quées aux angles C,D,P,Q, &c. d'un polygone quelconque ACDPQB formé par une corde ACB de pofition donnée, & entr'eux comme les parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées fur une droite OI. parallele aux directions de ces poids, par les droites SE, SF, SG, SH, SR, &c. menées d'un point quelconque S paralleles aux côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de ce polygone: il fuit, dis-je, du précedent Corol. 3. que tous ces poids retiendront enfemble la corde ACB dans la pofition donnée ACDPQB en équilibre entr'eux ; ou qu'ils la lui don-meroient, fi elle ne l'avoit pas.

COROLLAIRE. V.

Donc fi ce polygone étoit d'une infinité de côtez, c'està-dire, fi la corde ACB formoit une courbe quelconque ACDPQB, dont les tangentes fuffent confequemment les côtez infiniment petits prolongez AC, CD, DP, PQ QB, &c. de ce polygone infinilatere ; que d'un point quelconque S on fuppofât des paralleles SE, SE, SG, SH, SR, &c. à toutes ces tangentes, & qui rencontraffent en autant de points E, F, G, H, R, &c. une ligne droite quelconque OI, parallele aux directions CK,DL, PM, QN, &c. des poids K, L, M, N, &c. fufpendus. aux angles ou points C, D, P, Q, &c. de concours des tangentes contigues de la courbe données ACDPQB, & que ces poids fuffent entr'eux comme les parties corref pondantes EF, FG, GH, HR, &c. de la droite Ol: il fuit, dis-je, du précedent Corol. 4. que ces poids en cette raifon, & appliqués à la corde ACB, la retien`droient enfemble dans la courbure donnée, ou la lui donneroient, fi elle ne l'avoit pas.

COROLLAFRE VI.

D'où l'on voit que fi les points (infiniment proches les uns des autres) C, D, P, Q, &c. de cette corde ACB, jufqu'ici regardée comme fans pefanteur, avoient effeAivement des pefanteurs de directions paralleles entre

elles, & en raifon des parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées comme dans le Corol. 5. fur la droite OI parallele à toutes ces directions; cette corde (Hyp.) parfaitement flexible ACB prendroit d'elle-même la courbure donnée ACDPQB.

COROLLAIRE VIL

Toutes chofes demeurant les mêmes que dans tous dans tous les FIG. 920 Corollaires précedens, ces fix Corollaires faifant voir que 93. pour que les puiffances K, L, M, N, &c. quelques direations qu'elles ayent, retiennent enfemble la corde ACB dans une courbure quelconque donnée ACDFQB, il faut que ces puiffances K, L, M, N, &c. foient entr'elles comme les lignes EF, FG, GH, HR, &c. paralleles à leurs directions, & terminées par des paralleles menées d'un même point quelconque S, aux côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c.de ce polygone, lefquels prolongez font tangentes de la courbe en laquelle il fe réduit quand il devient infinilatere, aux angles ou concours C, D, P,Q, &c. defquels côtez, pris deux à deux contigus, ces puiffances K, L, M, N, &c. font appliquées : il fuit, dis-je, des Corol. 1. 2. 3. 4. 5.6.qu'alors, FC, GH EF, FG, GH, HR,

L M &c. doivent être autant de fractions conftantes toutes égales entr'elles ; & réciproquement que lorfqu'elles feront telles, les puiffances K, L, M, N, &c. ainfi appliquées doivent demeurer en équilibre entr'elles, & retenir enfemble la corde ACB dans la courbure ACDPQB qui aura donné les numerateurs de ces fractions, ou lui donner cette courbure, fi elle ne l'avoit pas.

COROLLA RE VIII.

Donc conformément aux Corol. 2.4. 5. 6.lorfque les FIG. 93. directions CK, DL, PM, QN, &c. des poids K, L, M, N, &c. font paralleles entr'elles, comme dans la Fig. 93. les paralleles EF, FG, GH, HR, &c. à ces directions, ne faifant plus alors qu'une feule & même ligne droite

FIG. 94.

OÍ parallele à ces mêmes directions ; il faut pour que ces poids retiennent la corde ACB dans la courbure donnée ACDPQB, non feulement ( Corol. 7.) que les fractions

EF FG GH HR

ΚΙ

N

X'I'M &c. foient conftantes & toutes égales entr'elles, mais encore que leurs numerateurs EF, FG,, GH, HR, &c. foient autant de parties marquées fur une même ligne droite OI parallele aux directions de ces poids, par des paralleles menées d'un même point S aux côtez du polygone, ou aux tangentes de la courbe ACDPQB que la corde doit former reciproquement lorfque ces fractions feront telles, les poids K, L, M, N, &c. ainfi fufpendus aux angles ou concours C, D, P, Q, &c. des côtez ou tangentes contigues de ce polygone ou de cette courbure ACDPQB, doivent demeurer en équilibre entr'eux, & retenir la corde ACB dans cette cour bure donnée, ou la lui donner, fi elle ne l'a pas.

Lorsqu'on a parlé ci-dessus de courbures quelconques ACDPQB, données ou non, de la corde ACB, il est visible qu'on n'y a compris que des courbures telles que des puiffances ou des poids qui lui feroient appliquez, lui pourroient donner i &confequemment toutes convexes du côté vers lequel tendent les poids ou les puiffances qui la tirent en même fens.

THEOREME XI.

Soit encore une corde lâche parfaitement flexible ACDPQB, attachée par fes extrêmitez à deux clous ou crochets A, B, laquelle foit tirée en C, D, P, Q, &c. par tant de puissances K, L, M, N, &c. qu'on voudra, en équilibre entr'elles fuivant des directions quelconques EK, FL, GM, HN, &c. je dis qu'en ce cas d'équilibre ta résistance du clou A fera toûjours à celle du clou B, comme le produit des finus des angles faits du coté de B par ces directions avec la corde ACDP QE, fera au produit des fonus de ce qu'elles font d'autres angles avec cette corde du coté de A..

DEMONSTRATION.

Soient e,f,g, &c. les forces de tenfions dont les parties intermediaires CD, DP, PQ__, &c. de la corde font. tirées fuivant leurs longueurs par le concours des puif-fances K, L, M, N, &c. foient auffi A, B, les résistances leur font les clous de ces noms. Soit enfin la caracteristique ou la marque des finus des angles que les directions des puiffances font avec la corde qu'elles cour-bent en polygone quelconque ACDPQB.

que

Gela pofé,le Cor. 1. du Th. 2. donne

[A.e:: SECD. SECA..

e. f:: SFDP.fFDCf.g:: SGPQ.SGPD. 13. B:: SHQB. SHQP.

&c.

Donc (en multipliant par ordre) A. B:: ƒECD×sFDP> fGPQx/HQBx &c. sÉCA׃FDC×sGPD×sHQP× &c. · Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I..

Il fuit de-là que fi les directions EK, FL, GM, HN,&c. des puiffances K, L, M, N, &c. divifent chacune en deux également chacun des angles ACD, CDP, DPQ, PQB, &c. de la corde, au travers defquels ces directions paffent; cette corde fera bandée par tout d'égale force dans toute fa longueur ACDPQB ; & les réfiftances A, B, des clous de ces noms, feront égales entr'elles; c'està-dire, qu'alors on aura Aefg=B=&c. Car cette égalité d'angles en chacun des points C, D, P, Q, rendant SECD SECA, FDP (FDC, JGPQ=JGPD+ SHQB=SHQP, rendra auffi (fuivant les premieres analogies de la démonstration précedente) A=e, e=f,f=8, g-B, &c. Et par confequent A=e=f=g=B=&c.ainft qu'on le vient de dire.

Bb Bj

4

96.

COROLLAIRE II.

Si au contraire les directions EK, FL, GM, HN, &c. des puiffances K, L, M, N, &c. font toutes paralleles entr'elles ; les réfiftances A, B, des clous de ces noms, feront en raifon reciproque des finus des angles ECA, HQB, que leurs cordons feront avec les directions EK, HN, des puiflances K, N, qui leur font plus voifines; c'est-à-dire, qu'alors on aura A. B:: HQB. SECA. Puif quece parallelifme rendant ECD/FDC,sFDP=sGPD, GPQ SHOP, &c. l'analogie conclue dans la démonAtration précedente, doit fe réduire ici à A. B:: sHQB. SECA.

THEOREME XII.

Soit encore la corde lâche & parfaitement flexible ACPB attachée par fes extrémitez à deux clous ou crochets A, B, &bandée en polygone quelconque ACDP QB par tant & telles puiffances K, L, M, N, &c. qu'on voudra, appliquées fuivant telles directions CK, DL, PM, QN, &c. qu'on voudra auffi, aux angles ou points C, D, P, Q, &c. de la corde que ces puiffances en équilibre entr'elles difpofent ainfi en polygone ACDPQB. Soient R, S, T, &c. les points ou les côtez prolongez PD, QP, BQ, &c. de ce polygone rencontrent fon premier côté AC prolongé. Soient E le point où les directions KC, LD, prolongées fe rencontrent; F celui où RE, MP, prolongées fe rencontrent auffi; G, un pareil point de rencontre entr'elles de SF, N2, prolongées de méme, &c. Cela pofé, je dis,

I. Que fi Neft (comme ici) la derniere des puissances fuppofées, la droite GT fera leur direction commune, c'est-à-dire (Déf. 7.) la direction de l'effort refultant du concours de toutes ces puiffances K, L, M, N, contre les clous A, B.

11. Que cet effort commun fera aux réfiftances de ces clous A, B, comme le finus de l'angle total ATB aux finus des angles partiaux GTB, GTA.