COROLLAIRE VIII.

Prefentement fi au lieu de la puiffance ou du poids D en équilibre avec les puiffances P, R, on attachoit la corde AD à quelque clou, il eft vifible que ce clou feroit la même résistance contre les puiffances P, R, que fait prefentement le poids ou la puillance D; que la direction de la corde AD feroit encore ici la même qu'auparavant, & que la résistance du clou y feroit égale à celle du poids ou de la puiffance D. D'où il fuit,

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1°. Que lorfqu'une Poulie fur laquelle deux puiffances font équilibre comme ici P, R, eft fufpendue ou retenue par une corde telle qu'eft ici AD, cette corde fe dirige toujours en forte (part. 1.) qu'elle divife en deux également l'angle MHN des tangentes de cette Poulie touchée aux points M, N, par les directions ou cordes PM, RN, de ces deux puiffances.

2o. La résistance ou la charge du clou auquel eft attachée la corde AD qui foûtient cette Poulie MBNC contre l'action des puiflances P, R, eft à chacune d'elles (part. 2.) comme le finus de l'angle MHN de leurs directions ou cordes prolongées PM, RN, eft au finus de sa moitié ; & auffi (part. 3.) comme la foutendante MN de l'arc MBN enveloppé de la corde PMBNR, eft au rayon AM, AN de la Poulie MBNC.

3. Par confequent tant que l'angle MHN feroit fini, la charge ou la réfiftance de ce clou auquel la corde AD feroit attachée, feroit ( Corol. 3.) moindre que la fomme des puiffances P, R, & moindre de plus en plus (Corol. 4.) que cette fomme P+R, à mesure que cet angle MHN deviendroit plus grand: mais fi les directions ou cordes PM, RN, de ces deux puiffances, lefquelles prolongées font cet angle, fe trouvent paralleles entreelles, la charge ou la réfiftance de ce même clou fera égale ( Corol. 2.) à la fomme de ces deux puiffances P, R; & confequemment alors (Cerol. 1.) double de chacune d'elles.

COROLLAIRE IX.

Si la Poulie MBNC au lieu d'être arrêtée en D, ou en quelqu'autre point de la corde AD, qui paffe par fon centre A, avoit feulement ce centre A fixe autour duquel elle fut mobile, les puiffances P, R, agiffant encore fur cette Poulie de la même maniere qu'auparavant, & cette Poulie leur faifant aufli encore la même résistance qu'elle leur faifoit, lorfqu'elle étoit retenue par la corde AD; elle doit en recevoir encore la même impreffion, & fuivant la même direction AD qu'auparavant; ainfi l'effort commun des puiffances P, R, fur cette Poulie MBNC, ne tend encore qu'à la mouvoir fuivant DA avec la même force commune dont elles tiroient auparavant contre le poids ou la puiffance D, ou contre le clou qu'on vient de fuppofer (Cor. 8.) en la place de ce poids ou de cette puiffance D. Donc la charge de cette Poulie MBNC, lorfque le centre A en eft fixe, ou la réfiftance de fon goujon fixe A, autour duquel feulement elle eft mobile, eft toûjours (part. 2.) à chacune des puiffances P, R, (en équilibre fur cette Poulie, & au concours d'action defquelles fon goujon fixe A réfifte) comme le finus de l'angle MHN compris entre leurs directions out cordes prolongées PM, RN, eft au finus de fa moitié, ou (part. 3.) comme la foutendante MN eft au rayon AM ou AN de cette Poulie MBNC ; & confequemment auffi (Corol. 3.) cette charge ou réfiftance de ce goujon fixe A, eft toûjours moindre que la fomme de ces deux puillances P, R, excepté dans le cas de leurs directions paralleles entr'elles, dans lequel cette charge de la Pou~lie MBNC eft toujours ( Corol. 2.) égale à la fomme de ces deux puiffances P, R, & confequemment Corol. 1.) double de chacune d'elles.

COROLLAIRE X.

De-là & du Corol. 5. il fuit que plus l'angle MHN compris entre les parties de la corde PM, RN, prolon

gées du côté de H, fera grand, moins fera grande la charge de la Poulie MBNC, ou de fon centre A, foit que ce centre en feit fixe, ou qu'il foit mobile: de forte que cet angle MHN peut devenir fi obtus que la Poulie MBNC ou fon centre A ne fera chargé que fi peu qu'on voudra des puiffances P, R; jufques-là même que cette Poulie pourroit être foutenue contre ces deux puiffances par une troifiéme D indéfiniment petite, c'est-à-dire, moindre que quelque poids donné que ce foit: il ne faut pour cela Corol. 4.) qu'ouvrir l'angle MHN compris entre les directions des parties de corde PM, RN, jusqu'à ce qu'enfin fon finus foit à celui de fa moitié, où la Loutendante MN au rayon, AM de la Poulie, en moindre raifon que le poids donné n'est à chacune des puiflances P, R.

COROLLAIRE XI.

Au contraire on peut rendre cet angle MHN si aigu que la puiffance ou le poids D appliqué au centre A de la Poulie MBNC, ou quelqu'autre en fa place, devra être plus grand que chacune des puiffances P, R, pour faire équilibre avec elles. Mais ce poids ne peut pas ainfi augmenter à l'infini; car ne pouvant jamais (Corol. 6.) être plus grand que lorfque cet angle MHN ou PHR eft infiniment aigu, c'est-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) lorsque les parties PM, RN, de corde font paralleles entreelles; & le finus de cet angle MHN, n'étant encore alors (Corol. 4.) que double du finus de fa moitié, & la foutendante MN feulement double alors du rayon AM de la Poulie, ce poids ne peut être tout au plus (Corol.1.) que double de chacune des puiffances P, R.

COROLLAIRE. XII.

Ce qui fait encore voir, comme dans le Corol. 7. que fur une infinité de cas differens où cet équilibre peut arriver, il n'y en a qu'un feul dans lequel le poids ou la puiflance D puille (Corol. 11.) être double de chacune

des

des puiffances P, R ; & que dans tous les autres il eft toûjours (Corol. 10.) moindre que double, & moindre à l'infini que chacune d'elles.

Tous ceux qui fe mêlent de Mécanique, fçavent affez que jufqu'au Projet de celle-ci, donné en 1687. dans lequel ceci fut ainfi démontré, on regardoit ordinairement comme generale, & comme abfolument vraye cette propofition: Qu'un poids attaché ou fufpendu au centre mobile d'une Poulie, & en équilibre avec une puiffance appliquée à une des extrêmitez d'une corde, laquelle embraffant cette Poulie, auroit fon autre extrêmité retenue par quelque clou, ou autrement, feroit double de cette puiffance. Cependant on voit par ce dernier Corol. 1 1. & par le Corol. 7. que fur une infinité de cas differens où cet équilibre peut arriver, cette propofition n'eft vraye que dans un feul, qui eft lorfque les parties de la corde, qui touchent cette Poulie, font paralleles entr'elles, & qu'elle eft fauffe dans tous les autres. Il eft vrai que dans la démonftration qu'en donnent les Auteurs qui l'ont avancée, ils fuppofent tous que ces parties de corde touchent cette Poulie aux extrémitez d'un méme diamétre & confequemment qu'elles font paralleles entr'elles: mais outre qu'il eft rare qu'elles le foient,ces Auteurs n'ayant point fait cette restriction dans leur propofition, ils la regardent dans la fuite comme generale, & l'appliquent indifferemment à toutes les machines où l'on fe fert de Poulies, fans avoir égard à la fituation de leurs cordes, que plufieurs même dirigent indifferemment, fans rien changer au rapport réfultant du feul parallelifme de ces directions dans cette propofition, entre les poids & la puissance qu'ils y fuppofent en équilibre entr'eux, comme fi cette varieté des directions n'en devoit apporter aucune dans ce rapport: ce qui a jetté ces Auteurs dans des méprifes confiderables, comme on le verra par le Corol. 17. de ce Théoreme-ci, & par les Corol. 1. 2. 3. des Th. 17. 18. dans les réflexions qui fuivront ce Corol. 17. du prefent Th. 14. & le Scholie du Th. 18.

M.Wallis eft le feul que je fcache avoir reconnu cet inConvenient avant 1687. que j'en avertis dans le Projet de

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cette Mécanique-ci, fans fçavoir, ou fans me fouvenir alors qu'il l'eût effectivement reconnu. Je l'apperçois tout prefente ment dans les Scholies des propofitions 2. 3. du chap. 8. de la part. 3. de fa Mécanique mais il n'y remedie pas : il fe contente de dire dans le premier de ces deux Scholies, que l'on Y pourra remedier par ce qu'il a dit de l'obliquité des mouvemens dans le chap. 2. & puis dans l'autre Scholie il traite set inconvenient de leger, quoiqu'il n'y ait rien de leger pour un Géometre, fur tout pour un auffi grand Géometre qu'il l'étoit, & que cet inconvenient puiffe même aller jusqu'à faire prendre un poids pour double d'une puissance par rapport à la quelle il feroit fi petit qu'on voudroit, & cependant toûjours en équilibre avec elle, ainsi qu'on le vient de voir dans les Cor

7.12.

Au reste cette remarque, à laquelle nous a engagé la justice due à M. Wallis, pour avoir le premier (que je (cache) apperçû cette difficulté, ne doit faire penfer autre chofe de lui, par rapport à elle, finon que la facilité qu'il croyoit à résou dre le lui a fait negliger, quoiqu'il en foit de cette facilité à refoudre cette difficulté par le principe de M. Wallis, ceux pour qui ceci eft écrit, feront peut-être bien aifes de la voir (comme ici) réfolue par le nôtre.

COROLLAIRE XIII

Il fuit des part. 2. 4. de ce Théoreme-ci, que fi les parties de corde PM, RN, des puiffances P, R, lorf qu'elles foutiennent la puiffance D, ne font pas paralleles entr'elles, ces deux mêmes puiflances P, R, pourront foûtenir la même troifiéme D par le moyen d'une même Poulie MBNC, dans deux fituations differentes de leurs cordes PM, RN, parce que ces deux cordons prolon gez peuvent faire des angles égaux cn H de part & d'au tre de la Poulie MBNC, ou de fon centre A, entr'elles & avec la direction AD de ce centre,, out de cette Poulie, foit en s'écartant l'une de l'autre, comme dans les Fig. 102. 104. foit en s'approchant, comme dans les Fig. 103. 105. par confequent (part. 2.4.) les mêmes pui