FIG. 163. $64. &c.

COROLLAIRE XXXI I.

que

Suivant quelques directions EX, FO, que les putiffan ces E, F, appliquées en X, O, à quelque Levier MN ce foit, faflent équilibre entr'elles fur fon appui B placé où l'on voudra; il fuit des précedens Corol. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 3.1. que la plus grande charge, qui en puiife réfulter à cet appui B, c'eft ( nomb. 1. des Corol. 23. 24. 26. & nomb. 2. des Corol. 24. 27. 31.) d'être égale à la fomme de ces deux puiffances; & que la moindre c'eft (nomb. 1. des Corol. 24. 27. 31. & nomb. 2. des Corol. 23. 24. 26.) d'être égale à leur difference.; fçavoir, l'une & l'autre de ces deux charges de l'appui B, lorfque les directions des puiffances E, F, font paralleles entr'elles ou en ligne droite, qui paffe par cet appui conformément à la réflexion qui fuit le Corol. 24. Quant aux autres directions de ces deux puiffances E, F, les Corol. 22. 25. 29. font voir chacun que la charge qui en réfultera à l'appui B, fur lequel on les fuppofe en équilibre entr'elles, eft toûjours moyenne entre ces deux extrêmes, c'est-à-dire, toujours moindre que la fomme de ces deux puiffances, & toûjours plus grande que leur difference; & ce d'autant plus grande que l'angle RAS fe trouve plus aigu, la diagonale AG du parallelogramme RS en étant d'autant plus grande par rapport à fes côtez AR, AS, & cette charge étant alors (part. 3.4.) aux puiffances E, F, comme cette diagonale AG eft à ces mêmes côtez AR, AS.

COROLLAIRE XXXIII.

Lorfque les directions XE, OF, des puiffances E, F, font en ligne droite XO, dans laquelle prolongée fe trouve l'appui B du Levier auquel on les fuppofe appliquées ; feulement la réfiftance Hyp.) invincible de cet appui alors directement oppofé à chacune de ces puiffances, les met toujours (princ. gener. Corol. 1. en équilibre ou en

nọn

repos

repos fur lui, quelque rapport qu'elles ayent entr'elles;

mais encore,

1o. Si c'est par la réduction de l'angle XAO à l'infiniment aigu, que les directions XE, OF, des puiffances E, F, fe confondent ainfi en une fuivant XO par l'appui B; la charge de cet appui eft alors égale (nomb. 1. des Corol. 23. 26.30.) à la fomme de ces deux puiffances, quand cet appui B eft entre leurs points X, 0, d'application au Levier, comme dans les Fig. 1 5 3.154. & feulement égale (nomb. 2. des Corol. 23. 26. 30.) à leur difference, quand il n'y eft pas, comme dans les Fig. 163. 164. audi ces deux puiffances E, F, agilfent-elles fur cet appui B en même fens dans le premier cas, & en fens directement contraire dans le fecond.

2°. Si c'est par la réduction de l'angle XAO à l'infiniment obtus, que les directions XE, OF, des puiffances E, F, fe confondent en une fuivant XO qui paffe par l'appui B; la charge de cet appui n'eft égale (nomb. 1. des Corol. 24.27.3.1.) qu'à la difference de ces deux puifLances, quand cet appui B eft entre leurs points d'application X,O, comme dans les Fig. 153. 154. & égale (nomb: 2.des Corol. 24. 27. 31.) à leur fomme, quand il n'y eft pas, comme dans les Fig. 163. 164. Aufli ces deux puiffances E, F, font-elles ici directement contraires dans le premier cas, & en même fens dans le fecond.

COROLLAIRE XXXIV.

FIG. 153.

Suivant le Corol. 28. les puiffances E, F, dirigées à volonté, & en équilibre entr'elles fur l'appui B d'un Le- & fuivantes vier quelconque MN, font alors entr'elles comme les jufqu'à167 côtez BT, BP, qui leur répondent dans le triangle BPT, c'eft-à-dire alors, E. F:: BT. BP. Mais le Corol. 2. donne auffi pour lors E. F:: BP. BD. Donc en cas d'équilibre dans toutes fortes de Leviers, & de directions de puillances, on a toûjours BT. BP:: BP. BD. Par confequent en menant la droite DP, les triangles PBT, DBP, qui ont L'angle commun en B, font toûjours alors femblables en

tr'eux; & confequemment les trois côtez DP, BP, BD, du second DBP de ces triangles, font toûjours alors entr'eux comme les trois côtez PT, BT, BP, qui leur font homologues dans le premier PBT. Or en ce cas d'équi-libre des puiffances E, F, fur l'appui B, la charge qui en réfulte à cet appui, & ces deux puiffances E, F, font toujours entr'elles ( Corol. 28.) comme les trois côtez PT, BT, BP, de ce triangle PBT. Donc cette charge de l'appui B, & ces deux puiffances E, F, feront toujours auffi pour lors entr'elles comme les trois côtez DP, BP, BD, du triangle DBP, qui n'a que deux côtez BD, BP, perpendiculaires (Corol. 2.) à deux EX, FO, des trois dire-ctions EX, FO, AB, des puiffances E, F, & de la charge de l'appui B, réfultante du concours d'action de ces deux puiffances fur lui, au lieu que ( Corol. 28.) l'autre triangle PBT à fes trois côtez BT, BP, PT, perpendiculaires à

ces trois directions.

par

1

On voit que toutes les differentes valeurs de charges d'appuis de Leviers quelconques déterminées depuis le Corol. 11. jufqu'ici, pour toutes les directions poffibles des puissances en équilibre fur eux deux à deux de directions quelconques, pourroient encore fe déterminer le moyen du triangle DBP, comme l'on a fait par le moyen de fon femblable PBT dans les Corol. 28. 29. 30. 31. Mais en voilà affez, & peut-être trop pour la quantité ou valeur de ces fortes de charges. Voici prefentement quelles en font les directions, c'est-à-dire, en quel fens, ou vers quels côtez les appuis des Leviers en font · chargez.

COROLLAIRE XXXV. ·

On a vû dans les démonftrations des part. 2. 3. 4. qu'en cas d'équilibre entre deux puiffances quelconques É, F, fur un appui de quelque Levier que ce foit, auquel ces deux puiffances feroient appliquées en deux points X, O, auffi quelconques fuivant quelques directions EX, FO, que ce fuffent; la charge de cet appui B, réfultante du concours d'action de ces deux puiflances,

doit toûjours être de A vers G fuivant la diagonale AG d'un parallelogramme RS fait de côtez AR, AS, pris fur les directions de ces puiffances, laquelle diagonale AG prolongée paffe par l'appui B. Donc,

1°. En general, quelque foit l'angle XAO compris entre ces directions prolongées EX, FO, des puiflances E, F, en équilibre entr'elles (Hyp.) fur l'appui B ; la droite menée du fommet A de cet angle par cet appui B, fera la direction de fa charge de A vers Ĝ, résultante du concours de ces deux puillances. Donc auffi en particulier,

20. Lorfque cet angle XAO fera infiniment aigu,c'eftà-dire (Lem. 6. Corol. 1. 2.) lorfque les directions EX, FO, des puiffances E, F, feront paralleles entr'elles, ou confondues en une, qui paffe par l'appui B; cette direction AB de la charge de cet appui B, encore de A vers G, fera auffi parallele à celles-là (Lem. 6. Corol. 1. 2.) ou confondue avec elles, & dans le fens de ces deux puiffances E, F, fi elles tirent vers le même côté, ou dans le fens de la plus voifine de cet appui, fielles tirent wers des côtez differens.

3. Lorfque l'angle XAO fera infiniment obtus, c'està-dire (Lem. 6. Corol. 4.) lorfque les directions EX, FO, des puiffances E, F, feront auffi en ligne droite XO, qui paffe par leurs points X, O, d'application au Levier MN, & par l'appui B (Ax. 5.) de chacun des Leviers fur lefquels l'équilibre ici fuppofé feroit alors poffible fur cet appui: la direction AB de la charge de A vers G de ce même appui B, fe trouvera pour lors (Lem. 6. Cor.3.4.) confondue dans cette même droite XO avec les directions EX, FO, de ces deux puiffances E, F, & dans le fens (Ax. 5.) de la plus forte d'entr'elles, fi elles font contraires l'une à l'autre, ou dans le fens de toutes les deux, fi elles s'accordent à tirer vers le même côté.

COROLLAIRE XXXVI.

Il fuit prefentement des Corol. 21. 22. 23. 24. 25. 26.27.28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. qu'en cas d'é

quilibre fur l'appui B d'un Levier quelconque MN, enɔ. tre deux puiffances auffi quelconques E, F, appliquées à quelques points X, O, qu'on voudra de ce Levier, & dirigées auffi comme l'on voudra..

35.

1o. Tant que l'angle XAO compris entre leurs dire-tions EX, FO, prolongées fera fini, la direction de la charge réfultante du concours d'action de ces deux puiffances E, F, fur l'appui B de ce Levier, sera ( Corol. nomb. 1.) de A vers G fuivant AB; & cette charge fera toûjours alors (Corol. 3 2.) moyenne entre la fomme de ces deux puiffances & leur difference ; c'est-à-dire, toûjours moindre que leur fomme, & toujours plus grande que leur difference, & ce d'autant plus grande (Cor.2 5.) que l'angle RAS ( égal à XAO, ou à fon complement ) fera plus grand.

2o. Lorfque l'angle XAO eft infiniment aigu, c'est-à- dire (Lem. 6. Corol. 1. 2. ) lorfque les directions EX, FO, des puiffances E, F, font paralleles entr'elles ou confondues en une, qui paffe par l'appui B, la direction de la charge résultante du concours d'action de ces deux puif. fances fur cet appui B de leur équilibre fuppofé, fera · encore (Corol. 3.5. nomb. 2.) de A vers G fuivant AB alors parallele à leurs directions EX, FO, ou confondues avec elles en une, qui paffera (Ax. 5.) par l'appui B; & foit que ces directions des puiffances E, F, foient paralleles entr'elles, ou confondues en une, qui paffe par cet appui B, fa charge fera toujours alors (nomb. 1. des Corol. 23. 26. 30.) égale à la fomme de ces deux puiffances E, F, fi cet appui B eft entre leurs directions ou entre leurs points X, O., d'application au Levier, & feulement égale à leur difference (nomb. 2: des Corol. 23. 26. 30.) lorfqu'il n'y eft

pas.

3o. Lorfque l'angle XAO eft infiniment obtus, c'est-àdire (Lem. 6. Corol. 4.) lorfque les directions EX, FO, des puiffances E, F, font en ligne droite XO, qui paffe par les points X, O, d'application de ces deux puiffances au Levier MN, & par l'appui B (4x. 5...) de tous les Le