tre les mêmes directions des poids K, L, fe divifent mutuellement en P en raifon directe de ces poids ; c'est-à-dire de maniere qu'elles rendent EP.PD:: K. L:: CP. PF. Car le parallelifme fappofé de ces directions EK, FL, des poids K, L, rendant les triangles CQG, HQD, femblables entr'eux, de même les triangles CPE, FPD, l'on auɩra ici QH. QC:: QD. QG: : DH. CG (Corol. 1.): : K. L. Et EP. PD:: CP. PF :: CE. DF (Th. 8.) : : K. L. ainsi qu'on le vient de dire.

COROLLAIRE IV.

Soient prefentement tant de poids quelconques K, L FIG. 80 M,N, &c. qu'on voudra, fufpendus à autant de points auffi quelconques C, D, E, F, &c. de la corde lâche & parfaitement Aexible ACDB entre fes deux points d'attache A, B. Si après avoir prolongé de CK vers FN, chacun des côtez AC, CD, DE, &c. du polygone ACDEFB que les poids font faire à cette corde, jufqu'à la rencontre en H, Q, S, &c. des directions (Hyp.) paralleles en tr'elles DL, EM, FN, &c. immédiatement fuivantes des poids L, M, N, &c. On prolonge de même de FN vers CK, les côtez BF, FE, ED, &c. jufqu'à la rencontre en R, P, G,&c. des directions auffi (Hyp.) paralleles entreełles EM, DL, CK, &c. des poids M, L, K, &c.

Alors le Corol. 1. donnant

L'on aura en mult. par ordre

K. L::DH. CG.

L. M:: EQ. DP. ·
M.N:: FS. ER.

K.N:: DHXEQxFS. CGXDPXER.
L. N:: EQxFS. DP×ER.

K.M:: DHXEQ. CG×DP.

Et toûjours de même, quelque nombre de poids quel-conques de directions paralleles entr'elles, qu'on fuppofe ainfi fufpendus à autant de points auffi quelconques d'une corde lâche & parfaitement flexible, attachée par les ex

FIG. 81.

25.

trêmitez à deux clous ou crochets, telle qu'on fuppofe

ici ACDEFB.

THEOREME IX.

1. La corde lâche & parfaitement flexible ACDB du pré82.83. 84. cedent Th. 8. demeurant attachée par les deux bouts aux deux clous ou crochets A, B, foient encore deux puissances quelconques K, L, dirigées comme l'on voudra, appliquées à deux points auffi quelconques C, D, de cette corde entre ces deux clous au crochets A, B. D'un point S pris à volonté dans le plan du polygone ACDB, que ces deux puiffances avec ces deux clous font faire à cette corde, foient se, sf, sg, perpendiculaires en e, f, g, aux trois cótez prolonge AC, CD, DB de ce polygone ; de plus à une des directions des deux puiffances K, L, par exemple, à la direction CK de la puiffance K, foit faite EF perpendiculaire en k, & rencontrée en E, F, par Se, Sf, Sg, prolongées jufqu'à elle enfin du point F foit FG perpendiculaire en 1 à la direction DL de l'autre puissan ce L, & qui rencontre Sg en G.

Cela fait, je dis qu'en cas d'équilibre la puiffance K fera à la puiffance L, comme EF eft à FG ; c'est-à-dire, K. L ::

EF. FG.

II. Reciproquement la corde ACDB étant donnée de pofition, c'est-à-dire, le polygone qu'elle forme étant donné, fi d'un point S pris à volonté dans le plan de ce polygone ACDB, on fait SE, SF, FG, perpendiculaires en e, f, g, à fes côtez AC, CD, DB, prolonge, & de rapports quelconques entrelles deux puissances K, L, dirigées fuivant CK, DL. perpendiculaires aux bafes EF, FG, des deux triangles ESF, FSG, & entr'elles comme ces bafes, retiendront la corde ACDB dans cette pofition donnée, y demeurant en équilibre entr'elles,

DEMONSTRATION.

PART. I. Dans le cas d'équilibre que cette part. 1. fuppofe, les deux forces dont chacun des cordons AC, CD,

DB, eft tiré directement en fens contraires, foient appellées e chacune des deux forces dont le cordon AC eft tiré de A vers C,& de C vers A; f, chacune des deux dont le cordon CD eft tiré de C vers D, & de D vers C; g, chacune des deux dont le cordon DB eft tiré de D vers B, & de B vers D..

Cela pofé, puifque (conftr.) les trois côtez SE, EF, SF, du triangle. ESF font ici perpendiculaires aux directions (prolongées s'il eft neceffaire) CA, CK, CD, des trois forces e, K, f; ces trois côtez doivent être ici entr'eux(Théoreme 1. Corollaire 7.) comme ces trois forces. De même puifque (conftr.) les trois côtez SF, FG, CS, du triangle FSG, font pareillement ici perpendicu-laires aux directions DC, DL, DB, des trois forces f,. L,g; ces trois côtez doivent être auffi entr'eux comme ces trois forces. Donc K. f:: EF. FS. Et f. L:: FS. FG.. Donc auffi (en raifon ordonnée) K. L:: EF. FG. Ce qu'il! falloit 1°. démontrer.

PART. II. Premierement, puifque les clous our cro-chets A, B, font (Hyp.) chacun d'une réfiftance invincible, il ett manifelte que les puiffances K, L, gardant toujours les mêmes directions CK, DL, doivent fe mettre tôt ou tard en équilibre entr'elles dans quelque pofition » de la corde ACB. Secondement, pour voir que cette po-fition ne peut être autre que l'a donnée ACDB, il faut confiderer qu'aucun des deux angles ACD, CDB., ne peut ici augmenter ni diminuer, à moins que l'autre au contraire ne diminue ou augmente en même tems. Mais fi Pangle, par exemple, ACD augmentoit, la direction CK de-meurant (Hyp.) la même, fon complement ESF (à deux : droits) diminueroit; les collateraux ACK, DCK, diminueroient auf, la direction CK demeurant (Hyp.) la même ; au contraire leurs complemens (à deux droits) SEF, SFE, augmenteroient l'un & l'autre : de forte qu'alors le rapport de EF à FS, diminueroit. Au contraire l'angle CDB, qui diminueroit alors, feroit augmenter fon complement FSG à deux droits, auffi-bien que fes collate-

FL.G. 86. $7.88.

raux CDL, BDL, la direction DL demeurant (Hyp.) la même, & diminuer leurs complemens SFG, SGF, à deux droits : de forte qu'alors le rapport de SF à FG diminueroit auffi.

part. 1.

Donc en cas de changement des angles ACD, CDB, les rapports de EF à FS, &c. FS à FG diminueroient tous deux; & confequemment le rapport de EF à FG diminueroit auffi. Donc les puiffances K, L, fuppofées entreelles dans ce dernier rapport, feroient alors en équilibre fans être entr'elles comme EF à FG ; ce que la fait voir être impoffible. Donc il eft impoffible auffi ces deux puiffances K, L, dirigées fuivant CK, DL, perpendiculaires (Hyp.) à EF, FG, & entr'elles (Hyp.) comme ces lignes EF, FG, ne demeurent pas en équilibre entr'elles dans la position donnée ACDB de la corde ACB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

COROLLAIRE I.

que

Soient prefentement tant de puiffances quelconques K,L,M,N, &c. qu'on voudra, appliquées fuivant telles directions CK, DL, PM, QN, &c. qu'on voudra auffi, à autant de points quelconques C, D,P,Q, &c. de la corde lâche & parfaitement flexible ACDB attachée par les deux bouts à deux clous ou crochets A, B, & en équilibre entr'elles. D'un point S pris à volonté fur le plan du polygone ACDPQB que ces puiffances font former (Th. 1. Corol. 11.) à cette corde, foient fur tous les côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de ce polygone autant de perpendiculaires Se, Sf, Sg, Sh, Sr, &c. qui les rencontrent (prolongez ou non) en autant de points e, f, g, h,r, &c. Après cela fur une quelconque CK des directions des puiffances K, L, M, N, &c. foit menée une perpendiculaire EF qui la rencontre en k, & qui rencontre auffi en E, F, les droites Se, Sf, prolongées jufqu'à elle, s'il eft neceffaire. Du point F foit FG perpendiculaire en à la direction DL de la puiffance fuivante L, & qui rencontre Sg en G. De ce point G foit aufli GH perpen

diculaire

diculaire en m à la direction PM de la puiffance fuivante M, & qui rencontre Sh prolongée en H. De ce pointH foit pareillement HR perpendiculaire en 2 à la direction QN de la puiffance fuivante N, & qui rencontre Sr prolongée en R; & toûjours de même, quelque nombre de puillances quelconques qu'il puiffe y avoir ici en équi

libre ainfi entr'elles.

Cela fait, il fuit de la part. 1. du prefent Th. 9. qu'en cas d'équilibre entre toutes ces puiffances K, L, M, N, &c. elles feront entr'elles comme les lignes correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. perpendiculaires (Hyp.) à leurs directions. Car l'équilibre fuppofé rendant ici le point Pimmobile comme s'il étoit fixe ainfi que le point A, la part. 1. du prefent Th. 9. fait voir que K. L::EF. FG. Le même équilibre rendant pareillement les points C, Q, immobiles comme s'ils étoient fixes, cette part. I. du prefent Th. 9. donnera de même L. M:: FG, GH. Par la même raifon elle donnera pareillement M. N:: GH. HR. Et toûjours de même, quelque nombre de puissances quelconques dirigées à volonté, qu'on fuppofe ici en équilibre entr'elles.

Par confequent (en raison ordonnée) toutes ces puiffances K, L, M, N, &c. feront ici entr'elles comme les lignes correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. perpendiculaires à leurs directions. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE II.

Toutes ces lignes EF, FG, GH, HR, &c. étant ici F1.58 (conftr.) perpendiculaires en k, l, m, n, &c. aux diretions CK, DL, PM, QN, &c. de toutes les puiffances K,L,M,N, &c. chacune à chacune ; il eft manifefte A a