DEMONSTRATION.

PART. I. Les Corol. 19. & 20. du Lem. 3. font voir que l'effort réfultant du concours des puiffances K, L, eft dirigé fuivant ER ou FR; que le réfultant du concours de celui-ci & de la puiffance M, eft dirigé fuivant FS ou GS; que le résultant de celui-ci & de la puiffance N eft dirigé fuivant GT; & toûjours de même. Donc, s'il n'y a (comme ici) que les quatre puiffances K, L, M, N, l'effort résultant de leur concours total d'action contre les clous A, B, aura fa direction fuivant GT. Ce qu'il falloit 1. démontrer.

PART. II. Donc toutes ces puiffances K, L, M, N, ne font ensemble contre les clous A, B, que comme une feule égale à l'effort réfultant de leur concours, laquelle appliquée en T fuivant la direction GT de cet effort, à une corde ATB, feroit foûtenue par ces deux clous A, B, · Or (Th. 1. Corol. 4.) cette nouvelle puiffance fuivant GT, feroit alors aux réfiftances.de ces mêmes clous A, B, comme le finus de l'angle ATB aux finus des angles GTB, GTA. Donc l'effort réfultant du concours d'action de toutes les puiffances K, L, M, N, contre les clous A, B, eft ici aux réfiftances de ces clous, comme le finus de l'angle total ATB eft aux finus des angles partiaux GTB, GTA. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc en general (part. 1.2.) fi l'on prolonge le pre mier AC, & le dernier BQ, des côtez du polygone funiculaire fuppofé ACDPQB, jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent** en quelque point T, & qu'on divife leur angle ATB en deux autres GTA, GTB, dont les finus foient en raison reciproque des résistances des clous A, B, trouvées dans le Th. 11.c'est-à-dire, en deux autres angles GTA,GTB, tels que le finus partial GTB foit au finus de l'autre partial GTA, comme la réfiftance dur clou A eft à celle du clou B; la droite GT qui divifera ainfi l'angle total ATB,

fera la direction de l'effort réfultant du concours des puiflances K, L, M, N, lequel effort (Th. 1. Cor. 4.) fera à chacune de ces réfiftances des clous A,B, comme le finus de cet angle total à chacun des finus des angles partiaux GTB, GTA: de forte que fi l'on appelle A, B, ces résistances des clous de ces noms, & qu'on prenne f pour marque des finus, l'un aura toujours ici A. B:: GTB. fGTA. Donc,

la

1. Les réfiftances A, B, des clous ou crochets de ces noms étant trouvées fuivant le Th. 11. fi depuis T fur leurs directions TA, TB, on prend TV. TX :: A. B. & que de ces côtez TV, TX, on faffe le parallelogramme TVXG, l'on aura fa diagonale GT pour la direction commune de toutes les puillances K, L, M, N, c'est-àdire, de la force réfultante de leur concours : puis on aura pour lors A. B:: TV. TX (Lemme 8. Corol. 2.):: fTGV. JGTA:: GTB. (GTA. Ce que le nomb. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. fait aufli veir.

2o. Reciproquement la direction commune GT des puiffances K, L, M, N, c'est-à-dire, de la force ( que j'appelle T) réfultante de leur concours, étant trouvée fuivant le prefent Th. 12. le parallelogramme TVGX d'une diagonale GT prise à volonté fur cette direction commune, & des côtez TV, TX, placez fur les directions TA, TB, des réfistances A, B, donnera de même (Lem. 3. Corol. 1.nomb. 2.) VT, GT, XT, en raison de A, T, B; & confequemment A. B:: TV. TX (nomb. 2. } .:/GTB. SGTA.

M. Bernoulli a trouvé la précedente direction commune GT d'une autre maniere dans fon Effay de la Manoeuvre des Vaiffeaux, chap. 15. prop. 3. où il l'appelle Direction moyenne.

COROLLAIRE II

On vient de voir dans le Corol. 1. du Th. 11. que lorfque les directions EK, EL, FM, GN, des puiffances K, L, M, N, divifent chacune en deux parties égales

chacun

chacun des angles ACD, CDP, DPQ, PQB, qu'elles traversent; les réfistances des clous A, B., font égales entr'elles. Donc alors (Corol. I.) la direction GŤ de l'effort resultant du concours de toutes ces puiffances, divife également en deux l'angle ATB compris entre les directions prolongées AC, BQ, de ces résistances; & cet effort commun eft à chacune de ces deux réfiftances, comme le finus de l'angle ATB eft au finus de la moitié de cet angle.

COROLLAIRE III.

Le Corol. 2. du Th. 1 1. fait voir auffi que lorfque les F. 97 directions EK, EL, FM, GN, des puiffances K, L, M, N, font toutes paralleles.entr'elles, le finus de l'angle GQB eft au finus de l'angle ECA, comme la résistance du clou A est à celle du clou B ; c'est-à-dire, en prenant encore A & B pour les noms de ces réfiftances, & pour la marque des finus ; qu'alors A. B:: GQB. SECA. Or en general (Corol. 1.) la direction GT de l'effort réfultant de toutes ces puiffances K, L, M, N, quelques directions qu'elles ayent, doit toûjours divifer l'angle ATB en deux autres GTA, GTB, tels qu'on ait toûjours A. B

GTB./GTA. Donc en ce cas-ci de directions EK, EL, FM, GN, toutes paralleles entr'elles, l'on aura toûjours JGQB. SECA :: SGTB. GTA. Ce qui fait voir qu'en ce cas-ci la direction GT de l'effort résultant du concours des puiffances K, L, M, N, de telles directions, doit toûjours être parallele à ces mêmes directions, conformé ment au Corol. 1. du Lem. 6. qui le pouvoit auffi dé

montrer.

COROLLAIRE IV.

Imaginons prefentement que le précedent polygo- F10.98 ne funiculaire devienne infinilatere, & dégenere ainfi en une courbe ACDB comme dans la Figure 98. par l'action d'une infinité de puiffances appliquées à ous les points de cette corde, ou par les pefan

Сс

teurs particulieres quelconques de toutes les parties; foient auffi imaginées aux points A, B, de fufpenfion deux tangentes AT, BT, de cette courbe ACDB, lefquelles fe rencontrent en quelque point T. Cela pofé,

1o. Si les preffions ou tractions de cette corde ACDB font toutes perpendiculaires à fa courbure, le Corol. z. fera voir que la ligne GT, qui divifera en deux également l'angle ATB compris entre ces deux touchantes AT, BT, fera la direction de l'effort résultant de tout ce qu'il a de forces qui courbent ainfi cette corde.

20. Si les preffions ou tractions font toutes paralleles entr'elles, telles qu'on fuppofe d'ordinaire toutes celles qui réfulteroient à cette corde ADCB de l'action fur elle des differentes pefanteurs de toutes fes parties ; le Corol. 3. fait auffi voir que la ligne GT parallèle à toutes ces directions, feroit la direction de l'effort réfultant du concours de toutes ces pefanteurs particulieres, ou d'autres forces quelconques qui, comme ces pefanteurs, agiroient fur cette corde ACDB fuivant des directions toutes paralleles à celles-là.

THEOREME XIII.

Soit le précedent polygone funiculaire quelconque ACDPQB formé par l'action de tant de puiffances K, L, M, &c. qu'on voudra, appliquées aux fommets C, D, P,&c. de fes angles. fuivant des directions EK, EL, FM,&c. lefquelles faffent prefentement toutes d'un même côté, par exemple, vers A ̧ avec les côte adjacens AC, CD, DP, PQ, &c. des angles quelconques ACE, CDE, DPF, PQG, &c. tous égaux entr'eux,& dont les immediatement voisines fe rencontrent deux à deux en E, F,&c. fi l'on appelle e, f, g, &c. les forces dont les parties CD, DP, PQ, &c. de la corde polygone ACDF Q B font bandées ou tirées chacune fuivant fa longueurs l'on aura

FD

GP

DEMONSTRATION.

Puifque les angles ACE, CDE, DPF, PQG, &c. font (Hyp.) tous égaux entr'eux, il eft manifefte que fi l'on prolonge AC, CD, DP, PQ, &c. vers R, S, T, V,&c. l'on aura les angles DCR-DEC, PDS=PFD, QPT= QGP, &c. Cela étant, & les côtez d'un triangle rectiligne quelconque étant toûjours entr'eux (Lem. 8. Cor. 2.) comme les finus des angles qui leur font opposez,

Le Corol. 4. du Th. 1. donnera par tout ici K.e::SACD. SACE::fDCR. SCDE::SCED. SCDE :: CD.CE. L.f::/CDP./CDE:: SPDS. DPF::SPFD. (DPF :: DP. FD. M.g::/DPQ/FPD::SOPT.(GOP::/QGP./GQP:: PQ. GP.

&c.

excD fXDP

Defquelles Analogies résultent K= L

M=8xPD, &c. Ce qu'il falloit démontrer.

GP

COROLLAIRE I.

CE

FD

On voit de-là que fi les côtez CD, DP, PQ, &c. du polygone funiculaire ACDPQB étoient en raifon reciproque des forces e, f, g, &c. dont ils font tirez chacun fuivant fa longueur par le concours des puiffances K, L, M, &c. Cette hypothese rendant par tout exCD =fxDP=g×PQ=&c. de grandeur constante, laquelle

I

soit prise pour l'unité, rendroit K=1, L=1, M=

CE

FD

GP

&c. c'est-à-dire, que les puiffances K, L, M, &c. feroient alors en raifon reciproque des lignes CE, FD, GP, &c. qui leur répondent.