PHR que leurs directions font entr'elles, eft au finus de fa moitié. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

Cette démonstration fait voir que les trois puissances D, P, R, font ici en equilibre fur la Poulie MDNC, & dans le méme rapport entr'elles, que fi elles n'étoient en équilibre (Th. 1. Corol. 4. ) qu'avec des cordes HD, HP, HR, nouées enfemble en H, & dirigées comme elles font ici, c'est-à-dire, de maniere que les angles PHD fuffent égaux entr'eux comme ils le font ici:& qu'ainsi l'équilibre des puiffances entrelles fur des Poulies, peut fort bien passer pour un cas de l'équilibre avec des cordes feulement & confequem ment auffi le present Th. 14. pour un (eul cas du Th. 1. ce qui fournit encore une autre démonftration que voici de la méme part. 2. du prefent Th. 14.

AUTREMENT. 11 eft vifible que tant que la puiffance D demeure ainfi en équilibre avec les puiffances P, R, fur la Poulie MBNC, non feulement cette Poulie demeure fans mouvement, mais encore la corde PMBNR demeure deffus fans gliffer, ni fe mouvoir non plus que fi elle y étoit collée, ou phyfiquement unie depuis M jufqu'à Navec la partie MBN de fa circonference; & les points M, N, de cette corde auffi fixes que fi PM, RN, étoient deux cordes differentes qui y fuffent feparément attachées fuivant les tangentes de la Poulie en ces deux points-là: de forte qu'on peut regarder ici cette Poulie MBNC comme un corps qui tend vers D fuivant AD d'une force égale à celle de la puiffance D, & retenu avec les cordes PM, RN, par les puiffances P, R, en équilibre avec lui. Or en ce cas non feulement sa ligne de direction AD pafferoit ( Lem. 3. Corol. 13. 14.) par le point H ou concourent ces cordes prolongées, & le long de leur plan ; mais encore cette Poulie MBNC regardée avec une telle impreffion, auroit ( Th. I. Corol. 4.) cette force à chacune des puiffances P, R, qui la retiennent, comme le finus de l'angle MHN à chacun des finus des angles NHA, MHA. Donc en effet la ligne de direction AD de la force ou puiffance D, avec laquelle la Poulie

MN eft ainfi tirée contre les puiffances P, R, en équili bre(Hyp.) avec elle, paffe toûjours par le point H, dans lequel leurs cordes prolongées concourent, & le long de leur plan, ainfi qu'on le vient de démontrer dans la part. 1. mais encore en ce cas d'équilibre entre ces trois puiffances D, P, R, la premiere D appliquée au centre A de la Poulie, eft toûjours à chacune des deux autres P., R, comme le finus de l'angle MHN est à chacun des finus des angles NHA, MHA.

Or à caufe que DA paffe (Hyp.) par le centre A de la Poulie, & par H, & que MH, NH, en font deux tou- . chantes en M, N ; les deux angles NHA, MHA, font chacun la moitié de l'angle MHN. Donc en la prefente hypothefe d'équilibre entre les trois puiffances D, P, R, fur la Poulie MBNC, la premiere D, dont la direction · AD paffe par le centre A de cette Poulie, eft toujours à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MHN, ou PHR, que leurs directions ou cordes longées font entr'elles, eft au finus de fa moitié. Ce qu'il· falloit encore 2°. démontrer.

pro

PART. III. Puifque (Hyp.) M, N, font les points où la Poulie eft touchée par les parties PM, RN de la corde PMBNR, & que dans l'équilibre ici fuppofé entre les trois puiflances D,P,R,ces parties de corde (directions des puiffances P, R) prolongées concourent en H, fur la direction AD, perpendiculaire à la foutendante MN; les angles AMH, ANH, feront droits de même que ceux que fait la droite MN avec AD; & par confequent l'on aura ici non feulement l'angle MAN, complement de MHN à deux droits, mais encore tous les angles AMN, AHM, AHN, ANM, égaux entr'eux. Donc (Déf. 9. Corol. 2.) le finus de l'angle MAN fera ici au finus de chacun des angles · AMN, ANM, comme le finus de l'angle MHN y eft au finus de chacune de fes moitiez AHM, AHN. Ór en ce cas d'équilibre la puiffance D eft (part. 2.) à chacune des deux autres puiflances P, R, comme le finus de l'angle MHN eft au finus de chacune de fes moitiez

AHN, AHM. Donc en ce cas d'équilibre cette puiffance D doit aufli être à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MAN eft au finus de chacun des angles ANM, AMN, du triangle ifofcelle MAN, c'est-à-dire (Lem. 8. Corol. 2.) comme la foutendante MN eft à chacun des rayons AN, AM, de la Poulie MBNC. Ce qu'il falloit 3.démontrer.

AUTREMENT. Puifque (conftr.) les trois côtez AM, AN, MN, du triangle MAN, font perpendiculaires aux trois directions PH,RH, AD, ( chacun à chacune) des trois puiffances P, R, D, en équilibre (Hyp.) entr'elles, & que ces trois puiffances font ici en équilibre comme fur un corps MBNC, auquel elles feroient appliquées en M, N, B; le Corol. 6. du Th. 1. fait voir que la puiffance D y doit être à chacune des deux autres P, R, comme le côté MN du triangle MAN est à chacun de fes deux autres côtez AN, AM, c'eft-à-dire, encore comme la foutendante MN de l'arc MBN de la Poulie, enveloppé de la corde PMBNR, qui foutient cette Poulie MBNC, eft à chacun des rayons de cette même Poulie. Ce qu'il falloit encore 3°. demontrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) les trois puiffances D, P,R, appliquées comme ci-deffus à la Poulie MBNC, le font de maniere que la direction AD de la premiere D de ces puiffances, paffe par le concours H des directions PM, RN, prolongées des deux autres puiffances P, R, le long de leur plan, & à travers leur angle MHN ; que de plus cette premiere puiffance D eft à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MHN compris entre leurs directions ou cordes prolongées, eft au finus de fa moitié; & que ( la direction AD paffant par le centre A de la Poulie fuivant fon plan, & les deux autres PM, RN, la touchant en M, N,) chacun des angles MHA, NHA, eft la moitié de l'angle MHN: ces trois puiflances D, P, R, en action (Hyp.) les unes contre les autres fur la Poulie MBNC, feront ici entr'elles comme les finus des angles MHN, NHA, MHA, que les directions ou

cordes

cordes prolongées font entr'elles au point H, où elles concourent (Hyp.) toutes trois ensemble. Donc (Th. 1. Corol. 15.) ces trois puiffances D, P, R, ainfi appliquées à la Poulie MBNC comme à un corps tiré de ces trois forces à la fois, doivent ici demeurer en équilibre entreelles. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

AUTREMENT. Si quelqu'une de ces trois puiffances D, P, R, par exemple, D, ne fuffifoit pas pour faire ici équilibre avec les deux autres P, R, fuivant les directions fuppofées, foit en fa place telle autre puiffance B qu'on voudra, qui appliquée comme elle) fuivant AD, y fuffife. La part. 2. fait voir que cette puissance B seroit alors à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MHN eft au finus de fa moitié, c'est-à-dire (Hyp.) comme la puiffance D eft à chacune de ces deux puillances P, R; & que par confequent cette puiffance D feroit égale à l'autre B. fubftituée en fa place. Donc ayant ici (Hyp.) la même direction AD qu'elle, cette puissance D feroit auffi (ax. 2.) équilibre avec les deux autres P, R.

Si l'on vouloit que ce fut une de ces deux-ci , par exemple, P, qui ne fuffit pas pour leur faire faire équilibre avec la troifiéme D; l'on n'auroit qu'à fuppofer de même en la place de P fuivant fa direction PM quelqu'autre puiffance K, qui y fuffit, & l'on trouveroit reillement que cette nouvelle puiffance K lui feroit égale; & confequemment que la puissance P, aussi-bien que K, feroit équilibre avec les deux autres R, D.

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Donc les trois puiffances D, P, R, appliquées comme on les fuppofe ici, à la Poulie MBNC, & entr'elles (Hyp.) comme les finus de l'angle MHN & de fes moitiez, feroient ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit encore 4°. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp. ) les directions prolongées DA, PM, RN, des puiffances D, P, R, concourent ici toutes trois en H dans un même plan, & que ( Hyp.)M,N, font les points où la Poulie MBNC eft touchée par les

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parties PM, RN, de la corde PMBNR; l'on aura ici (comme dans la démonft. 1. de la part. 3.)le finus de l'angle MHN au finus de chacune de fes moitiez AHM, AHN, comme le finus de l'angle MAN eft au finus de chacun des angles AMN,ANM, du triangle MAN, c'eit-à-dire (Lem. 8. Corol. 2.) comme la foutendante MN eft à chacun des rayons AN, AM, de la Poulie MBNC; & confequemment aufli (Hyp.) comme la puiffance D eft à chacunė des puiffances R, P. Donc (part. 4.) ces trois puiffances feront encore ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit 5°. démontrer.

AUTREMENT. Ces trois puiffances D, P, R, étant ici (Hyp.) entr'elles comme les côtez MN, AM, AN, du triangle MAN, perpendiculaires (Hyp.) à leurs directions AD, PM, RN, & en action les unes contre les autres fur la Poulie MBNC comme fur un corps auquel elles feroient appliquées en B, M, N, le Corol. 19. du Th. 1. fait voir que ces trois puiffances D, P, R, doivent encore ici demeurer en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit encore. démontrer.

Cette part. 5. Je pourra encore démontrer ( fi l'on veut) par un raisonnement femblable à celui de la feconde démonftration de la part. 4.

COROLLAIRE I

La part. 2. faisant voir qu'en cas d'équilibre fur la Poulie MBNC entre les puiffances D, P, R, la premiere D appliquée au centre A de la Poulie, est toujours à chacune des deux autres P, R, appliquée à la corde PMBNR qui paffe fur cette Poulie, comine le finus de l'angle MHN compris entre les directions de ces deux puiffances P, R, elt au finus de fa moitié, fait voir que la puiffance D eft toujours alors en même raifon à chacune de ces deux mêmes puiffances P, R ; & confequemment que ces deux-ci font toûjours alors égales entr'elles.

Cela fuit auffi de la part. 3. laquelle en ce cas d'équilibre donnant toûjours la puissance D à chacune des deux