Le Corol. 10. du Lem. 3. fait voir que l'effort refultant du concours des puiffances X, Y, Z, &c. qui répondent à toutes ces proportionnelles PO, PT, PV, &c. doit être à chacune de ces puiffances comme la diagonale du dernier des parallelogrammes précedens eft à chacune de ces proportionnelles correfpondantes. De forte que s'il n'y a (comme ici) que trois puiffances X, Y, Z, qui agiffent enfemble fur le noeud P, l'effort refultant de leur concours fur ce nœud fuivant la diagonale PN, eft à chacune d'elles comme cette diagonale PN eft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV. Done la corde AP tirée par cet effort fuivant cette direction PN, laquelle fera (part. 1.) en ligne droite avec elle, fera ainfi tirée par le concours des puiffances X, Y, Z, comme (princ. gener.) par une feule puiflance P, dirigée fuivant AP, & égale à cet effort refultant du concours de celles-là, c'està-dire, par une puiffance P, ainfi dirigée, laquelle ( en prenant AB PN) feroit à ces puillances X, Y, Z, comme AB à leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc auffi l'effort en A, refultant du concours des puiffances X, Y, Z, Q, R, S, fera ici le même, & fuivant la même direction, que. , que celui qui y refulteroit du concours des puiffances P, Q, R, S. Or en prenant AC, AE, AF, à AB, comme les puiffances Q, R, S, font à la puiffance P, & en faifant enfuite les parallelogrammes qu'on voit en Ay comme dans la démonftration de la part. 2. du Th. 4r Le Corol. 1o. du Lem. 3. fait voir que l'effort refultant du concours de ces puiffances P, Q, R, S, feroit non feulement fuivant la diagonale AD du dernier AFDG de ces parallelogrammes ainfi faits en A, mais encore à chacune de ces mêmes puiffances P, Q, R, S, comme cette derniere diagonale AD à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc l'effort en A, refultant du concours des puiffances X, Y, Z, Q, R, S, eft aussi fuivant AD, & à chacune des puiffances P, Q, R, S, comme AD eft à AB, AC, AE, AF. Mais on vient de Peità X, Y, Z, comme AB eft à PO, PT,PV.

voir que

་

C

Donc l'effort A refultant du concours des puissances X, Y, Z, Q, R, S, eft non feulement de A vers D fuivant AD; mais encore à chacune de ces puiffances comme cette diagonale AD du dernier AFDG des parallelogrammes faits en A, eft à chacune de leurs proportionnelles FO, PT, PV, AC, AE, AF. Or la part. 1. fait voir qu'en cas d'équilibre entre le poids K & toutes ces puiffances, l'effort refultant de leur concours lui eft directement contraire & égal. Donc le poids K eft ausi pour lors à chacune de ces puiffances X, Y, Z, Q, R, S, comme la derniere AD des diagonales en A, està chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV, AC, AE, AF.

On démontrera de la même maniere quelque nombre de branches qu'on fuppofe auffi aux cordes AQ, AR, AS, que le poids K en équilibre avec les puiffances appliquées aux extrêmitez de ces branches, au lieu des puilances Q, R, S, & avec celles des branches de la corde AP, au lieu de la puiffance P: que ce poids K (dis-je) en cas d'équilibre avec les puiffances ainfi appliquées aux extrêmitez de toutes ces cordes ou branches de cordes, fera à chacune de ces puiffances, comme la derniere AD des diagonales en A fera à chacune de leurs proportionnelles. On démontrera de même, quelque nombre de cordes qui partent du nocud A, quelque nombre de branches qu'elles ayent chacune, quelques branches qu'ayent encore celles-ci, & ainfi jufqu'à tant de cordes qu'on voudra faire partir du noeud A, & jufqu'à tant de branches qu'on leur voudra fuppofer à chacune; que le poids K en équilibre avec toutes les puiffances appliquées aux extrêmitez de toutes ces branches, fera toujours à chacune de ces puiflances, comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits en A, ainfi que dans la démonftration 2. de la part. 1. du Th. 4. fera à chacune de leurs proportionnelles prifes depuis les derniers noeuds fur les directions ou branches de cordes de ces puillances. Ce qu'il falloit 2°. démontrer,

I

ز

PART. III. La corde AP ayant encore plufieurs bran- FIG. 6 ches PX, PY, PZ, &c. iffues d'un même nœud P, aufquelles foient appliquées autant de puissances X, Y,Z, &c. qui foient entr'elles comme les parties PO, PT, PV, &c. de ces branches prifes depuis leur noud commun P; Loit par les extrêmitez T, V, de deux quelconques PT, PV, de ces proportionnelles, la droite TV ; de fon milieu M par l'extrémité O d'une troifiéme PO de ces mêmes proportionnelles, foit menée MO, laquelle foit divifée en N de maniere qu'on ait ON. NM:: 2. 1.Et ainfi de fuite fuivant les Corol. 2. 3. 4. du Lem. 11. s'il y avoit ici plus de trois puiffances, ou plus de trois branches à la corde AP. Le Ĉorol.. de ce même Lemme 11. fait voir 5. fait voir que l'effort refultant du concours de ces trois puiffances X, Y, Z, fera ici de P vers N, & à chacune de ces puiffances comme 3×PN eft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc la corde AP tirée de cet effort fuivant PN, qui fera (part. 1.) en ligne droite avec elle, fera ainsi tirée par le concours des puiffances X, Y, Z comme (princip. gener.) par une feule P dirigée fuivant AP, & égale à l'effort refultant du concours de ces troislà, c'eft-à-dire, par une feule puiffance P ainfi dirigée, laquelle (en prenant AB=3×PN) feroit à celles-là X, Y, Z, comme AB à leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc auffi l'effort en A, refultant du concours des puiffances X, Y, Z, Q, R, S, fera ici le même & fuivant la même direction que celui qui y refulteroit du concours des puiffances P, Q, R, S. Or prenant AC, AE, AF, à AB, comme Q, R, S, font à P ; & en menant ( ainsi que dans la démonftration de la part. 3. du Th. 4.) par Les extrêmitez des proportionnelles AB, AC, AE, AF premierement la droite CB; fecondement de fon milieu G la droite GE, laquelle foit divifée en H de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. r. En menant enfin HF divifée en L de maniere qu'on ait FL. LH:: 3. Le Corol. 5. du: Lem. 11. fait voir que l'effort refultant du concours des puiffances P, Q, R, S, feroit non feulement fuivant AL,

mais encore à chacune de ces quatre puiffances, comme 4×AL eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc l'effort en A, refultant du concours des fix puiffances X, Y, Z, Q, R, S, eft auffi fuivant AL, & à chacune des puiffances P, Q, R, S, comme 4xAL eft à AB, AC, AE, AF. Mais on vient de voir que Peft à X, Y, Z, comme AB eft à PO, PT, PV. Donc l'effort en A, résultant du concours des puiffances X, Y, Z., Q, R, S, eft non feulement de A vers L fuivant AL diftance (Def. 13.) du noeud A au centre principal L d'équilibre de ces fix puiffances ; mais encore à chacune d'elles, comme 4×ALeft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, TV, AC, AE, AF. Or la part. 1. fait voir qu'en cas d'équilibre entre le poids K & toutes ces puiffances, l'effort resultant de leur concours lui eft non setlement directement contraire, mais encore égal. Donc ce poids K eft auffi pour lors à chacune de ces puiffances X, Y, Z, Q, R, S, comme 4×AL eft à chacune de leurs proportionnelles PO,PT, PV, AC, AE, AF.

On démontrera de même, quelque nombre m de cordes qui partent du noeud A, quelque nombre de branches qu'elles ayent.chacune, quelques branches qu'ayent encore celles-ci, & ainfi jufqu'à tant de branches qu'on voudra; que le poids K en équilibre avec toutes les puiffances appliquées aux extrêmitez de toutes ces branches chacune à chacune, fera toûjours à chacune de ces puiffances, comme le produit de mi par la distance du nœud A à leur centre principal d'équilibre eft à chacu ne de leurs proportionnelles. Ce qu'il falloit 3°. dé

montrer.

PART. IV. Le poids K étant ainfi fuppofé aux puiffances X, Y, Z, Q, R, S, &c. appliquées comme cideffus en celles qu'on voudra des raifons marquées dans les part. 2. 3. il fera à ces puiffances (Corol. 10. du Lem. 3. & Corol. 5. du Lem. 11.) en même raifon que l'effort refultant de leur concours d'action contre lui; & fequent ce poids fera ici égal à cet effort. Donc ce même

par con

poids

poids K étant de plus (Hyp.).directement contraire à ce même effort, il doit (Ax. 3.) demeurer en équilibre avec lui, c'est-à-dire, avec les puiffances X, Y, Z, Q, R, S, &c. du concours defquelles cet effort refulte. Ce qu'il fal loit 4°. démontrer.

COROLLAIRE.

Quelque nombre de noeuds & de branches qu'ayent ici les cordes des Fig. 68. 69. chacun de ces nœuds avec les branches qui en naiffent, pouvant être regardé comme celui des Fig. 60. 61. 62.63. avec les fiennes ; il est vifible que ce qu'on a conclu du Th. 4. par rapport aux puiflances appliquées aux branches de celui-ci, fe peut auffi conclure du prefent Th. 5. par rapport aux puiffances appliquées aux branches de chacun des noeuds des Fig. 68. 69. quelque nombre de noeuds & de branches à chacun d'eux, qu'il y puiffe avoir. Donc,

1o. Tant de puiffances données qu'on voudra (en prenant le poids K pour une ) appliquées à autant de branches de cordes, illues de tant de noeuds qu'on voudra, peuvent demeurer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune, pourvû qu'il y ait plus de trois branches à chaque noeud. Cela fe prouvera comme les Corollaires 2. 3. du

Théoreme 4.

20.Reciproquement tant de puiffances qu'on voudra, appliquées encore à autant de branches de cordes, iffues d'autant de noeuds qu'on voudra, peuvent changer de rapports en une infinité de manieres, & cependant faire toujours équilibre entr'elles fuivant les mêmes directions, y étant fucceffivement appliquées, pourvû qu'il y ait encore plus de trois branches à chaque noeud. Cela fe prouvera comme les Corol. 4. 5. du Th. 4.

3°. En cas d'équilibre, chacun des noeuds où il n'y auroit que quatre branches répandues en plus d'une demifphere, fera toûjours à un angle de parallelepipede, fuivant les trois côtez & la diagonale duquel les quatre