peuvent faire équilibre avec ce poids ; mais il n'eft pas le feul où ce poids puiffe ainfi être foûtenu par une pui FIG. 187. fance moindre que lui. On le verra, fi l'on imagine la puiffance R en équilibre avec le poids D fufpendu au centre A, ou plutôt à la chape AB d'une Poulie mobile MBNC foûtenue fur une corde PMBNR, dont une extrêmité foit attachée à un clou ou crochet P, & l'autre retenue par la puiffance R: on verra, dis-je, fuivant les part. 2. 3. du prefent Th. 14. & fuivant le Corol 6. du Lem 8. que depuis la fituation où les cordons PM, NR, prolongez font entr'eux un angle PHR de 120 degrez, jufqu'à ce qu'ils foient devenus paralleles entr'eux, la puiflance R fera toûjours moindre que le poids D en équilibre (Hyp.) avec elle, & d'autant moindre ( quoiqu'en raifon differente) que cet angle se trouvera plus aigu. Car le finus de 120 degrez étant le même ( Déf. 9. Corol. 2.) que celui de fa moitié 60 degrez, qui en eft le complement à 180 degrez, ou( ce qui revient au même ) la foutendante MN étant alors égale au rayon AM ou AN de la Poulie MBNC; les part. 2. 3. font voir que lorfque l'angle PHR fera de 120 degrez, la puiffance R fera précifément égale au poids D: & parce que plus cet angle diminuera, plus au contraire (Lem. 8. Corol. 6.) augmentera le rapport de fon finus à celui de fa moitié, auffi-bien que le rapport de la foutendante MN au rayon AM ou AN de la Poulie; & confe

quemment plus diminuera pour lors le rapport du finus de la moitié de cet angle PHR au fien, ou du rayon AM de la Poulie à la foutendante MN, plus auffi (part. 2. 3.) diminuera pour lors la puiffance R par rapport au poids D toûjours le même & toujours (Hyp.) en équilibre avec elle, jufqu'à ce qu'enfin elle n'en foit plus que la moitié (Corol. 2.) lorfque les cordons PM, RN, feront devenus paralleles entr'eux : ce que le rapport, fur tout du rayon AM ou AN de la Poulie à la foutendante MN de fon arc MBN, enveloppé de la corde PMBNR, fait voir senfiblement.

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La même chofe feroit encore fenfiblement en imaginant un parallelogramme HEGF, dont la diagonale HG foit une partie quelconque de la direction DA du poids D prolongée depuis H vers G, & dont les côtez HE, HF, foient fur les directions PH, HR. Car alors on verra que puifque le poids D doit toûjours être ici (part. 2.) à la puiffance R, comme le finus de l'angle PHR, ou EHF, au finus de fa moitié EHG ou HGF, tant qu'il fera en équilibre avec elle; & confequemment auffi pour lors (Déf. 9. Corol. 2.) comme le finus de fon complement HFG eft au finus de HGF, c'eft-à-dire (Lem. 8. Corol. 2.) comme HG eft à HF: on verra, dis-je, alors que le cas de l'angle PHR ou EHF de 120 degrez rendant le triangle HFG équilateral, & confequemment alors HF HG; la puiffance R en ce cas doit être égale au poids D. On verra de plus que le rapport de HF à HG diminuant toûjours (Lem. 8. Corol. 2.& 6.) à mefure que l'angle PHR devient plus aigu, jusqu'à devenir (Lem.7.& 8. Corol. 2.) HF+FG=HR, & confequemment HFHG lorfque l'angle PHR fe trouve infiniment aigu, c'est-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) lorfque les directions PM, RN, font paralleles entr'elles ; la puiffance R toûjours en équilibre (Hyp.) avec le poids D, doit toûjours diminuer avec cet angle PHR, depuis l'égalité qu'on lui vient de voir avoir avec ce poids, lorfque cet angle étoit de 120 degrez, jufqu'à n'en valoir plus que la moitié (Corol. 2.) lorfque cet angle eft devenu infiniment aigu par l'arrivée (Lem. 6. Corol. 1.) des cordons PM, RN, à être paralleles entr'eux.

Voilà quelle eft utilité des Poulies mobiles pour l'épargne des forces dans la Statique : utilité d'autant plus grande que plus on y employera de ces fortes de Poulies à la fois, moins (Corol. 17. ) il faudra de force pour foûtenir, & confequemment auffi pour mouvoir les poids qu'il s'agira de retenir ou de transporter d'un lieu en un autre, on le verra encore dawvantage dans la fuite.

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COROLLAIRE XX.

Quant aux Poulies des centres fixes, il fuit du Corol. I. qu'avec elles feules, de quelque maniere qu'on s'en ferve, il n'y aura jamais rien à gagner du côté de la force qu'il y faut employer, c'est-à-dire, que de quelque maniere qu'on s'en ferve, il y faudra toujours employer autant de force pour foûtenir un poids par leur feul moyen, FIG. 109: qu'il en faudroit pour le foûtenir immédiatement fans elles, & fans aucune autre machine. Par exemple, il faudra une même force R, quelque direction qu'on lui donne, pour foûtenir le poids D avec la corde RAD le moyen de la Poulie fixe A, que pour le foutenir immédiatement avec le feul cordon ÁD, c'est-à-dire, la même qu'une puiffance en A, qui foûtiendroit effectivement ce poids avec le feul cordon AD; puifqu'en ce cas d'équilibre de part & d'autre, l'on auroit (Corol. 1.) FIG. 110. R=D, & auffi (Ax. 4.) la puiffance en A=D.

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De même quand on employeroit à la fois plufieurs de ces Poulies fixes AB, EF, HK, &c. placées à volonté, on ne gagneroit encore rien du côté de la force R, qu'il faudroit employer pour foûtenir le poids D par le moyen de ces feules Poulies avec la corde DABEFHKR, appuyée fur ou contr'elles ; c'eit-à-dire, que cette force R, quelque direction qu'elle eût, devroit encore être ici égale au poids D pour l'y foûtenir ainfi en équilibre, de même (Ax. 4.) que pour le foûtenir immédiatement fans le fecours d'aucune machine. Car en ce cas d'équilibre les deux forces dont chacune des parties BE, FH, &c. de la corde, eft tirée directement en fens contraires, étant (Ax. 4.) égales entr'elles, fi l'on appelle M chacune des deux forces dont BE eft tirée de B vers E, & de Evers B; N, chacune des deux dont FH eft pareillement tirée de F vers H, & de H vers F: ce cas d'équilibre donnera (Corol. 1.) R=N=M=D, c'est-à-dire, la puiffance R égale au poids D, de même ( Ax. 4. } que fi elle le foûte

noit immédiatement & fans le fecours d'aucune machine.

Donc les Poulies fixes ou de centres fixes, de quelque maniere & en quelque nombre qu'on les employe, n'épargnent jamais aucune force. Elles ne laiffent pourtant pas d'être très-utiles, non feulement en ce qu'elles fervent (comme dans la Fig. 110.) à continuer par tels détours qu'on voudra, des mouvemens ou des efforts que des embarras empêchent de pouvoir être faits en ligne droite, en plaçant ces Poulies ( appellées alors Poulies de renvoi) à tous les angles de ces détours, une à chaque angle; mais encore en ce qu'elles nous mettent en état d'employer beaucoup plus de force, que nous ne pourrions faire fans elles, contre le fardeau à foûtenir ou à enlever: elles nous mettent, dis-je, en état de tirer de haut en bas par deffus elles, & par-là de nous fecourir de toute la pefanteur de notre corps, que nous aurions même à foûtenir avec le fardeau, en le tirant ou foulevant directement de bas en haut. La Poulie A de la Fig. 109. fait, dis-je, qu'une main appliquée en R contre le poids D, y eft fecourue de tout le poids du corps de celui qui, ainfi placé, tire contre ce poids D; au lieu qu'en A cette main n'auroit que fa feule force pour agir contre ce poids fans le fecours de cette Poulie, ni d'aucune autre machine. Ce fecours du poids de notre corps, eft ce qui nous fait toûjours tirer plus aifément & plus fortement de haut en bas que de bas en haut : c'est ce qui fait qu'un fceau d'eau, par exemple, eft beaucoup plus aifé à tirer avec le fecours d'une Poulie fixe, que direcement & fans elle.

On voit de-là, & du Corol. 19. que l'utilité des Poulies confifte en ce que les mobiles (Corol. 19.) nous épargnent des forces, & que les fixes (Corol. 20.) nous en facilitent l'ufage. Voici prefentement la maniere de profiter de ces deux avantages en même tems, fe fervant de ces deux efpeces de Pou lies à la fois.

14. IIS.

COROLLAIRE XXI.

Suppofons prefentement le poids D en équilibre avec 112 113: la puiffance R fur deux Poulies à la fois, dont une EGFK foit fixe, & l'autre MBNC mobile avec le poids D fufpendu à fon centre A, ou à fa chape AB foit, dis-je, ce poids D foûtenu par la puiffance R, appliquée à une des extrêmitez d'une corde RFKEMBNG, qui après avoir paffé par deffus la Poulie fixe EKFG, & par dellous la mobile MBNC, ait fon autre extrêmité attachée au bout G de la chape LG de la premiere EKFG de ces deux Poulies, fixe en fon centre L dans les Fig. III. II 2. ou par de-là fa circonference au point S de fa chape GL prolongée dans les Fig. 113. 114 115. n'ayant de mobilité qu'autour de ces points L, S.

L'équilibre fuppofé entre le poids D & la puiffance R fur ces deux Poulies à la fois, rendant égales (Ax. 4. ) les forces dont le cordon EM eft tiré directement en fens contraires de E vers M, & de M vers Efi l'on appelle P chacune de ces deux forces ; H, le finus de l'angle MHN compris entre les deux cordons EM, GN, prolongez, lefquels touchent la Poulie MBNC, & h, le finus de la moitié de cet angle: l'on aura (Corol. 1.) R=P, & non feulement (part. 2.) P. D:: b. H. mais encore (part. 3.) P.D,: AM. MN. Donc auffi pour lors R. D::b. H. Et R.D:: AM. MN. ainfi qu'il arriveroit (part. 2.3.) fi la puiffance R étoit P. D'où l'on voit que cette puissance R peut avoir ici tout à la fois les deux avantages marquez dans les Corol. 18. 19. fçavoir (à caufe de la Poulie mobile MBNC) de pouvoir être non feulement moindre (Carol. 2.) que le poids D en équilibre (Hyp.) avec elle, mais encore d'autant moindre (Corol. 19.) que l'angle MHN ou EHG fera plus petit que de 1 20. degrez, quoiqu'en raifon differente; & de plus (à caufe de la Poulie fixe EKFG) de couter d'autant moins à fournir (Cor. 20.) que la pefanteur du corps de celui qui tire en R, y peut beaucoup contribuer, outre qu'il peut encore fe foula