TIC.86. 37.8.8. ร que Єtions. COROLLAIRE III. Le reciproque des deux précedens Corol. 1. 2. fe dé montrera comme la part. 2. de ce Théoreme-ci : fça-. voir, que la corde AĈDPQB étant donnée de pofition, c'eft-à-dire, le polygone quelconque qu'elle forme, étant donné, fi d'un point pris à volonté fur le plan de ce polygone, on mene SE, SF, SG, SH, SR, &c. perpendiculaires en e, f, g, h,r, &c. à ses côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. & de rapports quelconques entr'elles; fi l'on applique aux angles C, D, P, Q, &c. de ce połygone, fuivant des directions CK, DL, PM, QN, &c. perpendiculaires aux bafes ( prolongées ou non) EF, FG, GH, HR, &c. des triangles ESF, FSG, GSH, HSR, &c. . autant de puiffances K, L, M, N, &c. lefquelles foient entr'elles comme ces bafes ; toutes ces puiffances retiendront ensemble là corde ACB dans la position donnée ACDPQB, y demeurant en équilibre entr'elles. Car premierement les clous ou crochets A, B, étant chacun ( Hyp.) d'une résistance invincible, il eft manifefte que toutes ces puiffances doivent tôt ou tard fe mettre en équilibre entr'elles dans quelque pofition de la corde ACB. Secondement, cette pofition ne peut être autre que 1 po Ja donnée ACDPQB; puifque fi quelqu'un de fes angles, par exemple, ACD, augmentoit ou diminuoit, un raifonnement femblable à celui de la démonftration de la part. 2. fera voir que quelqu'un des autres angles du lygone donné, diminueroit ou augmenteroit, & peut-être plufieurs: mais un nous fufit pour faire voir qu'alors les perpendiculaires EF, FG, GH, HR, &c. aux directions données des puiffances K, L, M, N, &c. ne feroient plus en raifon de ces puiffances; & qu'ainfi ces mêmes puiffances pourroient ici faire équilibre entr'elles, fans être en raison de ces lignes ; ce qui eft impoffible par le Corol. 1. Donc il eft pareillement impoffible que ces puiffances, telles qu'on les vient de fuppofer, ne demeurent pasen équilibre entr'elles dans la pofition donnée ACDPQB de la corde ACB. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE IV. Il fuit de-là en particulier dans la Fig. 8.8. que des poids # 16, 38 K, L, M, N, &c. de directions paralleles entr'elles, appliqués aux angles C, D, P, Q, &c. d'un polygone quelconque ACDPQB formé par une corde ACB de pofition donnée, & entr'eux comme les parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées fur une droite OI perpendicu laire aux directions de ces poids, par les droites SE, SF, SG, SH, SR, &c. menées d'un point S pris à volonté sur le plan de ce polygone, perpendiculairement en e,f,g, h,r,&c. à ses côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. prolongez ou non : il fuit, dis-je, du précedent Corol. 3.que tous ces poids retiendront ensemble cette corde ACB dans cette pofition donnée ACDPQB en équilibre entr'eux, ou qu'ils la lui donneroient, fi elle ne l'avoit pas. Donc file polygone étoit d'une infinité de côtez, c'està-dire, fi la corde ACB formoit une courbe quelconque donnée ACDPQB, dont les tangentes fuffent confequemment les côtez infiniment petits prolongez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de ce polygone infinilatere ; COROLLAIRE VI.. Cela étant, fi la position donnée de la corde ACB étoit par exemple, un arc quelconque de cercle ACDPQB, égal ou moindre que le quart de cette courbe, dont S fut le centre, & A le plus bas de tous les points, auquel elle fut attachée comme en B dans un plan vertical, & touchée par l'horifontale AI on OI; qu'aux extrêmitez C, D, P, Q, &c. de fes parties égales infiniment petites AC, CD,DP, PQ, &c. de cet arc (qui regardé comme un polygone infinilatere regulier, ait fes points pour fes angles, & fes petites parties pour les côtez) fuffent fufpendus autant de poids K, L, M, N, &c. de directions toutes perpendiculaires en k, l, m, n, &c. à la tangente horifontale OI, & qui fuffent entr'eux comme les parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées fur cette tangente par les fecantcs SE, SF, SG, SH, SR,&c. perpendiculaires aux milieux e, f, g, h, r, &c. des élemens égaux AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de l'arc circulaire donné ACDPQB: fi tout cela ( dis-je ) étoit ainfi, il fuit du précedent Corol. 5. que ces poids K, L, M,N, &c. ainfi en raison des differences EF, FG,GH, HR,&c. des tangentes AE, AF, AG, AH, AR, &c. des arcs circulaires Ae,Af, Ag,Ah, Ar,&c. retiendroient ensemble la corde ACB dans la pofition ou courbure circulaire donnée ACDPQB, ou là lui donneroient fi elle ne l'avoit pas. COROLLAIRE. VII. que 87.88.898 Toutes chofes demeurant les mêmes que dans tous les Fiat 86 Corollaires précedens, ces fix Corollaires faifant voir pour que les puiffances K, L, M, N, &c. quelques direations qu'elles ayent, retiennent enfemble la corde ACB dans la courbure quelconque donnée ACDPQB, ou qu'ils la lui donnent fi elle ne l'a pas ; il faut que ces puiffances K, L, M, N, &c. foient entr'elles comme les lignes EF, FG, GH, HR, &c. perpendiculaires à leurs directions, & terminées par des perpendiculaires menées d'un même point quelconque S, pris fur le plan de cette courbure ou polygone ACDPQB, à fes côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. lefquels prolongez fe trouvent tangentes de la courbe en laquelle ce polygone fe réduit, lorfqu'il devient infinilatere, aux angles ou concours C, D, P, Q, &c. defquels côtez, pris deux à deux contigus, ces puiffances font appliquées: il fuit neceffairement de tous ces Corol. 1. 2. 3. 4. 5. 6. qu'alors EF, FG, GH, HR, KL M N &c. doivent être autant de fractions conftantes égales · entr'elles ; & reciproquement que lorfqu'elles feront telles, les puiffances K, L, M, N, &c. ainfi appliquées doivent demeurer en équilibre entr'elles, & retenir la corde ACB dans la courbure qui aura donné les numerateurs de ces fractions en raison de ces puiffances, ou lui donner cette courbure fi elle ne l'a pas. COROLLAIRE VIII. 89. Donc conformément aux Corol. 2. 4. 5. 6. lorfque les Fie. 89directions CK, DL, PM, QN, &c. des poids K, L, M, N, &c. font paralleles entr'elles, comme dans les Fig. A à j F.1,0.90. 88.89. les perpendiculaires EF, FG, GH, HR, &c. à ces directions, ne faifant alors qu'une feule & même ligne droite OI perpendiculaire à toutes ces mêmes directions; il faut, pour que ces poids retiennent la corde ACB dans la courbure donnée ACDFQB non feule FG ment (Corol. 7.) que les fractions EF, FC, GH, HR, &c. K L M foient conftantes & toutes égales entr'elles, mais encore que leurs numerateurs EF, FG, GH, HR, &c. foient autant de parties d'une même ligne droite OI perpendiculaire aux directions de ces poids, marquées fur elle par des perpendiculaires menées d'un même point quelconque S aux côtez du polygone ou aux tangentes de la courbe ACDFQB que la corde doit former par l'action de ces poids appliquez chacun au concours de deux tangentes contigues, c'est-à-dire, aux angles du polygone qui dégenere en cette courbe. Reciproquement lorfque ces fractions feront telles, les poids K, L, M, N, &c. ainfi fufpendus aux angles ou concours C, D, P, Q~ &c. des côtez ou tangentes contigues de ce polygone ou de cette courbe ACDPQB, doivent (Corol. 7.) demeurer en équilibre entr'eux, & retenir la corde ACB dans cette courbure, ou la lui donner, fi elle ne l'a pas. THEOREME X. 1. Deux puiffances quelconques K, L, dirigées à volonté, & appliquées en deux points quelconques C, D, d'une corde lâche & parfaitement flexible ACDB, attachée par les deux bouts à deux clous ou crochets A, B, demeurant encore en équi libre entr'elles, comme dans les Th. 8. 9. d'un point quelcon que S foient faites SE, SF, SG, paralleles aux trois côtez "AC, CD, DB, du polygone ACDB que ces puissances font faire à cette corde & d'un point F pris auffi à volonté fur SF, foient menées FE, FG, paralleles aux directions CK, DL, des puiffances K, L, jufqu'à ce que ces deux lignes rencontrent SE, SG, en E, G. Cela fait, je dis qu'en ce cas d'é |