les depuis le point A de leur concours, foient encore prifes AB, AC, AE, AD, proportionnelles à ces puiflances P, Q, R, & à ce poids K.

10. En cas d'équilibre entr'elles & lui, fa direction paffera par le centre de gravité de la base BCE d'une pyramide triangulaire BCĚD, qui aura fes quatre angles B, C, E, D, aux extrêmitez des proportionnelles AB, AC, AE, AD, de ces trois puiffances P, Q, R, & du poids K. Car fi l'on mene la droite EF par le milieu F de BC, le Corol. 5. du Lem. 11. fait voir que l'effort refultant du concours de ces trois puiffances P, Q, R, doit fe faire fuivant une ligne AG, qui divife EF en G de maniere qu'elle rende EG. GF:: 2. 1. c'eft-à-dire (Déf. 17.) en un point G, qui foit le centre de gravité de la bafe BCE de la pyramide BCED. Mais en cas d'équifibre entre le poids K & les trois puiffances P., Q, R, la direction AK de ce poids, doit être (part. 1.) en ligne droite avec la direction AG de l'effort refultant du concours de ces mêmes puiffances. Donc cette direction KA ou DA prolongée du poids K, doit alors auffi paffer par le centre de gravité G de la bafe BCE de la pyramide BCED, & confequemment auffi ( Déf. 17.) par le centre de gravité de cette pyramide elle-même.

2°. En ce cas d'équilibre le noeud ou point.commun A des quatre cordes ou directions AP, AQ, AR, AK, des puiffances P, Q, R, & du poids K, fera dans le centre de gravité de cette pyramide BCED. Car la part. 3. fait voir qu'en ce cas d'équilibre entre le poids K & les puiffances P, Q, R, ce poids eft à chacune d'elles comme 3×AG eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Mais (Hyp.) ce poids eft auffi à chacune de ces puiffances, comme AD eft à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes. Donc en ce cas d'équilibre l'on aura AD 3xAG; & confequemment la droite DG fera divifée en A de maniere qu'on aura AD. AG:: 3.1. Donc cette droite paffant auffi pour lors (nomb. 1.) par le centre de gravité de la base BEC de la pyramide BECD,

le

le point A fera alors ( Déf. 7.) le centre de cette pyramide elle-même.

gravité

3°. Reciproquement fi le nœud ou point commun A des cordes ou directions des puiffances P, Q, R, & d poids K, eft le centre de gravité de cette pyramide BECD; & que ces trois puiffances & ce poids foient entr'eux comme les diftances AB, AC, AE, AD, de ce centre A aux angles B, C, E, D, de cette pyramide; ces puiffances P, Q, R, & ce poids K, dirigées fuivant ces lignes, feront en équilibre entr'eux. Car fi A eft le centre de gravité de la pyramide BCED, l'on aura ( Déf. 17.) non feulement ÁĎ. AG:: 3.1.mais encore EG. GF:: 2. 1. Et BF FC. Ce qui fait voir que non feulement on aura ici AD=3×AĠ; mais encore que G y fera (Déf. 13.) le centre principal d'équilibre des puiffances P, Q, R, entr'elles. Or (Hyp.) le poids K eft à chacune de ces puiffances P, Q, R, comme AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE. Donc ce poids eft auffi à chacune de ces trois puiffances comme 3×AG à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes. Donc fa direction AK ou AD étant ici ( Hyp.) en ligne droite avec AG, & G étant le centre principal d'équilibre de ces trois puiffances P, Q, R, entr'elles, ce poids K doit ici (part. 4.) demeurer en équilibre avec elles.

Cela fe peut encore démontrer indépendemment de la part. 4. Car puifque l'hypothefe donne ici EG. GF:: 2. 1. & BF=FC, avec AB, AC, AE, proportionnelles aux trois puiffances P, Q, R, agiffantes fuivant ces lignes ; l'effort résultant de leur concours, fera (Lem. 1 1. Corol. 5.) de A vers G fuivant AG, & à chacune d'elles comme 3×AG à chacune de leurs proportionnelles correfpondant es. Mais le poids K eft auffi (Hyp.) à chacune de leurs trois puiffances P, Q, R, comme AD est à chacune de ces mêmes proportionnelles AB, AC, AE; & de plus l'hypothefe vient de donner AD=3×AG. Donc ce poids eft ici égal à l'effort fuivant AG, refultant du concours des trois puiffances P, Q, R, Donc la

T

direction AK ou AD de ce poids étant ici (Hyp.) en ligne droite avec la direction AG de cet effort en fens contraire ; ce poids K doit ici (ax. 4.) demeurer en équilibre avec cet effort, c'est-à-dire, avec les trois puiffan-ces P, Q, R, du concours d'action defquelles cet effort refulte.

4. Reciproquement encore fi trois puiffances. quel-conques P, Q, R, & un poids K auffi quelconque, font équilibre entr'eux fuivant autant de cordes où directions AP, AQ, AR, AK, qui du centre A de gravité de quelque pyramide triangulaire BCED que ce foit, paffent par les quatre angles B, C, E, D, de cette pyramide; ces trois puiffances P, Q, R, & ce poids K feront entr'eux comme les diftances correfpondantes de ce centre A à ces quatre angles. Car fi cela n'étoit pas,. foit (fi l'on veut) le poids K aux puiffances P, Q, R, comme AD à AL, AM, AN, quels que foient ces rapports. Le nomb. 1. fait voir que dans le cas prefent d'équilibre entre ce poids & ces trois puiffances, le noud ou concours A de leurs cordes ou directions, fe trouveroit au centre de gravité d'une pyramide triangulaire, qui auroit fes quatre angles ou fes quatre pointes aux extrêmitez D, L, M, N, de ces quatre proportionnelles. Mais on fuppofe ici ce noud ou concours A des cordes ou directions des puiffances P, Q, R, & du poids K, au centre de gravité de la pyramide BCED. Donc ces deux pyramides auroient le même centre de gravité A, & la même pointe D; ce que la Déf. 17. fait voir aux moindres Géométres être impoffible. Par confequent dans la prefente hypothefe d'équilibre entre les trois puiffances P, Q, R, & le poids K, fuivant des directions qui du centre de gravité A de la pyramide BCED paffent par les quatre angles de cette pyramide; il eft pareillement impoffible que ces trois puillances P, Q, R, & ce poids K, ne foient pas entr'eux comme les diftances correfpondantes AB, AC, AE, AD, de ce centre à ces angles.

COROLLAIRE IX.

Les Corol. 2. 3. 7. font voir en Géométrie qu'il peut y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus & la diagonale qui part du concours ou de l'angle folide fait des trois plans qui paffent par ces trois côtez, feroient les mêmes dans tous. Car les puiffances F1 0.64 P, Q, R, K, fuppofées en raison des grandeurs données AB, AC, AE, AD, pouvant avoir une infinité de directions differentes AP, AQ, AR, AK, en differens plans, & cependant ( Corol. 2. 3.) faire toûjours équilibre entr'elles fur le point A concours ou noeud de ces directions ou de ces cordes, fur lefquelles font données les proportionnelles AB, AC, AE, AD; trois quelconques AB, AC, AE, de ces quatre proportionnelles pourroient être les côtez d'une infinité de parallelepipedes BACFDGEH differens felon la varieté infinie des angles qu'elles feroient alors entr'elles autour du point A dans differens plans: de forte qu'alors la puiffance K feroit aux trois autres P, Q, R, comme la quatriéme proportionnelle AD feroit à ces trois côtez AB, AC, AE, de chacun de tous ces parallelepipedes. Mais cette puiffance K ferait auffi pour lors (Corol. 7. nomb. 2.) à ces trois autres P, Q, R, comme la diagonale qui pafferoje par l'angle A de chacun de tous ces parallelepipedes, feroit à ces trois côtez AB, AC, AE, les mêmes pour tous. Donc la diagonale par A feroit dans tous égale à AD; & confequemment ils auroient tous la même diagonale & les mêmes côtez par ce point A. Ce qu'on voit de la proportionnelle AD par rapport aux trois autres AB, AC, AE, fe démontrera de même de chacune de celles-ci par rapport à celle-là & aux deux autres. Donc il peut effectivement y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus, & la diagonale qui paffe par leur concours ou angle folide, feroient les mêmes dans tous, quelle que foit celle de ces quatre lignes

données, qu'on veuille en être la diagonale commune qui paffe par le concours des trois autres.

Les Corol. 2. 3. 8. font voir de même en Géométrie qu'il peut auffi y avoir une infinité de pyramides triangu laires differentes, qui ayent toutes les mêmes diftances de leurs quatre angles à leur centre de gravité, quelles que foient ces quatre distances données. Car les quatre F1 puiffances P, Q, R, K, fuppofées en raifon de AB, AC, AE, AD, pouvant avoir une infinité de directions differentes, & cependant ( Corol. 2. 3.) faire toûjours équilibre entr'elles ; c'est-à-dire, leurs quatre cordes ou directions AP, AQ, AR, AK, pouvant faire entr'elles une infinité d'angles differens en differens plans autour de leur noeud ou point commun A, fans cependant empêcher ces quatre puiffances P, Q, R, K, de faire équilibre entr'elles ; feurs mêmes proportionnelles AB, AC, AE, AD, prises fur ces directions depuis ce point A, alors fixe & immobile, pourroient alors fe terminer aux quatre angles de chacune d'une infinité de pyramides BCED differentes felon la varieté infinie de ces angles autour de ce point A. Ainfi il pourroit y avoir une infinité de telles pyramides dont chacune auroit alors ces quatre proportionnelles de longueurs données, pour ftances des quatre angles à ce point A. Mais ( Corol. 8. nomb. 2.) ce point A feroit auffi pour lors le centre de gravité de chacune de toutes ces pyramides. Donc il peut y avoir une infinité de pyramides triangulaires differentes, lefquelles ayent cependant toutes les mêmes distances AB, AC, AE, AD, de leurs quatre angles leur centre de gravité.

SCHOLI E.

di

A l'occafion des deux derniers Corol. 9. 10. voici

prefentement comment la Géométre seule prouve encore ce que la Mecanique vient d'y donner. Voici, dis-je,