branches de ce nœud feront dirigées; & les quatre puiffances qui y feront appliquées, feront alors entr'elles comme ces trois côtez & cette diagonale de parallelepi pede. Cela fe prouvera comme le nomb. z. du Corol. 7. du Th. 4.

4o. Si ces quatre puiffances font ainfi dirigées, & en ce rapport entr'elles il y aura équilibre auffi entr'elles. Tout cela fe prouvera comme le nomb. 3. du Corol. 7. du Th. 4.

5o. Chacun des nœuds où il n'y auroit encore que quatre branches répandues en plus d'une demi-fphere, fera au centre de gravité d'une pyramide triangulaire, par les quatre angles de laquelle ces quatre branches paffe ront en cas d'équilibre ; & les puiffances qui y feront appliquées, feront alors entr'elles comme les diftances correfpondantes de ce centre de gravité aux quatre angles de la pyramide; c'eft-à-dire, que ces puiffances feront alors entr'elles comme les parties de feurs directions ou de leurs cordes, comprifes entre ce centre & chacun de ces angles. Cela fe prouvera comme le nomb. 2.du Corol. 8. du Th. 4.

les

6°. Reciproquement fi les quatre puiffances de chaque nœud, ainfi dirigées par le centre de gravité & par quatre angles d'une telle pyramide, font entreelles en ces rapports; elles feront auffi pour lors équilibre entr'elles. Cela fe prouvera comme le nomb. 3. du Corol. 8. du Th. 4.

SCHOLI E.

S'il fe trouvoit ici des noeuds de cordes, lefquels n'euffent que trois branches, le Th. 3. part. 1. 2. fait voir qu'en cas d'équilibre entre les puiffances qui y feroient appliquées, ce noeud feroit dans le centre de gravité d'un triangle rectiligne, par les trois angles duquel les directions de ces trois puiflances pafferoient ; & de plus que ces trois puiffances feroient alors entr'elles comme les parties de leurs cordes ou directions, comprifes entre

<ce centre & chacun de ces angles, c'est-à-dire, comme les distances de ce centre de gravité à chacun de ces angles correfpondans.

Le Th. 3. part. 3. fait reciproquement voir que fi les trois puiffances de chacun de ces noeuds font dirigées par le centre de gravité & par les trois angles d'un triangle rectiligne quelconque; que de plus elles foient entreelles comme les distances de ce centre à chacun de ces angles correfpondans; elles feront alors en équilibre entr'elles.

Pour des nœuds à deux branches feulement, le nomb. . du Corol. 2. du Lem.3. fait voir qu'il n'y en peut avoir, & que ce qu'on prendroit pour deux branches, fe dirigeroit bien-tôt en une ; c'est-à-dire, qu'elles fe mettroient bien-tôt en ligne droite par l'action des deux puiffances qui y feroient appliquées feules l'une contre T'autre.

THEOREME VL

Soit encore le poids K foûtenu en équilibre partant de puif- $16.70. fances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, appliquées à 71. autant de cordes AP, AQ, AR, AS, AT, &c. attachées ensemble par un même nœud A, & dirigées fuivant quelques plans que ce foient: je dis prefentement que ce poids ainfi en équilibre avec toutes ces puiffances, fera toûjours à chacune d'elles comme la fomme de leurs fublimitez, moins celle de leurs profondeurs, c'est-à-dire, comme l'excès dont la premiere de ces deux fommes furpaffe la feconde, eft à chacune des proportionnelles de ces mêmes puiffances.

DEMONSTRATION.

Depuis le nœud commun A des cordes AP, AQ, AR, F10.70, AS, AT, &c. foient fur ces mêmes cordes autant de parties AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles aux puiffances P, Q, R, S, T, &c. qui leur font appliquées, des extrêmitez B, C, E, F, M, &c. de ces pro portionnelles foient menées autant de lignes Bb, C, Ee,

Ff, Mm, &c. perpendiculaires en b, c, e, f, m, &c. fur la direction AK du poids K prolongée de part & d'autre. On voit fuivant la Déf. 16. que Ar, Ae, Af, font ici les fublimitez des puiffances Q, R, S, qui tirent de bas en haut, & que Ab, Am, y font les profondeurs des puiffances P,T, qui y tirent de haut en bas. Je dis donc que le poids K en équilibre ( Hyp.) avec les puissances P, Q, R, S, T, &c. eft à chacune d'elles comme Ac-+Act Aƒ—Ab¬Am±, &c. est à chacune de leurs proportionnelles. AB, AC, AE, AF, AM, &c.

Pour le voir, foit le parallelogramme BACH fait de deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles ; de fa diagonale AH, & d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles foit enfuite le parallelogramme HAEG de fa diagonale AG, & d'une quatriéme proportionnelle AF, foit auffi le parallelogramme GAFD de fa diagonale AD; & d'une cinquième proportionnelle AM, soit pareillement le parallelogramme DAMN; de fa diagonale AN, & d'une fixiéme proportionnelle, foit encore un autre parallelogramme, & toujours de même jufqu'à la derniçre inclufivement des proportionnelles aux puiffances fuppofées en équilibre avec le poids K, laquelle étant ici AM, la derniere des diagonales y fera AN. Par confequent (Th. 4.part. 1. 2.) non feulement cette derniere diagonale AN fera ici en ligne droite avec la direction AK de ce poids, mais encore ce poids Ky fera à chacune des puiffances P,Q, R, S, T, fuppofées en équis libre avec lui, comme cette derniere diagonale AN eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF,

AM:

Cela étant ainfi, des points H, G, D, des parallelogrammes précedens, hors du dernier, foient encore Hh, Gg, Dd, perpendiculaires en h,g, d, fur la direction AK du poids K, prolongée de part & d'autre. Le Lem. 1O. donne, 1o. Ab Ab-Ac. 2°. Ag=Ac-Ah (nomb. 1.) Ae-Ab-Ac. 3°. Ad=Ag+Af (nomb. 2.) Ac-. AAC+Aƒ. 4°. AN—Ad—Am (nomb. 3.) —Ae—Ab

Ac+AfAm. Et en continuant toûjours ainfi jufqu'à la derniere diagonale inclufivement, telle qu'eit ici AN, laquelle fe trouve toujours ( Th. 4. part. 1.) dans la direction prolongée KA du poids K en équilibre avec les puiffances fuppofées ; on trouvera toûjours cette derniere diagonale Ae¬Ab+Ac+Af—Am±&c. ce qui fe voit auffi tout d'un coup par le Corol. 3. au Lem. fo. Or le Th. 4. part. 2. fait voir qu'en ce cas d'équilibre le poids K elt toûjours à chacune des puiffances P,Q, R, S, T, &c. qui l'y foûtiennent, comme cette dernière diagonale eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Done ce poids K eft aufli toujours alors à chacune de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. comme Ac-+AcAƒ—AbAm, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. c'eft-à-dire (Déf: 16.) comme la fomme de leurs fublimitez Ac, Ae, Af, &c. moins la fomme de leurs profondeurs Ab, Am, &c. ou comme l'excès dont la premiere de ces deux sommes furpaffe la feconde, et à chacua ne de ces mêmes proportionnelles. Ce qu'il falloit démon

trer.

AUTRE DEMONSTRATION.

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J

Soient encore les lignes AB, AC, AE, AF, AM, &c. Fr 0.713proportionnelles aux puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec le poids K fuivant ces directions. Des extrêmitez B, C, E, F, M, &c. de ces pro portionnelles foient encore auffi Bb, Co, Ee, Ff, Mm, &c. perpendiculaires en b, c,e,f,m, &c. fur la direction A K de ce poids, prolongée de part & d'autre. Soient de plus appellées b, c,e,f,m, &c.les forces verticales employées felon le Lem. 3. part. 1. par les puiffances P, Q, R, S, T&c. pour ou contre le poids K fuivant fa direction Am ou Ad.

b. P:: Ab. AB.

c. Q:: Ac. AC.

Çela posé, le Lem. 3. part. 1. donnerae. R :: Ae. AE.

f. S: Af. AF. [m.T:: Am. AM.

&c.

Donc les puiffances P, Q, R, S, T, &c. étant (Hyp.) entr'elles comme AB, AC, AE, AF, AM, &c. leurs forces verticales b,c,e,f,m, &c. pour ou contre le poids K, font auffi entr'elles comme Ab, Ac, Ae, Af, Am, &c. Par confequent l'on aura ici ce+f~b—m+, &c. b:: A+ Ae+Af➡ Ab¬Am+&c. Ab. Mais on vient de voir b. P:: Ab. AB. Donc auffi (en rai fon ordonnée (c+e+f—b¬m±, &c. P :: Ac+Ac-+ Af-Ab-Am+, &c. AB. Or les efforts verticauxc,e,f, &c. des puiffances Q, R, S, &c. étant ici de bas en haut directement contraires au poids K, & aux efforts vertie caux b, m, &c. de haut en bas, que les puiffances P, T, &c. y font directement contre ceux-là en faveur de ce poids; l'équilibre içi fuppofé exige (Ax.4. ) c➡+e+f➡ &c=K+b+m+&c. Et confequemment ce+f bm&c K. Donc K. P:: Ac-+Ac-+Af-Ab¬Am± &c. AB. Mais (Hyp.) P eft à Q, R, S, T, &c. comme AB eft à AC, AE, AF, AM, &c. Donc auffi (en raifon ordonnée) ce poids K eft à chacune de toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec lui, comme Ac+Ae+Af Ab Am±, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Or (Def. 16.) Ac, Ae, Af, font les fublimitez des puif fances Q, R, S, qui tirent de bas en haut ; & Ab, Am, font les profondeurs des puiffances P,T, qui tirent au contraire de haut en bas. Donc enfin le poids K en équilibre avec elles & avec les autres, c'est-à-dire, avec toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &c. eft toûjours alors à chacune d'elles, comme la fomme de leurs fublimitez,