PART II. Cela étant, fi l'on appelle Q, N', ce que la puiffance E employe ainfi de forces ou fait d'efforts fuivant AQ, AN, fur le corps EFGH; &P,M, ce que la puiffance F en fait de même fur lui fuivant AP, AM; l'on aura ici QE:: AQ AC. Et P. F.:: AP. AB. Donc Cen raison ordonnée entre ces deux dernieres analogies) l'on aura ici P. E:: AP. AC. ou E. P:: AC. AP. Donc auffi (en raison ordonnée entre cette derniere analogie & la premiere de toutes) l'on aura pareillement ici Q. P:: AQ. AP. C'eft-à-dire, fuivant les noms précdens,. que ce que la puiffance E employe de force ou fait d'effort (Q fur le corps EFGH fuivant la diagonale AD, du parallelogramme BC, eft à ce que la puiffance F en fait (P) fur ce corps fuivant la même direction fur ce corps en même fens, ou en fens contraire, comme AQ eft à AP. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

PART. III. La Part. F. donnant encore fuivant les noms précedens de la Part. z. N.E:: AN. AC.-Et M. F :: AM. AB. La fuppofition qu'on fait ici de F.E:: AB, AC. donnera (en raifon ordonnée entre ces deux der-nieres analogies) M.E:: AM. AC. our E. M:: AC. AM. Donc (en raifon encore ordonnée entre cette derniere analogie, & la premiere de toutes celles-ci) l'on aura pareillement ici Ñ. M:: AN. AM. De forte que les triangles (conftr.) femblables APB, DQC, qui ont AB CD, & AB. CD:: BP. CQ:: AM. AN. donnant ainfi AM= AN, donnent auffi M-N: c'eft-à-dire, les efforts M, N, fuivant AM, AN, des puiffances F, E, non feulement directement contraires, mais encore toujours égaux en-tr'eux. Donc (Ax. 3.) ces efforts M, N, fe détruisent ou s'empêchent toujours mutuellement. Ce qu'il falloit 3° démontrer.

PART. IV. Puifque la Part. z. donne Q: P::AQ: AP. l'on aura auffi Q. Q+P:: AQ. AQAP. Mais on voit dans cette Part. 2. que la Part. I. donne E. Q: AC. AQ Donc (en raifon ordonnée) E.Q+P:: AC. AQ AP. Or le parallelogramme BC, & les angles (conftr.)

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droits en P, Q, rendant les triangles APB, DQC, femblables & égaux en tout, donnent AP=DQ. Donc auffi E.Q+P:: AC. AQ±DQ. fçavoir E. CAC. AQDQ.AC. A. dans les Fig. 4. 6. Et E. Q-P :: AC. AQ-DQ:AC. AD. dans les Fig. 5. 7. Or (Part. 1.2.3.) la fomme QP des forces. P, Q, dans les Fig. 4.6. & leur difference Q-P dans les Fig. 5.7. eft tout ce que les puiffances E,F, dirigées fuivant leurs proportionnelles AC, AB, en impriment par leur concours d'action au corps EFGH. Donc ce corps fera ici pouffé de A vers D fuivant AD par le concours de ces deux puiffances E, F, & d'une force à laquelle elles feront comme les côtez correfpondans AC, AB du parallelogramme ABCD font à la diagonale AD. Donc aussi

Ax. 8.) ce corps EFGH, libre d'ailleurs, parcourra la diagonale AD du parallelogramme BC, ou une longueur équivalente fuivant la même direction de A vers D, par le concours d'action de ces deux puiffances E, F, dans le même tems que chacune d'elles feparément lui auroit fait parcourir les côtez correfpondans AC, AB, de ce parallelogramme, lefquels leur font (Hyp.) pro portionnels, ou des longueurs équivalentes fuivant leurs directions de A vers C, B. Ce qu'il falloit 4o. démontrer. COROLLAIRE I.

Des forces égales fuivant les mêmes directions ayant (Ax. 2.) les mêmes effets, c'eit la même chose que le corps EFGH fait pouffé en fes points E, F, par les puiffances E, F, fuivant EC, FB, ou qu'il foit tiré en ses points G, H, par les mêmes puiffances, ou par d'égales fuivant les mêmes directions GC, HB. Donc foit que ce corps EFGA foit pouffé, ou tiré à la fois vers C, B, fuivant les directions AC, AB, par deux puiffances E,F, ou G, H, qui foient entr'elles comme ces côtez du parallelogramme ABCD.

1. Ces deux puillances E, F, lui donneront enfemble par leur concours d'action (Part. 4.) une impreflion

sa force de A vers D fuivant la diagonale AD de ce parallelogramme BC, capable de la lui faire parcourir, ou une longueur équivalente en même fens de A vers D, dans le même tems que chacune d'elles feparément lui auroit fait parcourir chacun des côtez AC, AB de ce parallelogramme, lefquels leur font (Hyp.) proportionnels; & confequemment les directions de ces deux puiffances E, F, & de la force résultante de leur còncours, feront toutes trois dans un même plan.

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2o. Cette force résultante du concours de ces deux puiffances E, F, ou G, H, à ce corps AFGH fuivant cette diagonale AD du parallelogramme BC, fera donc (Ax. 8.) à chacune de ces deux puiffances, comme cette diagonale AD à chacun des côtez correfpondans AC, AB de ce parallelogramme, proportionnels (Hyp.) à ces puiffances, defquelles ils font auffi (Hyp.) les directions.

3. Ce que chacune de ces deux puiffances E, F, ou G,H, employe de force ou fait d'effort fuivant cette même ligne AD en même fens dans les Fig. 4. 6. ou en fens contraires dans les Fig. 5. 7. eft (Part. 2.) à chacune d'elles comme chacune des parties AQ, AP, de cette même ligne AD, prolongée dans les Fig. 5. 7. eft à chacun des côtez correfpondans AC, AB du parallelogramme ABCD.

4. Ce que ces deux puiffances E, F, où G, H, em ployent de force fur le corps EFGH fuivant AD, étant tout ce que leur concours d'action-fur lui leur en laiffe; puifque (Part. 3.) le furplus de ce qu'elles en auroient feparément fuivant AN, AM, fe détruit ou s'empêche mutuellement par fón égalité & contrarieté directe : si l'on arrête ou détruit aufli cette force ou impreffion commune fuivant AD, en lui oppofant directement un obstacle invincible, ou du moins qui lui foit égal en quekque point X, où cette direction AD prolongée rencontre le corps E, F, G, H; ces deux puiffances E, F, ou G,H, demeureront en équilibre entr'elles avec ce corps en repos fur cet appui X, fans qu'aucune d'elles fe puiffe

faire pancher ou mouvoir d'aucun côté, chacune d'elle fe trouvant alors entierement épuifée de force par une extinction de leurs compofantes fuivant AN, AQ, pour la premiere E ou G de ces deux puiffances, & fuivant AM, AP, pour la feconde F ou H.

5°. Enfin de ce que les efforts de A vers D fuivant AD, des puiffances E, F, font en general (Part. 2.) ::: AQAP:: :: AQ×AD. AP×AD. Il suit que fi l'angle BAC des directions de ces puiffances eft droit, par exem ple, dans quelqu'une des Fig. 4. 6. un tel angle rendant AC=AQXAD, & ABAP-AD, les efforts fuivant AD,de ces deux puiffances E, F, feront auffi pour lors

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entr'eux:: AC. AB. c'est-à-dire ( nomb. 2.) comme les quarrez de ces mêmes puiffances.

COROLLAIRE II.

Il fuit de ce Corol. 1. nomb. 1. que tant que les dire ations de deux forces ou puiffances qui agiffent enfemble fur un même corps, feront ensemble quelqu'angle entr'elles, ce corps doit fe mouvoir fuivant une troifiéme ligne à travers de cet angle du côté que ces deux forces ou puiffances confpirent à le pouffer ou à le tirer, à moins que quelque obftacle ne s'y oppose comme dans le nomb. 4. de ce Corol. 1. Par confequent s'il arrive que ce corps ainfi pouffé ou tiré demeure en repos, fans que rien d'ailleurs l'empêche d'être mû par le concours d'action des deux puiffances qui le pouffent ou le tirent, il faut,

1°. Que ces deux puiffances foient dirigées fuivant une même ligne droite.

2°. Qu'elles y agiffent en fens contraires ; autrement elles s'accorderoient à le mouvoir fuivant cette ligne.

3°. Qu'elles foient égales entr'elles; autrement il s'y meuvroit encore (4x. 5.) dans le fens de la plus forte des deux.

Ainfi lorfqu'un corps pouffé ou tiré par deux forces

à la

à la fois, ne laiffe pas de demeurer en repos, & elles en équilibre fur lui, fans qu'aucun obftacle étranger les y retienne comme dans le nomb. 4. du Corol. 1. ou autrement; il faut neceffairement alors que ces deux forces agiffent en fens contraires fuivant une même ligne droi te, & qu'elles foient égales entr'elles.

COROLLAIRE III

Il fuit de même du Corol. 1. nomb. 1. qu'un poids at taché au bout d'une corde accrochée par T'autre bout à un clou, ou fur un pieu mobile autour d'un appui, & fans autre obstacle que la réfiftance de cette corde ainfi attachée, ou de ce pieu ainfi appuyé, ne s'arrêtera en repos que lorfque la direction de la pefanteur fera en ligne droite avec la leur ; & qu'alors leurs résistances seFont égales chacune à fa pefanteur.

COROLLAIRE IV.

Il fuit de plus du Corol 1. nomb. 1. que non feulement f'impreffion résultante du concours d'action des puiffances E, F, ou G, H, dirigées fuivant les côtez AZ, AY, d'un angle quelconque ZAY, doit le faire suivant une ligne droite AO, qui paffe à travers cet angle; mais encore que tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & les côtez AC, AB, fur AZ, AY, aura ces mêmes côtez AC, AB, entr'eux en raifon des puissances E, F, en G, H, dont ils font (Hyp.) les directions: autrement l'impreffion résultante du concours d'action de ces deux puiffances fur le corps EFGH, ne se feroit pas fuivant la diagonale AD du parallelogramme BC; ce qui eft contre l'hypothefe: mais ( Corol. 1. nomb. 1.) suivant celle d'un autre parallelogramme, dont les côtez pris auffi fur les directions AZ, AY, de ces deux puiffances E, F, ou G, H, feroient entr'eux en taifon de ces deux mêmes puiffances.

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