FIG. 1.

conque G de AD foit une parallele KHà CD, laquelle
rencontre AC, BD, en K,H,) :: KG. AK. L'ax. fait
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voir qu'à l'inftant que la ligne AB aura parcouru AK, &
fera arrivée en KH, le point mobile A aura parcouru
fur elle fa partie KG, & fera ainfi pour lors en G fur
la diagonale AD du parallelogramme BC : lequel point
G ayant été pris indeterminement fur cette diagonale
AD, fait voir qu'en quelque point que la ligne mobile
AB coupe cette diagonale, le point mobile A y fera toù-
jours; & confequemment qu'il fera fur elle en D avec
le point B de cette mobile AB, lorfqu'elle fera en CD.
Donc par le concours des deux forces productrices des
deux mouvemens fuppofez à ce point mobile A le long
de AB & de AC, il parcourra la diagonale AD du pa-
rallelogramme ABCD pendant le temps que chacune
d'elles lui en auroit fait parcourir feule chacun des cô-
tez AB, AC, correfpondans. Ce qu'il falloit démontrer.

SCHOLI Ẹ.

Un point mû le long d'une ligne qui fe meut auffi elle-même, est une chofe fouvent fuppofée par les Géometres pour la generation de plufieurs lignes courbes differentes felon la variabilité des mouvemens fuppofez à la fois dans le point qui les trace, comme le point mobile A en vient de tracer une droite par lé concours de deux mouvemens uniformes. Ce point mobile fe conçoit fans peine, en imaginant un corps ainfi mû, & diminué pendant cela par l'imagination, jusqu'à être réduit en un tel point.

LEMME II.

Si le point A fans pesanteur est pouffé en même tems & uniformement par deux forces ou puissances E, F, toutes employées fur lui, fuivant des lignes AC, AB, qui faffent entrelles quelqu'angle CAB que ce foit, & que la force ou puiffanie E fuivant AC, foit à la force ou puiffance F fuivant AB, comme AC eft à AB. Ce point A par le concaurs

dé ces deux forces E, F, fans le fecours d'aucune ligne mobile, parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABC D dans le même tems qu'elles lui en auroient fait parcourir Separement les côtez AC, AB, qu'on leur fuppofe proportion

nels.

DEMONSTRATION.

Deux corps mûs ensemble fans s'aider ni se nuire comme lorfqu'ils le font d'égales vîteffes en même fens, chacun par une force particuliere, l'étant chacun comme s'il fe mouvoit feul de la force ou vîtesse qui lui est propre ; il eft manifefte que le point A pouffé faivant AC vers C par la puiffance E, l'eft de même que fi la ligne AB l'étoit en même tems par quelqu'autre caufe qui la mût parallelement à elle-même fuivant AC vers CD, d'une viteffe égale à celle que la puiffance E donneroit feule de A vers C à ce point A; & qu'alors ce point fans être emporté par cette ligne mobile AB, feroit toûjours fur elle ainfi mûe, comme fi elle l'empor-toit effectivement avec elle, pendant que la force ou

puiffance F le meuvroit le long de cette même ligne AB, ain fi que dans le Lem. 1. Donc ce point mobile A pouf-fé tout à la fois par les deux puiffances E, F, fuivant AC, AB, doit le mouvoir de même que fi dans le tems fe que la force F le meut de A vers B le long de la ligne AB, il étoit emporté par cette ligne mûe parallelement à elle-même le long de AC vers CD, d'une vîteffe égale à celle que la puiffance E donneroit feule à ce point A vers C ; c'eft-à-dire, (ax. 6.) d'une vîteffe qui fût à celle que ce point auroit le long de cette ligne AB:: E. F (hyp.) :: AC. AB. Or le Lem. 1. fait voir que le point A ainsi mù de A vers B le long de la ligne AB, pendant qu'elle l'emporteroit ainfi vers CD, parcourroit la dia- gonale AD du parallelogramme BC pendant le même tems que chacune des forces E, F, productrices de ce qu'il a de mouvement en ces deux fens, lui en feroit feule parcourir chacun des côtez AC, AB, correfpondans. `

Donc fans le mouvement de la ligne AB, fuppofé feulement pour aider l'imagination, le point mobile A fans pefanteur, pouffé tout à la fois fuivant les lignes AC, AB, par les deux puiffances E, F, fuppofées en raifon de ces deux lignes, & employées (hyp.). toutes entieres à le mouvoir en ces deux fens, parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCD dans le même tems que cune de ces deux puiffances E, F, lui en feroit feule parcourir chacun des côtez AC, AB, correfpondans. Ce qu'il falloit démontrer.

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Pour démontrer cela on fe contente d'ordinaire du Lem. I. qui y est effectivement suffisant: aussi n'ai-je employé que lui dans le Projet que je donnai en 1687. de cette Mécaniqueci; mais ayant reconnu depuis que quelques Phyficiens y trou voient de la difficulté, dans la pensée où ils étoient que la ligne mobile AB fervoit à transporter le point mobile A vers CD, pendant qu'il fe mouvoit de A vers B: c'est pour démontrer qu'elle y eft inutile,& qu'elle ne fert qu'à foûtenir ici l'imagination, que j'ajoûte ce fecond Lemme-ci au premier, que je ne repete que pour rendre la démonstration de Celui-ci plus courte & plus aifée. En voici les Corollaires.

COROLLAIRE I

Puifque la force réfultante du concours des puiffances E, F, fait parcourir la diagonale AD du parallelogramme ABCD, au point mobile A, dans le même tems que chacune de ces forces lui en auroit feule fait parcourir le côté AB, ou AC, fuivant lequel elle eft dirigée ; non feulement ces trois forces doivent avoir leurs trois dire

tions dans un même plan; mais encore la réfultante fuivant AD du concours d'action des deux autres E, F, dès le premier inftant du mouvement qu'en reçoit le point A, doit dès cet instant être à chacune de celles-là (ax. 8.) comme cette diagonale AD du parallelogramme BC eft à chacun de fes côtez AC, AB, correfpondans.

COROLLAIRE

COROLLAIRE

I I.

C'est donc la même chose (ax. 2.) que le point A foit pouffé le long de AD par le concours d'action des puifLances E, F, ou qu'il y foit pouffé par une feule puissance ainfi dirigée, laquelle foit à celles-là comme AD eft à AC, AB puifque cette nouvelle puiffance étant (Corol. 1.) égale à la résultante du concours d'action de celles-là, & (hyp.) dirigée fuivant la même AD qu'elle, feroit fuivre cette ligne à ce point mobile A (ax. 2. ) de la même vîteffe que la force réfultante du concours d'action des fuppofées E, F, c'eft-à-dire, de la même vîtesse que ces deux-ci la lui font fuivre ensemble. Ainfi un point quelconque mû d'une vîteffe uniforme auffi quelconque, & en ligne droite AD, peut également Favoir été par une feule puiffance dirigée en ce fens, ou par le concours de deux autres E, F, dirigées fuivant les côtez, AC, AB, d'un parallelogramme quelconque BC, dont cette ligne AD, foit la diagonale, & qui foient à cette puiffance-là comme ces côtez correfpondans font à cette diagonale.

COROLLAIRE III.

Il fuit auffi de ce Lemme-ci, que fi la force ou l'impreffion résultante du concours d'action des deux puiffances E, F, dirigées fuivant AP, AQ, fe trouve dirigée fuivant AO, tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & les côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura ces mêmes côtez AC, AB, entr'eux en raison des deux puiffances E, F, dont ils font (hyp.) les directions: autrement l'impreffion réfultante du concours d'action de ces deux puiffances, ne fe feroit pas fuivant la diagonale AD du parallelogramme BC, ainfi qu'on le fuppofe; mais (Lem. 2.) fuivant celle d'un autre parallelogramme, dont les côtez auffi pris fur les directions AQ, AP, de ces deux puiffances E.F, feroient ent'reux comme ces mêmes puiffances.

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COROLLA IRE IV.

Donc auffi lorfque l'impreffion réfultante du concours d'action des puiffances E,F, dirigées fuivant AQ, AP, fe fait fuivant AO; tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & fes côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura cette diagonale AD à chacun de ces côtez AC, AB, comme cette impreffion. réfultante du concours d'action des puiffances E, F, fera à chacune d'elles: puifque ces deux puiffances E, E, étant alors entr'elles (Corol. 3.) comme ces côtez AC, AB, correfpondans, feroient auffi pour lors à l'impresfion résultante de leur concours d'action, comme ces. mêmes côtez AC, AB du parallelogramme BC, feroientz à fa diagonale AD.

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COROLLAIRE V..

Le même raisonnement qui dans la démonftrat. du: préfent Lem. 2. vient de prouver que le point mobile A doit parcourir la diagonale AD par le concours d'action des deux forces E, F, fuppofées entr'elles comme les côtez AC, AB, du parallelogramme BC, fuivant lefquels on les fuppofe auffi dirigées : ce même raisonnement, disje, prouvera que le même point A pouffé à la fois par deux autres puiffances dirigées fuivant les côtez AM, AN, d'un autre parallelogramme quelconque MN qui: auroit la même diagonale AD que celui-là, & entr'elles en raifon de ces deux côtez AM, AN; parcourroit encore par leur concours d'action cette diagonale AD du parallelogramme MN dans le même tems que feparé--ment elles lui en feroient parcourir les côtez, chacune celui fuivant lequel elle feroit dirigée. De forte que fi ces deux nouvelles forces fuivant AM, AN, étoient aux deux premieres E, F, comme AM, AN, font à AC, AB, étant alors feparément capables (ax. 8.) de faire parcourir au point À les côtez correfpondans AM, AN, du parallelogramme MN, dans le même tems que les forces