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FIG. 86. €7.988.

raux CDL, BDL, la direction DL demeurant (Hyp.) la même, & diminuer leurs complemens SFG, SGF, à deux droits : de forte qu'alors le rapport de SF à FG diminueroit auffi.

Donc en cas de changement des angles ACD, CDB, les rapports de EF à FS, &c. FS à FG diminueroient tous deux; & confequemment le rapport de EF à FG diminueroit auffi. Donc les puiffances K, L, fuppofées entreelles dans ce dernier rapport, feroient alors en équilibre fans être entr'elles comme EF à FG ; ce que la fait voir être impoffible. Donc il eft impoffible auffi que ces deux puiffances K, L, dirigées fuivant CK, DL, perpendiculaires ( Hyp.) à EF, FG, & entr'elles (Hyp.) comme ces lignes EF, FG, ne demeurent pas en équilibre entr'elles dans la pofition donnée ACDB de la corde ACB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

part. 1.

COROLLAIRE 1.

Soient prefentement tant de puiffances quelconques K, L, M, N, &c. qu'on voudra, appliquées fuivant telles directions CK, DL,PM, QN, &c. qu'on voudra auffi, à autant de points quelconques C, D,P,Q, &c. de la corde lâche & parfaitement flexible ACDB attachée par les deux bouts à deux clous ou crochets A, B, & en équilibre entr'elles. D'un point S pris à volonté fur le plan du polygone ACDPQB que ces puiffances font former (Th. 1. Corol. 11.) à cette corde, foient fur tous les côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de ce polygone autant de perpendiculaires Se, Sf, Sg, Sh, Sr, &c. qui les rencontrent (prolongez ou non ) en autant de points e, f, g, h,r, &c. Après cela fur une quelconque CK des directions des puiffances K, L, M, N, &c. foit menée une perpendiculaire EF qui la rencontre en k, & qui rencontre auffi en E, F, les droites Se, Sf, prolongées jufqu'à elle, s'il eft neceffaire. Du point F foit FG perpendiculaire en

à la direction DL de la puiffance fuivante L, & qui rencontre Sg en G. De ce point G foit aufli GH perpen

diculaire

diculaire en m à la direction PM de la puiffance fuivante M, & qui rencontre Sh prolongée en H. De ce pointH foit pareillement HR perpendiculaire en » à la direction QN de la puiffance fuivante N, & qui rencontre Sr prolongée en R ; & toûjours de même, quelque nombre de puillances quelconques qu'il puiffe y avoir ici en équilibre ainfi entr'elles.

Cela fait, il fuit de la part. 1. du prefent Th. 9. qu'er cas d'équilibre entre toutes ces puiffances K, L, M, N, &c. elles feront entr'elles comme les lignes correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. perpendiculaires (Hyp.) à leurs directions. Car l'équilibre fuppofé rendant ici le point P immobile comme s'il étoit fixe ainfi que le point A, la part. 1. du prefent Th. 9. fait voir que K. L::EF. FG. Le même équilibre rendant pareillement les points C, Q, immobiles comme s'ils étoient fixes, cette part. I. du prefent Th. 9. donnera de même L. M:: FG, GH. Parla même raifon elle donnera pareillement M. N:: GH. HR. Et toûjours de même, quelque nombre de puiffances quelconques dirigées à volonté, qu'on suppose ici en équilibre entr'elles.

K. L:: EF. FG.
L.M::FG. GH.
M.N::GH.HR.
&c.

Par confequent (en raifon ordonnée) toutes ces puiffances K, L, M, N, &c. feront ici entr'elles comme les lignes correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. perpendiculaires à leurs directions. Ce qu'il falloit démontrer.

Donc

COROLLAIRE II.

Toutes ces lignes EF, FG, GH, HR, &c. étant ici F1.38 (conftr.) perpendiculaires en k, l, m, n, &c. aux directions CK, DL, PM, QN, &c. de toutes les puiffances K, L, M, N, &c. chacune à chacune; il est manifeste A a

TIC.86. 37.88.

que

fi ces directions font toutes paralleles entr'elles, comme dans la Fig. 88. toutes leurs perpendiculaires EF, FG, GH, HR, &c. ne feront alors enfemble qu'une feule & même ligne droite OI, de laquelle elles feront autant de parties. Donc (Corol. 1:) les puiffances K, L,‹ M, N, &c. fuppofées en équilibre entr'elles, feront auffi pour lors entr'elles comme les parties correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. de la droite OI perpendiculaire à toutes leurs directions. D'où l'on voit dans la Fig. 88.que des poids K, L, M, N, &c. de directions paralleles entr'elles, & ainfi en équilibre entr'eux, feroient auffi en-tr'eux comme ces parties correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. de la droite OI perpendiculaire à leurs dire-Єtions.

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COROLLAIRE III.

Le reciproque des deux précedens Corol. 1. 2. fe dé montrera comme la part. 2. de ce Théoreme-ci : fça-· voir, que la corde AĈDPQB étant donnée de pofition, c'eft-à-dire, le polygone quelconque qu'elle forme, étant donné, fi d'un point pris à volonté fur le plan de ce polygone, on mene SE, SF, SG, SH, SR, &c. perpendicu laires en e, f, g, h,r, &c. à ses côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. & de rapports quelconques entr'elles; fi l'on applique aux angles C, D, P, Q, &c. de ce polygone, fuivant des directions CK, DE, PM, QN, &c. perpendiculaires aux bafes (prolongées ou non) EF, FG, GH, HR, &c. des triangles ESF, FSG, GSH, HSR, &c. . autant de puissances K, L, M, N, &c. lefquelles foient entr'elles comme ces bafes ; toutes ces puiffances retiendront ensemble la corde ACB dans la position donnée ACDPQB, y demeurant en équilibre entr'elles..

Car premierement les clous ou crochets A, B, étant chacun (Hyp.) d'une résistance invincible, il eft manifeste que toutes ces puiffances doivent tôt ou tard fe mettre en équilibre entr'elles dans quelque pofition de la corde. ACB. Secondement, cette pofition ne peut être autre que

la donnée ACDPQB; puifque fi quelqu'un de fes angles, par exemple, ACD, augmentoit ou diminuoit, un raifonnement femblable à celui de la démonstration de la part. 2. fera voir que quelqu'un des autres angles du polygone donné, diminueroit ou augmenteroit, & peut-être plufieurs: mais un nous fufit pour faire voir qu'alors les perpendiculaires EF, FG, GH, HR, &c. aux directions données des puiffances K, L, M, N, &c. ne feroient plus en raifon de ces puiffances; & qu'ainfi ces mêmes puiffances pourroient ici faire équilibre entr'elles, fans être en raifon de ces lignes ; ce qui eft impoffible par le Corol. 1. Donc il eft pareillement impoffible que ces puiffances, telles qu'on les vient de fuppofer, ne demeurent pasen équilibre entr'elles dans la pofition donnéeACDPQB de la corde ACB. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE IV.

Il fuit de-là en particulier dans la Fig. 8-8. que des poids 14.88) K, L, M, N, &c. de directions paralleles entr'elles, appliqués aux angles C, D, P, Q, &c. d'un polygone quelconque ACDPQB formé par une corde ACB de pofition donnée, & entr'eux comme les parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées fur une droite OI perpendicu laire aux directions de ces poids, par les droites SE, SF, SG, SH, SR, &c. menées d'un point S pris à volonté sur le plan de ce polygone, perpendiculairement en e,f,g, b,r, &c. à fes côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. prolongez ou non: il fuit, dis-je, du précedent Corol. 3.que tous ces poids retiendront ensemble cette corde ACB dan's cette pofition donnée ACDPQB en équilibre entr'eux, ou qu'ils la lui donneroient, fi elle ne l'avoit pas.

COROLLAIRE V.

Donc file polygone étoit d'une infinité de côtez, c'està-dire, fi la corde ACB formoit une courbe quelconque donnée ACDPQB, dont les tangentes fuffent confequemment les côtez infiniment petits prolongez AC, CD, DP,

FIG. 89

PQ, QB, &c. de fce polygone infinilatere ; que d'un poit quelconque S pris à volonté fur le plan de ce polygone ou de cette courbe ACDPQB on fuppofât des perpendiculaires SE, SE, SG, SH, SR, &c. à toutes ces tangentes en e, f, g, h, r,&c. & qui rencontraffent en autant de points E,F,G, H, R., &c. une droite quelconque OI perpendiculaire en k, l, m, n,&c. à des directions CK,DL,ÎM, QN,&c. paralleles entr'elles de poids K, L, M, N, &c. fufpendus aux angles ou points C, D, P, Q, &c. de concours des tangentes contigues de la courbe donnée ACDPQB, & que ces poids fullent entr'eux comme les parties correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. de la droite OI: il fuit, dis-je, du précedent Corol. 4. que ces poids en cette raison, & ainfi appliqués à la corde ACB, la retiendroient ensemble dans la courbure donnée ACDгQB, ou la lui donneroient fi elle ne l'avoit pas.

COROLLAIRE VI...

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de cette cour

Cela étant., fi la pofition donnée de la corde ACB étoit , par exemple, un arc quelconque de cercle ACDPQB, égal ou moindre que le quart be, dont S fut le centre, & A le plus bas de tous les points, auquel elle fùt attachée comme en B dans un plan vertical, & touchée par l'horifontale AI on OI; qu'aux extrêmitez C, D, P, Q, &c. de fes parties égales infiniment petites AC, CD,DP, PQ, &c. de cet arc (qui regardé comme un polygone infinilatere regulier, ait fes points pour fes angles, & fes petites parties pour les côtez) fuffent fufpendus autant de poids K, L, M, N, &c. de directions toutes perpendiculaires en k, l, m, n, &c. à la tangente horifontale OI, & qui fuffent entr'eux comme les parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées fur cette tangente par les fecantcs SE, SF, SG, SH, SR,&c. perpendiculaires aux milieux e, f, g, h, r, &c. des élemens égaux AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de l'arc circulaire donné ACDPQB: fi tout cela (dis-je) étoit ainfi, il fuit du précedent Corol. 5. que ces poids K, L, M,N,

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