FIG. 135.

puiffances P, R, & vers le côté où tend la plus forte P d'entr'elles, comme dans les Fig. 144. 146.

COROLLAIRE X.

Tout cela fuit encore du Corol. 3. joint au Lem. 9. & à & fuivantes fes Corol. 1. 2. fçavoir, qu'en cas d'équilibre ici entre les jufqu'à 1 42. puiffances P, R, & de l'angle MEN infiniment aigu, c'està-dire (Lem. 6. Corol. 1.) de leurs directions paralleles entr'elles ; non feulement la charge de l'appui  est toùjours égale à la fomme P+R de ces deux puiffances, tant qu'elles agiffent ensemble en même fens; ou feulement égale à leur difference P-R, fi elles agiffent en fens contraires, mais encore que cette charge de l'appui A est toûjours dirigée parallelement aux directions de ces deux puiffances vers le même côté qu'elles dans le premier cas, & vers le côté où tend la plus forte d'entr'elles dans le fecond. Car,

FIG. 136. $38.139. 840.

FIG. 144 146.

FIG. 135 137-141. 142.

1o. Lorsque l'angle MEN eft infiniment aigu, la part. 1. du Lem. 9. fait voir que le finus de cet angle total MEN dans les Fig. 136. 138. 139. 140. du premier cas, est égal à la fomme des finus des angles partiaux AEN, AEM. Donc (Corol. 3.) la charge de l'appui A eft auffi toûjours alors égale en ce premier cas à la fomme P+R des puiffances P, R, du concours d'action desquelles (part. 2. 3.) il eft chargé ; & cette charge toûjours dirigée ( part. 2. 3.) fuivant EF, le fera pour lors de E vers A dans les Fig. 144. 146. de la prefente hypothese, vers le même côté ou ces deux puiffances tendent, & (Lem. 9. Corol. I.) parallelement à leurs directions, ainfi que dans le nomb. i. du Corol. 9.

2o. Lorf que l'angle MEN devient infiniment aigu par l'éloignement infini de fon fommet E, l'angle AEN le devenant auffi pour lors, le Corol. 2. du Lem. 9. fait voir que le finus du premier MEN de ces deux angles, partial de l'autre AEN dans les Fig. 135. 137. 14. 142. du fecond cas, n'eft alors égal qu'a la difference dont le finus de cet angle total AEN fürpaffe le finus de fon au

tre partial AEM. Donc (Corol. 3.) la charge de l'appui A n'eft non plus alors en ce fecond cas, qu'égale à la difference PR, dont le poids ou la puiffance P furpaffe la puiffance R: & cette charge, toujours dirigée (part. 2. 3.) fuivant EF, le fera pour lors de A vers E dans les Figures 144. 146. de cette hypothese-ci en même fens que la FIG. 144. plus forte P de ces deux puiffances, pour lors directe- 146. ment contraire à l'autre R, & (Lem. 9. Corol. 2.) paral, lelement à leurs directions, ainsi que dans le nomb. 2. dų Corol. 9.

142

La même chose se peut encore démontrer autrement. F1 G. 135. Car fi dans ce fecond cas d'équilibre l'angle MEN eft 137 141. infiniment aigu, & confequemment aufli AEM, ou fon égal FEG, le complement GEH du premier étant alors (Déf. 11. Corollaire) infiniment obtus avec un partial FEG infiniment aigu; le Corol. 2. du Lem. 7. fait voir que le finus de cet angle total GEH ne fera pour lors qu'égal à la difference des finus de fes angles partiaux FEH, FEG; & par confequent (à caufe de FEH

EFG, & de EGF complement de GEH à deux droits) le finus de l'angle EGF ne fera non plus alors qu'égal à la difference des finus des angles EFG, FEG. Donc (Corol. 3. la charge de l'appui A ne fera encore ici égale qu'à la difference F-R des deux puiffances P, R, & dirigée (part. 2. 3.& Lem. 9. Corol. 2.) de A vers E dans le fens de la plus forte P d'entr'elles, parallelement à leurs directions, ainsi qu'on le vient de voir dans les Fig. 144. 146.

COROLLAIRE XI.

jufqu'à

La charge de l'appui A, réfultante du concours d'action FIG. 1352 des puiffances P, R, en équilibre ( Hyp.) entr'elles, étant & fuivantes toûjours alors (part. 3.) à chacune d'elles, comme la dia- 142. gonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG, EH, pris fur leurs directions, & cette diagonale devenant ( quoiqu'en raifon differente) d'autant plus grande dans le cas des Fig. 136. 138. 139. 140. &

d'autant plus petite dans celui des Figures 135. 137 141.142. que l'angle MEN eft plus aigu; il fuit mani feitement que cette charge de l'appui A, fera auffi d'au tant plus grande dans le premier cas, & d'autant plus petite dans le fecond, que cet angle MEN fera plus aigu. Donc cet angle ne pouvant jamais être plus aigu que lorfqu'il l'eft infiniment, c'est-à-dire ( Lem. 6. Corol. 1. ) que lorfque les directions des puiffances P, R, font paralleles entr'elles ; & la charge de l'appui A, résultante du concours de ces puiffances, n'étant pourtant alors (Corol. 9. 10.) égale qu'à leur fomme PR dans le premier cas, & qu'à leur difference P-R dans le fecond': il fuit encore évidemment que cette charge de l'appui A, ne peut jamais êtreplus grande que la fomme de ces deux puillances P, R, dans le premier cas, ni plus petite que leur difference dans le fecond.

COROLLAIRE XII.

Par confequent tant que les directions des deux puif fances P, R, ne feront point paralleles, quelqu'angle fini qu'elles faffent entr'elles, la charge de l'appui A rẻfultante du concours d'action de ces deux puiffances, fera toûjours moindre que leur fomme dans le cas des Fig. 136. 138. 139. 140. & toûjours plus grande que leur difference dans celui des Fig. 13 5. 137. 14. 142. fans pourtant que cette charge de l'appui A puiffe jamais devenir égale à la fomme de ces deux puiflances dans le fecond cas: de forte que tant que les directions de ces deux puiffances P, R, font entr'elles quelqu'angle fini, la charge de l'appui A, résultante de leur concours d'action fur lui, eit toûjours moindre que la fomme de ces deux puiffances dans l'un & l'autre des cas précedens, & dans toutes les Machines de ce Théoreme-ci.

Tout cela fuit encore immédiatement de la part. 3.la diagonale EF du parallelogramme GH, se trouvant toùjours moindre que la fomme de fes côtez EG, EH, tant qu'ils font quelqu'angle fini entr'eux, quoiqu'elle devien

ne d'autant plus grande que l'angle GEH devient plus aigu.

COROLLAIRE XIII.

.

Il-eft visible dans le Tour que la puiffance R fuppofe F1G: 13 ici en équilibre avec le poids P, pourroit fe mouvoir de 136. 137. maniere, en defentortillant ou en entortillant fa corde 138. autour de la roue BNB, que fon point N-d'application à cette roue, pafferoit du côté de M dans les Fig. 136. 1-3.8. ou du côté oppofé à M dans les Fig. 135. 137. de maniere, dis-je, qu'alors le cas des deux premieres de ces quatre Figures fe changeroit en celui des deux autres, & reciproquement celui de ces deux autres Figures, eñ celui des deux premieres: & cela (Corol. 5.) fans que l'équilibre fuppofé entre les puiffances P, R, ceffat Jamais puifque l'on y auroit toujours P. R::-AN. AM. ainfi (Corol. 1.) que dans cet équilibre fuppofé.

la FIG. 139.

142.

Il eft auffi vifible dans le Treuil ou le Vindas , que puiflance R paffant d'un côté à l'oppofé par rapport à 149 141. l'appui A, à la même distance AN, duquel elle fut encore appliquée; le cas des Fig. 139. 140. fe changeroit en celui des Fig. 141. 142. & reciproquement: & cela encore (Corol. 6.) fans que l'équilibre fu pofé entre cette puiTance & le poids P, ceffât; puifque l'on y auroit encore (Hyp.) P.R:: AN. AM. ainfi (Corol. 1.) que dans cet équilibre fuppofé.

142.

O Coral. 11.) la charge de l'axe ou appui A, réful- Fre. 135. tante du concours de ces puiffances P, R, ne peut jamais & fuivantes être plus grande que la fomme de ces puiffances dans le jufqu'à premier cas exprimé par les Fig. 136. 138. 139. 140. ni plus petite que leur difference dans le fecond exprimé par les Fig. 135. 13.7. 141. 142. Donc la charge de l'axe ou appui A du Tour, & du Treüil ou du Vindas, réfultante du concours d'action des puiflances P, R, qu'on y vient de fuppofer en équilibre, & toujours enfuite appliquées chacune à même distance que d'abord de cet appui, de quelque côté que ce foit, & confequem

ment (Corol. 1.6.) toûjours en équilibre entr'elles, ne peut jamais être plus grande que la fomme de ces deux puiffances, ni plus petite que leur difference, en quelque varieté de points de ces Machines que ces deux puiffances foient fucceffivement appliquées, toûjours chacune à même diftance de l'appui A,pour y conferver (Corol. 1.6.) l'équilibre entr'elles.

Voilà jufqu'ici pour ce qui concerne l'équilibre des puissances P, R, fur les Machines dont il s'agit ici. Voici auffi quel que chofe qui en résulte pour le cas méme où ces puiffances n'y Jeroient pas en équilibre entr'elles, & feulement pour le befoin que nous en aurons dans la fuite.

COROLLAIRE XIV.

Puifque le cas d'équilibre entre les puiffances P, R, doit donner ici ( Corol. 1.) P. R:: AN. AM. ou (Corol. 2.) PàR, comme le finus de l'angle AEN au finus de l'angle AEM; il eft manifefte que lorfqu'une de ces puiffances eft plus grande qu'il ne faut pour avoir ce rapport à l'autre, elle doit (Ax. 5. l'emporter fur elle : puifqu'alors elle feroit plus grande qu'il ne faudroit (Corol. 1. & 7.) pour faire équilibre ici avec elle.

COROLLAIRE XV.

Reciproquement fi une de ces deux puiffances P, R, l'emporte ici fur l'autre, étant alors plus grande qu'il ne faudroit pour faire équilibre avec elle, leurs directions demeurant les mêmes; elle fera auffi pour lors à l'autre en plus grande raifon que la requife pour cet équilibre, laquelle eft (Corol. 1.) de P.R: AN. AM. ou (Corol. 2.) de P à R, comme le finus de l'angle AEN eft au finus de l'angle AEM. Donc alors, fi c'eft la puiffance ou le poids P qui l'emporte fur la puiffance Rˇ, l'on aura P à R en plus grande raifon que AN à AM, ou que le finus de l'angle AEN au finus de l'angle AEM. Pareillement fi c'eft la puiflance R qui l'emporte fur le poids P, l'on aura de même R à P en plus grande raifon que AM à