comment on peut conftruire une infinité de parallelepi pedes, qui ayent tous les mêmes côtez contigus avec la même diagonale menée par le concours de ces côtez; & une infinité de pyramides triangulaires, qui ayent toutes les mêmes diftances de leurs quatre angles à leur centre de gravité.

I. Pour conftruire une infinité de parallelepipedes differens, dont les trois côtez contigus, & la diagonale me-née par leur point de concours ou angle folide, foient cependant les mêmes dans tous, par exemple, égaux dans chacun d'eux tous à quatre lignes données de grandeur V, X, Y, Z, foit un angle rectiligne quelconque F1 c.64 BAC, dont les côtez-BA, AC, foient pris égaux à deux 66. quelconques V,X, de ces quatre lignes données; après en avoir fait le parallelogramme BACF, foit fur la diagonale AF, dans un autre plan quelconque un triangle ADF, dont les côtez FD, AD, foient égaux aux deux autres Y, Z, de ces mêmes lignes données ; foient enfin achevez les parallelogrammes AFDE, EACG, DFCG,. DFBH.

Cela fait, il eft vifible que l'on aura un l'on aura un parallelepipe-de BACFDGEH, dont les trois côtez contigus AB, AC, AE, feront égaux aux trois lignes données V, X, Y, & la diagonale AD égale à la quatriéme Z de ces mêmes lignes données. On voit de plus que la variabilité infinie de fon angle arbitraire BAC, & confequemment auffi de fes autres angles, le peut varier à l'infini, fans en varier les côtez AB, AC, AE, ni la diagonale AD, c'est-àdire, ces quatre lignes y demeurant toûjours égales aux quatre données V, X, Y, Z, chacune à chacune. Donc on peut ainsi faire une infinité de parallelepipedes differens qui auront tous les mêmes côtez contigus, & la même diagonale menée par le concours de ces côtez ; & même ces quatre lignes égales dans tout à quatre données quelconques.

II. Pour conftruire auffi une infinité de pyramides > triangulaires differentes, dont les diitances de leur cen-

تو شکتی

tre de gravité à leurs quatre angles, foient neanmoins les mêmes dans toutes, par exemple, égales dans toutes ces pyramides à quatre lignes quelconques données V, FIG. 66. X, Y, Z; foit encore à volonté un angle rectiligne quelconque BAC, dont les côtez BA, AC, foient pris égaux à deux quelconques V, X, des quatre lignes données; après en avoir fait encore le parallelogramme BACF, foit encore auffi fur fa diagonale AF dans un autre plan quelconque le triangle ADF, dont les côtez FD, AD, foient égaux aux deux autres Y, Z, de ces quatre lignes données; enfin après avoir achevé le rallelogramme AFDE, foit prife AKAD fur fa diagona le DA prolongée du côté de K.

pa

Cette conftruction, fuivant laquelle on voit que la pyramide triangulaire BCEK, dont les quatre angles feront en B, C, E, K, aura les quatre lignes AB, AC, AE, AK, égales aux quatre données V,X, Y, Z, donne auffi A pour le centre de gravité de cette pyramide. Car fi l'on inene la droite BC, & par fon milieu H encore une autre droite EH, laquelle rencontre en Gla diagonale AD; les triangles DGE, ADH, que le parallelogramme AFDE rend femblables, donneront EG. GH : : DE, AH :: AF. AH:: 2.1. Donc ayant déja (Hyp.) BH=CH, le point G fera (Déf. 16.) le centre de gravité de la bafe BCE de la pyramide BCEK; & confequemment (Déf. 17.) le centre de gravité de cette pyramide elle-même, fera dans la droite GK. Or les triangles (conftr.) femblables DGE, ADH, donnent auffi DG. AG:: DE. AH:: AF. AH:: 2. 1. Et (en compofant) AD. AG:: 3. 1. Mais ( conftr.) AKAD. Donc auffi AK. AG:: 3.1. Par confequent ayant déja G pour le centre de gravité de la bafe BCE de la pyramine BCEK, le point A fera auffi ( Déf. 17.) le centre de gravité de cette pyramide elle-même. Donc les diftances AB, AC, AE, AK, de ce point A aux quatre angles B, C, E, K, de cette pyramide ayant déja été trouvées égales aux quatre lignes données V, X,Y,Z; les diftances de fon centre de gravité à ces quatre an

glès, feront égales à ces mêmes lignes données chacune à chacune. Or il eft manifefte que la variabilité infinie de l'angle arbitraire BAC, laquelle (conftr.) doit en produire de pareilles dans tous les angles qu'on voit autour du point A, fans rien changer aux diftances AB, AC, AE, AK de lui aux quatre angles de la pyramide BCEK, doit auffi varier cette pyramide à l'infini, fans rien changer aux distances de fes angles B, C, E, K, à fon centre A de gravité. Donc on peut ainfi faire une infinité de pyramides triangulaires, qui auront toutes les mêmes diitances de leur centre de gravité à leurs quatre angles, & ces distances toûjours égales à quatre lignes données quelconques, chacune à chacune.

66.67.

III. Il eft vrai que pour les conftructions précedentes FIG. 64(art. 1.2.) il faut que la diagonale AF fe trouve toujours moindre que la fomme des lignes FD, AE, c'est-àdire, moindre que FD-AD, ou (conftr.) Y-Z; autrement le triangle ADF feroit impoffible, & confequem-ment auffi les parallelepipedes & les pyramides des art. 1.2. Mais cela n'empêche pas qu'il n'en refte encore une infinité de poffibles; l'accroiffement continuel de l'angle arbitraire BAC pouvant diminuer à l'infini cette diago-nale AF jusqu'à la rendre plus petite en une infinité de rapports que FDAD, à moins que la difference de AB, AC, ne fût égale ou plus grande que cette fomme: auquel cas il n'y auroit qu'à prendre ces côtez AB, AC, de l'angle initial arbitraire BAC, égaux aux deux moindres des quatre lignes données; ou plutôt il n'y auroit qu'à les prendre toûjours ainfi, & alors les parallelepipe--des & les pyramides des art. 1. 2. feront toûjours poffibles & differens à l'infini felon la variabilité infinie de cet angle arbitraire BAC, laquelle pourra rendre AF toujours plus petite à l'infini que FD+AD égale ( Hyp.) à la fomme des deux plus grandes des quatre lignes don

nées.

IV. Pour la même raifon fi les puiffances P, Q, R, S,K, &c. appliquées aux cordes AP, AQ, AR, AS, AK,

&c. dans les Fig. 6o. 61. du present Th. 4. étoient données en raifon des parties quelconques AB, AC, AE, AF, AD, &c. de ces cordes, & qu'il s'agit de les diriger de maniere à mettre toutes ces puiffances en équilibre entr'elles quoiqu'on y pût réuffir en prenant au hazard AB, AC, pour en faire le premier parallelogramme BACH; enfuite AE encore au hazard pour en faire avec AH le fecond parallelogramme HAEG; & ainfi des autres: il feroit cependant plus fùr, & même il le feroit toûjours de commencer par les moindres de ces proportionnelles données, & de faire leurs angles entreelles au point A, affez grands (plus ils le feront, tant mieux) pour rendre la penultiéme diagonale moindre que la fomme des deux plus grandes proportionnelles refervées pour être l'une diagonale, & l'autre un des côtez du dernier des parallelogrammes précedens, lequel doit avoir cette penultiéme diagonale pour fon autre côté. Par exemple, fuppofé que les précedentes proportionnelles données AB, AC, AE, AF, AD, &c. foient ici rangées de maniere que les moindres y précedent par tout les plus grandes, il faudroit prendre les deux premieres, c'eft-à-dire (Hyp.) les deux moindres AB, ÂC, pour en faire le premier parallelogramme BACH; de fa diagonale AH, & de la troifiéme proportionnelle AE faire le fecond HAEGs de fa diagonale AG, & de la quatriéme proportionnelle faire le troifiéme ; & ainfi de fuite jufqu'à l'antepenultiéme proportionnelle inclufivement, laquelle foit ici AE. De cette maniere la penultiéme diagonale AG fera toûjours moindre que la fomme AF-AD des deux plus grandes & dernieres des cinq proportionnelles ici données, à moins qu'on n'eût pris les angles BAC, HAE, trop petits: auquel cas il n'y a qu'à les augmenter, & faire enfuite les parallelogrammes précedens, pour rendre cette penultiéme diagonale AG moindre que la fomme des deux dernieres proportionnelles reftantes AF, AD, ou GD, AD, en prenant GDAF; defquelles GD, AD, & de la penultiéme diagonale

gonale AG, on pourra toûjours alors faire le triangle ADG; & confequemment auffi le dernier parallelogramme AGDF, qui aura AG, AF pour côtez, & AD pour diagonale: ce qui étant, la part. 4. du present Th. 4. fait voir que les puiffances données P, Q, R, S,K, seront en équilibre entr'elles en les dirigeant ainsi suivant AB, AC, AE, AF, DA; au lieu que fi la penultiéme diagonale AG étoit égale ou moindre que la fomme des deux dernieres proportionnelles AF, DA, le triangle ADG feroit impoffible, auffi-bien que le dernier parallelogramme AGDF; & par confequent (part. 2. Th, 4.) l'équilibre entre les puiffances données feroit pareillement impoffible fuivant les directions qu'elles auroient alors.

V. Pour appliquer aux Fig. 62. 63. ce qu'on voit des FIG.82 Fig. 60. 61. dans le précedent art. 4. il faut confiderer 63. dans la part. 4. du present Th. 4. que pour mettre en équilibre dans les Fig. 62. 63. les puiffances données P, Q, R, S, K, dont les proportionnelles foient AB, AC, AE, AF, AD, il faut (en commençant par les premieres) que G foit le milieu de BC; que GE foit divifée en H de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. Que HE foit divisée en L, de maniere qu'on ait FL. LH:: 3. 1. Tout cela en forte qu'il en refulte 4×AL à AB, AC, AE, AF, comme la puiffance K eft aux autres P, Q, R, S, & diriger enfuite la puissance K fuivant LA prolongée vers K, & les autres P, Q, R, S, fuivant ÁP, AQ, AR, AS. Donc la puiffance K étant (Hyp.)à celles-là P, Q, R, S, comme AD eft à AB, AC, AE, AF; il faut pour cet équilibre 4×AL AD, laquelle en ligne droite avec KA, foit (Corol. 1.) diagonale par A du dernier des parallelogrammes faits dans le précedent art. 4. Et confequemment pour cet équilibre il faut que AL, diftance (Déf. 13.) du noeud A au centre principal d'équilibre entre les quatre puiffances P, Q, R, S, foit ici le quart de cette derniere diagonale, & que la puiffance K foit fuivant leur direction commune à contre-fens de