&c. dans les Fig. 6o. 61. du prefent Th. 4. étoient don nées en raifon des parties quelconques AB, AC, AE, AF, AD, &c. de ces cordes, & qu'il s'agit de les diriger de maniere à mettre toutes ces puiffances en équilibre entr'elles quoiqu'on y pût réuffir en prenant au hazard AB, AC, pour en faire le premier parallelogramme BACH; enfuite AE encore au hazard pour en faire avec AH le fecond parallelogramme HAEG; & ainsi des autres: il feroit cependant plus fùr, & même il le feroit toûjours de commencer par les moindres de ces proportionnelles données, & de faire leurs angles entreelles au point A, affez grands (plus ils le feront, tant mieux ) pour rendre la penultiéme diagonale moindre .que la fomme des deux plus grandes proportionnelles refervées pour être l'une diagonale, & l'autre un des côtez du dernier des parallelogrammes précedens, lequel doit avoir cette penultiéme diagonale pour fon autre côté. Par exemple, fuppofé que les précedentes proportionnelles données AB, AC, AE, AF, AD, &c. foient ici rangées de maniere que les moindres y précedent par tout les plus grandes, il faudroit prendre les deux premieres, c'eft-à-dire ( Hyp. ) les deux moindres AB, AC, pour en faire le premier parallelogramme BACH ; de fa diagonale AH, & de la troifiéme proportionnelle AE faire le fecond HAEGs de fa diagonale AG, & de la quatriéme proportionnelle faire le troifiéme ; & ainfi de fuite jufqu'à l'antepenultiéme proportionnelle inclufivement, laquelle foit ici AE. De cette maniere la penultiéme diagonale AG fera toûjours moindre que la fomme AF-AD des deux plus grandes & dernieres des cinq proportionnelles ici données, à moins qu'on n'eût pris les angles BAC, HAE, trop petits: auquel cas il n'y a qu'à les augmenter, & faire enfuite les parallelogrammes précedens, pour rendre cette penultiéme diagonale AG moindre que la fomme des deux dernieres proportionnelles reftantes AF, AD, ou GD, AD, en prenant GDAF ; desquelles GD, AD, & de la penultiéme dia

gonale

gonale AG, on pourra toûjours alors faire le triangle ADG; & confequemment auffi le dernier parallelogramme AGDF, qui aura AG, AF pour côtez, & AD pour diagonale: ce qui étant, la part. 4. du prefent Th. 4. fait voir que les puiffances données P, Q, R, S,K, seront en équilibre entr'elles en les dirigeant ainfi fuivant AB, AC, AE, AF, DA; au lieu que fi la penultiéme diagonale AG étoit égale ou moindre que la fomme des deux dernieres proportionnelles AF, DA, le triangle ADG feroit impoffible, auffi-bien que le dernier parallelogramme AGDF; & par confequent (part. 2. Th, 4.) l'équilibre entre les puiffances données feroit pareillement impoffible fuivant les directions qu'elles auroient alors.

63.

V. Pour appliquer aux Fig. 62. 63. ce qu'on voit des FIG. Fig. 60. 61. dans le précedent art. 4. il faut confiderer dans la part. 4. du prefent Th. 4. que pour mettre en équilibre dans les Fig. 62. 63. les puiffances données P, Q, R, S, K, dont les proportionnelles foient AB, AC, AE, AF, AD, il faut (en commençant par les premieres) que G foit le milieu de BC; que GE foit divifée en H de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. Que HE foit divisée en L, de maniere qu'on ait FL. LH:: 3. 1. Tout cela en forte qu'il en refulte 4×AL à AB, AC, AE, AF, comme la puiffance K eft aux autres P, Q, R, S, & diriger enfuite la puissance K suivant LA prolongée vers K, & les autres P, Q, R, S, fuivant AP, AQ AR, AS. Donc la puiffance K étant (Hyp.) à celles-là P Q, R, S, comme AD eft à AB, AC, AE, AF; il faut pour cet équilibre 4xAL AD, laquelle en ligne droite avec KA, foit (Corol. 1.) diagonale par A du dernier des parallelogrammes faits dans le précedent art. 4. Et confequemment pour cet équilibre il faut que AL, distance (Déf. 13.) du nœud A au centre principal d'équilibre entre les quatre puiffances P, Q, R, S, foit ici le quart de cette derniere diagonale, & que la puiffance K foit fuivant leur direction commune à contre-fens de

ce qu'elles font ensemble d'effort fuivant cette direction. La part. 4. du prefent Th. 4. fait voir qu'en general fui

vant le Corol 4. nomb. 2. du Lem. II. fi m étoit le nombre quelconque de ces puiffances données, cette distance du nœud A au centre principal d'équilibre de toutes, moins une, devroit être égale à la derniere diagonale divifée par m-1, pour pouvoir être toutes en équilibre entr'elles autour de ce noeud commun A de leurs cordes ; & confequemment dans le cas prefent de cinq puiffances, pour leur équilibre entr'elles la diftance AL doit être égale à la derniere diagonale divifée par 5-1, c'est-à-dire, par 4, ainfi qu'on le vient de dire. Donc pour mettre ici en équilibre entr'elles tant de puiffances données qu'on voudra, fans faire aucun parallelogramme, il y faut obferver tout ce qu'on a marqué dans l'art. 4-pour les y mettre par le moyen des parallelogrammes ; c'eft-à-dire, que pour mettre plus promtement & fùrement en équilibre les puiffances données P, Q, R, S,K, &c. fans faire aucun parallelogramme, il faut commencer (comme dans l'art. 4.) par les moindres d'elles, ou par les moindres de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. qu'il faut diriger toutes, hors la plus grande refervée pour la derniere, de maniere qu'elles faffent des angles affez grands entr'elles pour arriver fùrement à l'équilibre requis.

Par exemple, fi dans l'ordre qu'on les voit ici, les moindres font les premieres, en forte que les plus grandes y foient par tout après les moindres, il faut commencer par un angle affez grand ABC fait des deux premieres AB, AC, & divifer également en G la base BC; de ce point G par l'extrêmité E de la troifiéme proportionnelle AE, mener la droite GE, qu'il faut divifer en H,'de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. De ce point Hpar l'extrêmité F de la quatriéme proportionnelle AF, mener la droite HF, laquelle doit être divifée en L, de maniere qu'on ait FL. LH:: 3. 1. Et ainfi de fuite fuivant le Corol. 1. du Lem. I I..comme dans la démonftra

tion de la part. 3. du prefent Th. 4. jufqu'à la plus grande exclufivement de ces proportionnelles ou puiffances, refervée pour la derniere, laquelle foit ici K. Après cela il faut diriger toutes les puiflances P, Q, R, S, fuivant leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, ainfi placées, & la plus grande K refervée pour la derniere, fuivant LA, diftance du noeud commun A de leurs cordes au dernier point L de divifion, lequel fera

Déf. 13.) le centre principal d'équilibre de toutes les puiffances P, Q, R, S, hors de la derniere K : alors 4xAL fe trouvant à AB, AC, AE, AF, comme la puiffance K dirigée fuivant LA, eft aux autres puiffances P, Q, R, S, dirigées fuivant AP, AQ, AR, AS; la part. 4. du prefent Th. 4. fait voir que toutes ces puiffances ainfi dirigées feront alors en équilibre entreelles ; & ainfi de quelqu'autre nombre m de puiffances données que ce foit, dirigées de maniere que le produit de m-1 par la diftance du noeud commun A de leurs cordes au centre principal d'équilibre de toutes ces puiffances, moins une, foit à chacune des proportionnelles de celles-là, comme cette exceptée eft à chacune d'elles.

THEOREME V.

>

;

La construction demeurant la même que dans les démon- F1 0, 68. ftrations des part. 2. 3. du précedent Th. 4. fi les cordes AP, 69. AQ, AR, AS, &c. avoient chacune plufieurs branches chacune de ces branches encore plufieurs autres, & ainfi jufqu'à tant de branches qu'on voudra de chacune d'elles qu'au lieu d'être tirées par les puiffances P, Q, R, S, &c. comme dans ce Th. 4. leurs dernieres branches l'étoient toutes par autant d'autres puissances, en quelque nombre qu'elles fussent: Tout le contenu du précedent Th. 4. en feroit encore vrai Sçavoir,

I. Qu'en cas d'équilibre de toutes ces puissances avec le poids K, l'effort refultant de leur concours d'action contre lui, feroit toujours fuivant la direction KA de ce poids en fens comr traire, & égal à fa pesanteur.

FIC. 68.

II. Que ce poids K ainfi foûtenu par toutes ces puiffan ces en équilibre avec lui, feroit auffi toûjours à chacune d'elles comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits en A comme dans la démonftration 1. de la part. 2. du Th.4. feroit à chacune des proportionnelles de ces mêmes puiffances.

III. Que dans cet équilibre du poids K avec toutes ces puif fances, fi l'on appelle m le nombre des cordes (quel qu'il foit) dont A eft le naud commun; ce poids K fera auffi toûjours à chacune de ces puiffances, comme le produit de m-1 par la distance de ce nœud A à leur centre principal d'équilibre, fera à chacune de leurs proportionnelles.

IV. Reciproquement que fi ce poids eft à ces puissances en celle qu'on voudra des deux raifons ici marquées dans les part. 2. 3.& qu'il foit directement contraire à l'effort resultant de leurs concours, il fera en équilibre avec elles.

DEMONSTRATION.

PART. I. Cette part. 1. fe démontrera de même que la part. 1. du Th. 4. les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. faifant pareillement voir ici qu'en cas d'équilibre entre le poids K & l'effort resultant du concours de tout ce qu'il peut y avoir ici de puiffances qui lui foient appliquées à l'extrêmité d'autant de branches de cordes ; cet effort doit être directement contraire à ce poids, & égal à fa pefanteur. Ce qu'il falloit 1°.démontrer.

PART. II. Si la corde, par exemple AP, avoit plufieurs branches PX, PY, PZ, &c. iffues d'un même nœud P, aufquelles fuffent appliquées autant de puillances X, Y, Z, &c qui fuffent entr'elles comme les parties PO, PT, PV, &c. de ces branches, prifes depuis leur noeud commun P; que de deux quelconques PT, PV, de ces proportionnelles on fît le parallelogramme TV ; que de fa diagonale PM, & d'une troifiéme auffi quelconque FO de ces proportionnelles, on fît le parallelogramme MO; que de fa diagonale FN, & d'une quatriéme encore quelconque de ces mêmes proportionnelles, on fît de même un autre parallelogramme, & ainfi jufqu'à la derniere.