dentées dans des Pignons, les Grues, &c. fe rapportent à certe Machine, c'est-à-dire, au Tour, au Treuil, ou au Vindas. Voici prefentement le rapport des forces qu'il y faut employer.

THEOREME XIX.

Fondamental de la prefente Section 4.

Soit le tambour BB de la Fig. 133. exprimé ici en profil & fuivantes dans les Fig. 135. 136. 137. 138. par la roue ou le cercle jufqu'à 142. BBNB fon cylindre ou rouleau CC, par le cercle CMC concentrique à celui-là & fon axe EF avec fes poles E, F, par le centre A de ces deux cercles: & de même du cylindre & de l'axe du Treuil ou Vindas de la Fig. 134. dans les Fig. 139.140.141.142. Cela fuppofe, foient deux puissances quelconques P, R, appliquées à chacune de ces Machines des Fig. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. fuivant telles directions MP, NR, qu'on voudra, pofées dans des plans perpendiculaires à l'axe de la Machine.

I. Ces deux puissances P, R, agiront ensemble fur cette Machine, comme fi elles étoient dirigées fuivant un méme plan perpendiculaire à l'axe de cette même Machine.

II. s'il y a équilibre entre ces deux puiffances P, R, ainfi regardées comme dans un même plan CMC perpendiculaire a l'axe de la Machine; quelqu'angle PER que leurs directions MP, RN, faffent entrelles, la direction EF de la force réfultante (princ. gener. & Lem. 3.) de leur concours, paffera toujours par l'axe immobile de la Machine, ou par le centre fixe A du cercle CMC, qui reprefente cet axe fixe,

III. En ce cas d'équilibre, fi de cette direction E A prolon gée on imagine dans l'angle GEH compris entre les directions MP, NR, pareillement prolongées des puiffances P, R, une partie quelconque EF depuis le fommet E de cet angle, fur laquelle (comme diagonale) foit un parallelogramme GH,qui ait fes cotez EG, EH, fur ces directions MP, NR, prolon gées des puiffances P, Rila charge de l'axe ou centre fixe A de la Machine, fera toûjours dirigée fuivant cette diagonale EF, & à chacune de ces puiffances P, R, comme cette diago

nale

nale EF à chacun de ces côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions.

IV. Reciproquement fi la direction EF de la force réfultante du concours des puissances P, R, passe par l'axe ou centre fixe A de la Machine, il y aura équilibre entre ces puif fances; & la charge de cet appui A résultante de leur concours, fera pour lors dirigée fuivant EF, & à chacune de ces deux puiffances dans la précedente raifon ( part. 3.) de la diagonale EF du parallelogramme GH à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions.

V. Pareillement fi la diagonale EF prolongée du parallelogramme GH paffe par l'appui A, & que les puiffances P, R, foient entr'elles comme les côte EG, EH, de ce parallelogramme, pris fur leurs directions ces deux puissances demeureront en équilibre entr'elles fur cet appui A, & la charge de cet appui, refultante de leur concours, fera encore pour lors dirigée fuivant EF, & à chacune de ces deux puiffances P, R, somme la diagonale EF à chacun des côte EG, EH, qui leur répondent dans ce parallelogramme GH.

DEMONSTRATION.

PART. I. A quelque point de la furface du rouleau exprimé ici par le cercle CMC, que le poids ou la puiffance P foit appliquée perpendiculairement à l'axe de ce rouleau, il eft manifefte, fuivant l'ax. 2. que cette puiffance Py doit agir fur ce rouleau pour le faire tourner autour de fon axe, comme elle feroit ici en M, fi elle y étoit appliquée dans le plan de ce cercle CMC, fuivant une direction MP parallele à celle qu'elle auroit-là. Donc la puiffance R étant auffi ( Hyp.) fuivant une direction RÑ pofée dans ce même plan CMC, ces deux puiffances P, R, doivent ici agir enfemble fur la Machine comme fi elles y étoient dirigées toutes deux fuivant ce même plan CMC perpendiculaire (Hyp.) à l'axe de cette Machine. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. Le principe general, & le nomb. 1. du Cool. 1. du Lem.3. font voir que du concours des puiffances

Mm

P, R, il doit réfulter fur la Machine ici fuppofée, une troifiéme force fuivant quelque ligne EF qui paffe par le concours E, & dans l'angle GEH des directions de cesdeux puiffances, fuivant laquelle ligne EF, cette Machine doit être ici pouffée ou tirée, comme fi, au lieu de l'être par ces deux puiffances P, R, elle ne l'étoit que par une feule force égale à la résultante ici de leur concours; & que cette Machine ainfi pouffée ou tirée fuivant cette ligne EF, fe meuvroit effectivement fuivant cette direction, fi rien ne s'y oppofoit. Donc n'y ayant ici (Hyp.) d'obftacle qu'en A, cette direction EF de la force ré-fultante du concours des puiffances P, R, doit effectivement paffer par cet obftacle A dans le cas d'équilibre ici fuppofé. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

PART. III. L'art. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. fait voir que cette force fuivant EF, résultante du concours des puiffances P, R, doit ici être à chacune de ces puiffances, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions. Mais dans le cas d'équilibre ici fuppofé, la réfistance de l'appui A, opposée (part. 2.) à cette force fuivant EF, & en équilibre (Hyp.) avec elle, lui eft égale par l'ax. 4. & par l'art. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. Donc en ce cas d'équilibre cette réfiftance de l'appui A, ou la charge de cet appui, c'est-à-dire, ce qu'il reçoit ici d'impreffion du concours des puiffances P, R, fuivant EF, doit auffi toujours être dirigée fuivant EF, & être à chacune de ces deux puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions. Ce qu'il falloit 3°. démontrer.

PART. I V. En fuppofant prefentement, comme l'on fait ici, que la direction EF de la force réfultante du concours des puiffances P, R, paffe par l'axe ou par le centre fixe A de la Machine fuppofée, le Corol. 1. du principe general fait voir que la réfiftance (Hyp.) invincible de cet appui A, doit l'arrêter tout court, & mettre ainfi ces

deux puiffances P, R, en équilibre entr'elles fur cet appui; & confequemment (part. 3.) ne confiftant que dans l'impreffion fuivant EF résultante (Hyp.) fur lui du concours des puiffances P, R, doit auffi pour lors être dirigée fuivant EF, & être à chacune de ces puiffances comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp.) les puiffances P,R, font ici entr'elles comme les côtez EG,EH, du parallelogramme GH, qui leur répondent fur leurs directions, l'art. 1. du Corol. 1. du Lem. 3. fait voir que l'impreffion réfultante de leur concours fur la Machine, doit fe faire de E vers F fuivant la diagonale EF de ce parallelogramme. Donc cette ligne EF prolongée paffant ( Hyp.) par l'appui A, toute la force réfultante du concours de ces deux puiffances P, R, paffera auffi par cet appui A. Par confequent (part. 4.) elles feront en équilibre entr'elles fur cet axe ou appui A, alors chargé de toute cette force ou impreffion commune fuivant EF, & cette charge fera Apart. 3.) non feulement ainfi dirigée fuivant EF, mais encore à chacune de ces deux puiffances P, R, comme la diagonale EF à chacun des côtez correspondans EG, EH, du parallelogramme GH. Ce qu'il falloit 5°.démontrer.

COROLLAIRE 1.

En cas d'équilibre, la part. 3. donnant ici le poids ou la puiffance Pà la charge de l'appui A:: EG. EF. Et cette charge à la puiffance R:: EF. EH. l'on aura ici (en raifon ordonnée) P. R:: EG. EH. c'est-à-dire, les puiffan«ces P, R, entr'elles en raifon des côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme GH. Par confequent fi d'un point quelconque A de fa diagonale EF prolongée, on mene AM, AN, perpendiculaires fur les directions MP, NR, pareillement prolongées de ces deux puiffances P, R, ces mêmes puiffan ces feront entr'elles (Lem. 8.) en raifon reciproque de

ces perpendiculaires, c'est-à-dire, P. R:: AN, AM. Cè qui dans les Fig. 135.136.137.13 8. fignifie qu'en ce cas d'équilibre le poids ou la puiffance P y eft toûjours àla puiflance R, comme le rayon AN de la roue ou du tambour BNB, à la circonference duquel cette feconde puiffance R eft appliquée, eft au rayon AM du cylindre ou du rouleau CMC, à la circonference duquel l'autre puiffance P eft pareillement appliquée ; c'est-à-dire, que ces deux puiffances P, R., en équilibre( Hyp.) entr'elles, font alors entr'elles en raifon reciproque des rayons ou y des diamètres du rouleau & de la roue, aux circonferen ces defquelles ces deux puiffances font appliquées.

COROLLAIRE I I.

Mais en prenant EA dans ces quatre Fig. 135. 136137. 138. & dans les quatre autres Fig. 139. 140.141. 142. c'est-à-dire, dans toutes celles de ce Théoreme-ci, pour le finus total: On fçait ( Déf. 9. Corol. 1) que les perpendiculaires AM, AN, font les finus des angles AEM, AEN. Donc auffi (Corol. 1.) les puiffances P, R, fuppofées en équilibre, font par tout ici entr'elles en raifon reciproque des finus des angles AEM, AEN, que leurs directions MP, NR, prolongées y font avec celle EA de la charge de l'axe de la Machine, ou de l'appui A, qui exprime cet axe; c'eft-à-dire, le poids ou la puiffance Pà la puiffance R, comme le finus de l'angle AEN eft: au finus de l'angle AEM..

COROLLAIRE III.

Cela fe voit encore en ce que la charge de l'appui A étant en ce cas d'équilibre (part. 3.) à chacune des puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions, c'est-à-dire (en appellant cette charge A) A, P, R, en raison des trois grandeurs EF, EG, EH, ou (à caufe de EH-GF) en raison des trois côtez EF, EG, GF, du triangle EGF, ou ( Lem. &.