêmitez des proportionnelles AB, AC, AE, AD, de ces trois puissances P, Q, R, & du

l'on mene la droite EF par le milieu F de BC, le Corol. s. du Lem. '1 1. fait voir que l'effort resultant du concours de ces trois puissances P, Q, R, doit se faire suivant une ligne AG, qui divise EF en G de maniere qu'elle rende EG. GF:: 2, 1...c'est-à-dire ( Déf. 17.) en un point. G, qui foit le centre de gravité de la base BCE de la pyramide BCED. Mais en cas d'équilibre entre le poids K & les trois puissances P, Q, R, la. direction AK'de ce poids , doit être (part. 1.) en ligne droite avec la direction AG de l'effort resultant du concours de ces mêmes puissances. Donc cette direction KA ou DA prolongée du poids K, doit alors aussi passer par le centre de gravité Ġ de la base BCE de la pyramide BCED, & confequemment ausli ( Déf. 1-7.) par le centre de gravité de cette pyramide elle-même.

2. En ce cas d'équilibre le nœud ou point.commun A des quatre cordes ou directions AP, AQ, AR , AK, des puissances P, Q, R, & du poids K, fera dans le centre de gravité de cette pyramide BCED. Car la part. 3. fait voir qu'en ce cas d'équilibre entre le poids K & les puisfances P, Q, R, ce poids est à chacune d'elles comme 3xAG est à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Mais ( Hyp. ).ce poids est aussi à chacune de ces puiss sances, comme AD est à chacune de ces mêmes proportionnelles correspondantes. Donc en ce cas d'équilibre l'on aura AD=3xAG ; & confequemment la droite DG sera divisée en A de maniere qu'on aura AD. AG:: 3.1. Donc cette droite pafant aussi

pour lors ( nomb. 1. ) par Le centre de gravité de la base BEC de la pyramide BECD,

le

gravite 3

point communa

pyramide

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le point A sera alors | Déf. - 7.) le centre de cette pyramide elle-même.

3o. Reciproquement si le naud ou des cordes ou directions des puissances P, Q, R, & de poids K, est le centre de gravité de cette BECD; & que ces trois puissances & ce poids soient entr'eux comme les distances AB, AC, AE, AD, de ce centre A aux angles B, C,E,D, de cette pyramide ; ces puissances P, Q, R, & ce poids K, dirigées suivant ces lignes, seront en équilibre entr'eux. Car si A est le centre de gravité de la pyramide BCED, l'on aura ( Déf. 17.) non seulement AD. AG:: 3. 1.mais encore EG. GF:: 2. 1. Et BF=FC. Ce qui fait voir que non seulement on aura ici AD=3xAG; mais encore que G

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sera | Déf. 13.) le centre principal d'équilibre des puissances P, Q, R, entr'elles. Or ( Hyp.) le poids K eft à chacune de ces puissances P, Q, R , comme AD-eltà chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Donc ce poids est aussi à chacune de ces trois puissances comme 3xAG à chacune de ces mêmes proportionnelles correspondantes. Donc sa direction AK ou AD étant ici ( Hyp. j en ligne droite avec AG , & G étant le centre principal d'équilibre de ces trois puissances P, Q, R , entr'elles , ce poids K doit ici (part

. 4.) demeurer en équilibre avec elles. Cela fe peut encore démontrer indépendemment de la part. 4. Car puisque l'hypothese donne ici EG. GF:: 2.1. & BF=FC, avec AB, AC, AE, proportionnelles aux trois puissances P, Q, R, agissantes suivant ces lignes; l'effort réfultant de leur concours , sera (Lem. 11. Corol. 5.. ) de A vers G fuivant AG, & à chacune d'elles comme 3xAG à chacune de leurs proportionnelles correspondant es. Mais le poids K eft austi:( Hyp. ) à chacune de leurs trois puissances P, Q, R , comme AD est à chacune de ces mêmes proportionnelles AB, AC, AE; & de plus l'hypothese vient de donner AD=3xAG, Donc ce poids elt ici égal à l'effort suivant AG , resultant du concours des trois puissances P,Q,R, Donc la

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direction AK ou AD de ce poids étant ici ( Hyp. ) en ligne

droite avec la direction AG de cet effort en sens, contraire ; ce poids K doit ici ( ax.4.) demeurer en équi-. libre avec cet effort, c'est-à-dire, avec les trois puissances P, Q, R, du concours d'action desquelles cet effort resulte.

4o. Reciproquement encore fi trois puissances, quelconques P,QR, & un poids K aulli quelconque, font équilibre entr'eux suivant autant de cordes ou directions AP, AQ, AR, AK, qui du centre A de gram vité de quelque pyramide triangulaire BCED que ce soit , paffent par les quatre angles B, C, E, D, de cette

passent pyramide ; ces trois puissances P, Q, R, & ce poids K seront entr'eux comme les distances correspondantes de ce centre A à ces quatre angles. Car si cela n'étoit

pas, soit ( si l'on veut) le poids K aux puissances P, Q,R, comme AD à AL, AM, AN, quels que soient ces rapporcs. Le nomb. 1. fait voir que dans le cas present d'é- . quilibre entre ce poids & ces trois puissances, le næud ou concours A de leurs cordes ou directions , fe trouveroit au centre de gravité d'une pyramide triangulaire , qui auroit ses quatre angles ou les quatre pointes aux extrêmitez D, L, M, N, de ces quatre proportionnelles. Mais on suppofe ici ce naud ou concours A des cordes ou directions des puissances P, Q, R, & du poids K, au centre de gravité de la pyramide BCED. Donc ces deux pyramides auroient le même centre de gravité A, & la même pointe D; ce que la Déf. 17. fait voir aux moindres Géométres être impossible. Par consequent dans la presente hypothese d'équilibre entre les trois puissances P, Q, R, & le poids K , fuivant des directions qui du centre de gravité A de la pyramide BCED passent par les

quatre angles de cette pyramide ; il est pareillement impossible que ces trois puillances P, Q, R, & poids K, ne soient

pas entr'eux comme les distances correspondantes AB, AC, AE, AD, de ce centre à ces angles.

à

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COROLL AIRE I X. Les Corol. 2. 3. 7. font voir en Géométrie qu'il peut y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus & la diagonale qui part du concours ou de l'angle folide fait des trois plans qui passent par ces trois côtez , seroient les mêmes dans tous. Car les puissances

F16.642 P, Q, R, K, supposées en raison des grandeurs données AB,

AC, AE, AD , pouvant avoir une infinité de directions differentes AP, AQ, AR, AK , en differens plans, & cependant ( Corol. 2. 3. ) faire toûjours équilibre entr'elles sur le point A concours ou næud de ces directions ou de ces cordes , sur lesquelles sont données les proportionnelles AB, AC, AE, AD; trois quelcon-. ques AB, AC, AE, de ces quatre proportionnelles pourroient être les côtez d'une infinité de parallelepipedes BACFDGEH differens selon la varieté infinie des angles qu'elles feroient alors entr'elles autour du point A dans differens plans : de sorte qu'alors la puissance K seroit aux trois autres P, Q, R , comme la quatriéme proportionnelle AD seroit à ces trois côtez AB, AC, AE, de chacun de tous ces parallelepipedes

. Mais cette puissance K ser sit aussi pour lors ( Corol. 7: nomb. 2. ) à ces

K trois autres P, Q, R, comme la diagonale qui passeroje par l'angle A de chacun de tous ces parallelepipedes , Ieroit à ces irois côtez AB, AC, AE, les mêmes pour tous. Donc la diagonale par A seroit dans tous égale a AD; & confequemment ils auroient tous la même diagonale & les mêmes côtez par ce point A. Ce qu'on voit de la proportionnelle AD par rapport aux trois autres AB, AC, AE, se démontrera de même de chacune de celles-ci par rapport

à celle-là & aux deux autres. Donc il

peut effectivement y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus , & la diagonale qui pafle

par leur concours ou angle solide , feroient les mêmes dans tous, quelle que soit celle de ces quatre lignes

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données , qu'on veuille en être la diagonale .commune qui passe par le concours des trois autres.

COROLLA I R E X. Les Corol. 2. 3. 8. font voir de inême en Géométrie qu'il peut aussi y avoir une infinité de pyramides triangulaires differentes, qui ayent toutes les mêmes distances de leurs quatre angles à leur centre de gravité, quelles

que soient ces quatre distances données. Car les quatre $16. ősi puissances P, Q, R, K, supposées en raison de AB, AC,

AE, AD, pouvant avoir une infinité de directions differentes, & cependant ( Corol. 2. 3.) faire toûjours équilibre entr'elles ; c'est-à-dire, leurs quatre cordes ou directions AP, AQ , AR , AK, pouvant faire entr'elles une infinité d'angles differens en differens plans autour de leur næud ou point commun A , sans cependant empê. cher ces quatre puissances P, Q, R, K, de faire équilibre entr'elles ; leurs mêmes proportionnelles AB, AC, AE, AD, prises sur ces directions depuis ce point A, alors fixe & immobile , pourroient alors se terminer aux quatre angles de chacune d'une infinité de pyramides BCED differentes selon la varieté infinie de ces angles autour de ce point A. Ainsi il pourroit y avoir une infinité de telles pyramides dont chacune auroit alors ces quatre proportionnelles de longueurs données, pour distances des quatre angles à ce point A. Mais ( Corol. 8.. nomb. 2.. ) ce point A feroit aussi pour lors •le centre de gravité de chacune de toutes ces pyramides. Donc il peut y avoir une infinité de pyramides triangulaires differentes , lesquelles ayent cependant toutes les mêmes distances AB, AC, AE, AD, de leurs quatre angles à leur centre de gravité.

SCHOL I E. A l'occasion des deux derniers Corof. 9. 10. voici presentement comment la Géométre seule prouve encore ce que la Mecanique vient d'y donner. Voici, dis-je,

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