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COROLLAIRE IX.

Les Corol. 2. 3. 7. font voir en Géométrie qu'il peut y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus & la diagonale qui part du concours ou de l'angle folide fait des trois plans qui paffent par ces trois côtez, feroient les mêmes dans tous. Car les puiffances P, Q, R, K, fuppofées en raifon des grandeurs données AB, AC, AE, AD, pouvant avoir une infinité de directions differentes AP, AQ, AR, AK, en differens plans, & cependant ( Corol. 2. 3.) faire toûjours équilibre entr'elles fur le point A concours ou noeud de ces directions ou de ces cordes, fur lefquelles font données les proportionnelles AB, AC, AE, AD; trois quelconques AB, AC, AE, de ces quatre proportionnelles pourroient être les côtez d'une infinité de parallelepipedes BACFDGEH differens felon la varieté infinie des angles qu'elles feroient alors entr'elles autour du point A dans differens plans: de forte qu'alors la puiffance K feroit aux trois autres P, Q, R, comme la quatrième pro portionnelle AD feroit à ces trois côtez AB, AC, AE, de chacun de tous ces parallelepipedes. Mais cette puiffance K fersit auffi pour lors (Corol. 7. nomb. 2.) à ces trois autres P, Q, Ŕ, comme la diagonale qui pafferoje par l'angle A de chacun de tous ces parallelepipedes, Teroit à ces trois côtez AB, AC, AE, les mêmes pour tous. Donc la diagonale par A feroit dans tous égale à AD; & confequemment ils auroient tous la même diagonale & les mêmes côtez par ce point A. Ce qu'on voit de la proportionnelle AD par rapport aux trois autres AB, AC, AE, fe démontrera de même de chacune dé celles-ci par rapport à celle-là & aux deux autres. Donc il peut effectivement y avoir une infinité de parallelepipedes, dont les trois côtez contigus, & la diagonale qui paffe par leur concours ou angle folide, feroient les mêmes dans tous, quelle que foit celle de ces quatre lignes

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données, qu'on veuille en être la diagonale commune qui paffe par le concours des trois autres.

COROLLAIRE

X.

Les Corol. 2. 3. 8. font voir de même en Géométrie qu'il peut auffi y avoir une infinité de pyramides triangulaires differentes, qui ayent toutes les mêmes distances de leurs quatre angles à leur centre de gravité, quelles que foient ces quatre distances données. Car les quatre puiffances P, Q, R, K, fuppofées en raifon de AB, AC, AE, AD, pouvant avoir une infinité de directions differentes, & cependant ( Corol. 2. 3.) faire toûjours équilibre entr'elles ; c'est-à-dire, leurs quatre cordes ou directions AP, AQ, AR, AK, pouvant faire entr'elles une infinité d'angles differens en differens plans autour de leur noeud ou point commun A, fans cependant empêcher ces quatre puiffances P, Q, R, K, de faire équi libre entr'elles; leurs mêmes proportionnelles AB, AC, AE, AD, prifes fur ces directions depuis ce point A, alors fixe & immobile, pourroient alors fe terminer aux quatre angles de chacune d'une infinité de pyramides BCED differentes felon la varieté infinie de ces angles autour de ce point A. Ainfi il pourroit y avoir une infinité de telles pyramides dont chacune auroit alors ces quatre proportionnelles de longueurs données, pour diftances des quatre angles à ce point A. Mais (Corol. 8. nomb. 2.) ce point A feroit auffi pour lors le centre de gravité de chacune de toutes ces pyramides. Donc il peut y avoir une infinité de pyramides triangulaires differentes, lefquelles ayent cependant toutes les mêmes diftances AB, AC, AE, AD, de leurs quatre angles à leur centre de gravité.

SCHOLI E.

A l'occafion des deux derniers Corol. 9. 10. voici prefentement comment la Géométre feule prouve enco re ce que la Mecanique vient d'y donner. Voici, dis-je,

comment on peut conftruire une infinité de parallelepi pedes, qui ayent tous les mêmes côtez contigus avec la même diagonale menée par le concours de ces côtez ; & une infinité de pyramides triangulaires, qui ayent toutes les mêmes diftances de leurs quatre angles à leur centre de gravité.

I. Pour conftruire une infinité de parallelepipedes differens, dont les trois côtez contigus, & la diagonale me-née par leur point de concours ou angle folide, foient cependant les mêmes dans tous, par exemple, égaux dans chacun d'eux tous à quatre lignes données de grandeur V, X, Y, Z, foit un angle rectiligne quelconque F1 c. 64 BAC, dont les côtez-BA, AC, foient pris égaux à deux 66. quelconques V,X, de ces quatre lignes données; après en avoir fait le parallelogramme BĂCF, foit fur la diagonale AF, dans un autre plan quelconque un triangle ADF, dont les côtez FD, AD, foient égaux aux deux autres Y, Z, de ces mêmes lignes données; foient enfin achevez les parallelogrammes AFDE, EACG, DFCG, DFBH.

Cela fait, il eft vifible que l'on aura un parallelepipe-de BACFDGEH, dont les trois côtez contigus AB, AC, AE, feront égaux aux trois lignes données V, X, Y, & la diagonale AD égale à la quatriéme Z de ces mêmes lignes données. On voit de plus que la variabilité infinie de fon angle arbitraire BAC, & confequemment auffi de fes autres angles, le peut varier à l'infini, fans en varier les côtez AB, AC, AE, ni la diagonale AD, c'est-àdire, ces quatre lignes y demeurant toûjours égales aux quatre données V, X, Y, Z, chacune à chacune. Donc on peut ainfi faire une infinité de parallelepipedes differens qui auront tous les mêmes côtez contigus, & la même diagonale menée par le concours de ces côtez ; & même ces quatre lignes égales dans tout à quatre données quelconques.

II. Pour conftruire auffi une infinité de pyramides triangulaires differentes, dont les diitances de leur cen-

tre de gravité à leurs quatre angles, foient neanmoins les mêmes dans toutes, par exemple, égales dans toutes ces pyramides à quatre lignes quelconques données V, FIG. 66, X, Y, Z; foit encore à volonté un angle rectiligne quelconque BAC, dont les côtez BA, AC, foient pris égaux à deux quelconques V, X, des quatre lignes données ; après en avoir fait encore le parallelogramme BACF, foit encore auffi fur fa diagonale AF dans un autre plan quelconque le triangle ADF, dont les côtez FD, AD, foient égaux aux deux autres Y, Z, de ces quatre lignes données; enfin après avoir achevé le parallelogramme AFDE, foit prife AKAD fur fa diagona le DA prolongée du côté de K.

Cette conftruction, fuivant laquelle on voit que la pyramide triangulaire BCEK, dont les quatre angles feront en B, C, E, K, aura les quatre lignes AB, AC, AE, AK, égales aux quatre données V,X, Y, Z, donne auffi A pour le centre de gravité de cette pyramide. Car fi l'on inene la droite BC, & par fon milieu H encore une autre droite EH, laquelle rencontre en Gla diagonale AD; les triangles DGE, ADH, que le parallelogramme AFDE rend femblables, donneront EG. GH:: DE, AH: : AF. AH:: 2.1. Donc ayant déja (Hyp.) BH CH, le point G fera (Déf. 16.) le centre de gravité de la bafe BCE de la pyramide BCEK; & confequemment ( Déf. 17.) le centre de gravité de cette pyramide elle-même, fera dans la droite GK. Or les triangles (conftr.) femblables DGE, ADH, donnent auffi DG. AG:: DE. AH:: AF. AH:: 2. 1. Et (en compofant) AD. AG:: 3. 1. Mais (conftr.) AKAD. Donc auffi AK. AG:: 3.1. Par confequent ayant déja G pour le centre de gravité de la base BCE de la pyramine BCEK, le point A fera auffi ( Déf. 17.) le centre de gravité de cette pyramide elle-même. Donc les distances AB, AC, AE, AK, de ce point A aux quatre angles B, C, E, K, de cette pyramide ayant déja été trouvées égales aux quatre lignes données V, X, Y, Z; les distances de fon centre de gravité à ces quatre an

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glès, feront égales à ces mêmes lignes données chacune à chacune. Or il eft manifefte que la variabilité infinie de l'angle arbitraire BAC, laquelle (conftr.) doit en produire de pareilles dans tous les angles qu'on voit autour du point A, fans rien changer aux diftances AB, AC, AE, AK de lui aux quatre angles de la pyramide BCEK, doit auffi varier cette pyramide à l'infini, fans rien changer aux distances de fes angles B, C, E, K, à fon centre A de gravité. Donc on peut ainfi faire une infinité de pyramides triangulaires, qui auront toutes les mêmes diItances de leur centre de gravité à leurs quatre angles, & ces distances toûjours égales à quatre lignes données quelconques, chacune à chacune.

66.67.

III. Il est vrai que pour les conftructions précedentes F1.641(art. 1.2.) il faut que la diagonale AF fe trouve toujours moindre que la fomme des lignes FD, AE, c'est-àdire, moindre que FD-AD, ou (conftr.) Y-+Z; autrement le triangle ADF feroit impoffible, & confequemment auffi les parallelepipedes & les pyramides des art. 1. 2. Mais cela n'empêche pas qu'il n'en refte encore une infinité de poffibles; l'accroiffement continuel de l'angle arbitraire BAC pouvant diminuer à l'infini cette diago-nale AF jusqu'à la rendre plus petite en une infinité de rapports que FD+AD, à moins que la difference de AB, AC, ne fût égale ou plus grande que cette fomme: auquel cas il n'y auroit qu'à prendre ces côtez AB, AC, de l'angle initial arbitraire BAC, égaux aux deux moindres des quatre lignes données; ou plutôt il n'y auroit qu'à les prendre toujours ainfi, & alors les parallelepipe-des & les pyramides des art. 1. 2. feront toujours poffibles & differens à l'infini felon la variabilité infinie de cet angle arbitraire BAC, laquelle pourra rendre AF toûjours plus petite à l'infini que FD-+AD égale (Hyp.) à la fomme des deux plus grandes des quatre lignes don

nées.

FIG. 636

IV. Pour la même raifon fi les puiffances P, Q, R, Ficon. S,K, &c. appliquées aux cordes AP, AQ, AR, AS, AK,

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