fances P, R, qui dans l'une de ces deux fituations de leurs parties de corde, font capables de foûtenir la puiffance ou le poids D, le pourront encore foûtenir dans

f'autre.

La même chose fuit auffi des part. 3. 5. parce qu'en ce cas des directions PM, RN, non paralleles entr'elles, des puiffances P, R, ces directions peuvent en deux fi.tuations differentes toucher la même Poulie MBNC aux .extrêmitez de deux foutendantes MN égales entr'elles, l'une au deffus du centre A, comme dans les Fig. 102. 105. & l'autre au deffus, comme dans les Fig. 103. 104. les deux puiffances P, R, qui foûtiendroient la troifiéme D dans une de ces deux fituations de leurs cordons PM, RN, la foûtiendroient aussi (part. 3. 5.) dans l'autre.

COROLLA I RE XIV.

Mais fi les directions ou cordons PM, RN, des puiffances P, R, en équilibre (Hyp.) avec la puiffance D, fent paralleles entr'elles ; ces deux puiffances P, R, ne pourront (part. 2. 3.) foûtenir la troifiéme D qu'en cette Teule fituation de leurs cordons ou parties de cor de; parce qu'il n'eft pas poffible (Corol. 7.) de donner à ces cordons d'autre fituation, dans laquelle la puiffance ou le poids D foit double de chacune des puiflances P, R, comme il l'eft ( Corol. 2.) dans celle-ci.

COROLLAIRE XV.

H fuit encore de la part. 2. de ce Théoreme-ci que le poids D. en équilibre avec la puiffance R par le moyen de plufieurs Poulies mobiles, dont A, B, C, &c. font les centres feparez & appliquez comme on les voit dans la Fig. 106. Il fuit, dis-je, encore de la part. 2. du prefent Th. 14. que ce poids D ainfi en équilibre avec la puiffance R, eft toûjours à cette puiffance comme le produit des finus des angles totaux MHN, PKQ, XLY, &c. que font (lorfqu'on les prolonge ) les parties dont les

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FIG. 107

cordes EK, FO, GR, &c. touchent toutes ces Poulies, eft au produit des finus des moitiez de chacun de ces angles. Car (part. 2.) la réfistance de la Poulie A ou du poids D, eft à la résistance de la Poulie B, comme le finus de l'angle MHN eft au finus de fa moitié; de même (part. 2.) la réfistance de la Poulie B eft à celle de la Poulie C, comme le finus de l'angle PKQ eft au finus de fa moitié; de même encore (part. 2. ) la résistance de la Poulie C eft à celle de la puiffance R, comme le finus de l'angle XLY eft au finus de fa moitié ; & toûjours de même, quelque nombre de Poulies mobiles qu'on fuppofe ici avant que d'arriver à la puiffance R. Donc, en multipliant par ordre les termes de toutes ces analogies, F'on aura ici le poids D à la puiffance R, comme le produit des finus des angles totaux MHN, PKQ, XLY &c. ou EHK, FKC, GLR, &c. eft au produit des finus des moitiez de ces angles.

COROLLAIRE XVI.

Toutes chofes demeurant les mêmes que dans le précedent Corol. 5. fi l'on ajoûte aux Poulies mobiles les foutendantes & les rayons qu'on leur voit ici par lespoints où elles font touchées par les cordes qui les foûtiennent, ainfi que dans la part. 3. la réfiftance de la Poulie A, ou du poids D, fera ici (part. 3.) à la résistance de la Poulie B:: MN. AM. De même (part. 3...) la réfiftance de la Poulie B fera ici à celle de la Poulie C:: PQ. BP. De même encore (part. 3.) la résistance de la Poulie Cfera à celle de la puiffance R:: XY..CX. Et toùjours de même, quelque nombre de Poulies mobiles qu'on fuppofe ici depuis le poids D jusqu'à la puissance R. Donc, en multipliant par ordre les termes de toutes ces Analogies, l'on aura ici D. R:::MN×PQ×XY. AMx BPXCX. C'est-à-dire, que le poids D fera toujours ici à la puiffance R, comme le produit des foutendantes des arcs des Poulies, embraffez par les cordes qui les foutiennent fera au produit de leurs rayons..

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COROLLAIRE XVII.

Si prefentement on fuppofe que les cordons qui tou-chent ces Poulies, font tous deux à deux paralleles entr'eux fur chacune d'elles, cette hypothese rendant (Lem. 6. Corol. F.) les angles MHN, PKQ, XLY, &c. infiniment aigus, leurs finus feront alors (Lem. 7.) doubles de ceux de leurs moitiez ; ou ( ce qui revient au même ) les foutendantes MN, PQ, XY, &c. des arcs enveloppez par les cordes qui les foûtiennent, paffant alors toutes par les centres A, B, C, &c. de ces arcs ou des Poulies feront auffi pour lors chacune double du. rayon de chaque Poulie, dont cette foutendante eft alors le diamétre. Ainfi ayant en general le poids Dà la puiffance R Corollaire 15.) comme le produit des fi-nus des angles totaux MHN, PKQ, XLY, &c. au produit des finus des moitiez de chacun de ces an-gles, ou (Corollaire 16.) comme le produit des foutendantes MN, PQ, XY, &c. au produit des rayons: des Poulies: l'on aura ici D.R:: IxIxIx &c. ××× &c:: 2x2x2x &c. 1. c'est-à-dire, le poids D à la puiffance R, comme le degré de 2, qui auroit qui auroit pour expofant le nombre des Poulies, feroit à l'unité: de forte qu'en prenant pour ce nombre quelconque des Poulies, ce cas de parallelifme fuppofé dans toutes entre les cordons touchans de chacune donneroit en general D. R:: 2* 1.Ce qui fignifie qu'alors le poids D feroit à la puiffance R, comme le plus grand terme d'une progreffion Géomé-: trique double, qui en auroit autant qu'il y a de Poulies plus un, feroit au premier. D'où l'on voit que n―3 dans le cas de la prefente Fig. 106. de trois Poulies, donneroit D. R : : 2 3. 1 :: 8. 1.s'il y en avoit quatre, alors n 4· donneroit D.R:: 2.1:: 16. 1. s'il y en avoit cinq, alors

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donneroit D.R:: 25. 1 :: 32. 1. & amfi de tebau

tre nombre » qu'on voudra de Poulies.

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COROLLAIRE XVIII.

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-Ce cas (Corol. 1-7.) de parallelifme deux à deux de tous les cordons touchans des Poulies employées, comme dans la prefente Fig. 106. eft le feul fur une infinité, dans lequel le poids D en équilibre avec une puissance R, puiffe être à cette puiffance comme le plus grand terme dune progreffion Géométrique double, qui en auroit autant qu'il y a de Poulies, plus-un, feroit au premier. Car dans tous les autres cas de cordons touchant les Poulies fans être paralleles deux à deux fur chacune, ce poids D doit toûjours être à cette puissance R en équilibre (Hyp.) avec lui, en moindre raison (Corol. 3.) que ce dernier terme au premier de cette progreffion double, & même (Corol. 4. ) en moindre à l'infini; parce que les angles MHN, PKQ, XLY, &c. ne pouvant devenir plus aigus (Lem. 6. Corol. 1.) que lorfque ces parties de cordes, tangentes des Poulies, font deux à deux (fur chaque Poulie) paralleles entr'elles, les raifons de leurs finus aux finus de leurs moitiez,, ne peuvent jamais être plus grandes (Corol. 7.) que celle de 2 à 1. Pareillement les foutendantes MN, PQ, XY, &c. alors diametres de leurs Poulies, ne pouvant jamais être plus grandes qu'en cet état ; le rapport de chacune au rayon de fa Poulie, ne peut être non plus jamais plus grand que de 2 à 1. Au contraire les angles MHN, PKQ, XLY, &c. pouvant devenir toûjours plus grands ou plus obtus à l'infini, les rapports de leurs finus aux finus de leurs moitiez, peuvent (Lem. 8. Corol..6.) diminuer à l'infini ; ou (ce qui revient au même) les foutendantes MN, QP, YX, &c. devant diminuer à mesure que ces angles augmentent ou deviennent plus obtus ; le rapport de chacune d'elles au rayon de fa Poulie, peut auffi par ce moyen diminuer à l'infini.

De-là on voit affez la méprise de ceux qui dans cet usage des Poulies, ont avancé comme propofition generale, que le poids D eft la puiffance R, comme le plus grand terme

d'une progreffion double, qui en auroit autant qu'il y a de Poulies, plus un, eft au moindre. Ce qui les a trompez, c'est l'usage trop étendu qu'ils ont donné à la propofition rapportée dans la réflexion qui fuit le Corol. 1 2. de ce Théore

me-ci.

COROLLAIRE XIX.

Le précedent Corol. 17. fait déja voir, & on le verra encore dans la fuite, que les Poulies mobiles peuvent confiderablement épargner les forces qu'il faudroit em÷ ployer pour foûtenir immédiatement, & fans aucune machine le poids qu'on foûtient avec elles; puifque fuivant ce Corol. 17. dans le cas du parallelifme des cordons touchans de chacune des trois Poulies de la Fig. 106. il ne faut pour foûtenir le poids D par leur moyen, qu'une force égale à la huitième partie de fa pefanteur, au lieu qu'il la faudroit (Ax. 4.) égale à cette pefanteur entiere pour foûtenir ce poids immédiatement & fans le fecours d'aucune machine. Si on le vouloit foutenir de même avec quatre Poulies ainfi mobiles, ce Corol. 17. fait pareillement voir que dans ce cas de parallelifme des cor-dons touchans chacune de toutes ces Poulies, il ne faudroit qu'une puiffance égale à la feiziéme partie de la pefanteur de ce poids ; qu'avec cinq Poulies il ne faudroit qu'une puiffance égale à la trente-deuxième partie de fa pefanteur ; & toûjours moindre à l'infini, que ce poids fuivant la progreffion marquée dans ce Corol. 17. à mesure qu'on augmentera le nombre des Poulies: de forte que fim étoit un terme d'une telle progreffion double 1. 2. 4. 8. 16....... m. &c. lequel fut précedé d'autant d'autres qu'il y auroit ici de Poulies toutes touchées par des cordons paralleles entr'eux deux à deux pour chacune; le poids D feroit alors à la puiffance

R::m. I.

Ce cas de parallelifme des cordons touchans de chaque Poulie mobile, eft bien celui où la puiffance eft (Coal. 6.) la plus petite de celles qui, à l'aide de ces Poulies,