COROLLAIRE L.

Les deux derniers Corol. 48. 49. fe peuvent encore conclure autrement de ce qui les précede. Pour cela foit N le point de la ligne RS, fur lequel appuyé ou foûtenu les poids E, F, demeureroient en équilibre entr'eux dans une fituation telle qu'on voudra de cette ligne droite regardée comme un Levier auquel ces deux poids feroient appliquez en R, S, par leurs centres de gravité R, S, dans les Figures 177. 179. 180. ou par leurs points R, S, de libre fufpenfion dans la Figure 178. les directions de ces deux poids étant fuppofées paralleles entr'elles, ce point N en fera auffi un (Corol. 48.) fur lequel appuyé ou foûtenu ces mêmes poids feroient encore équilibre entr'eux dans toute autre fituation de cette ligne RS, & confequemment auffi du Levier XO auquel ces deux poids font fuppofez attachez ou fufpendus, c'està-dire, dans toutes les fituations poffibles de l'une & de l'autre. Donc dans toutes ces différentes fituations la direction résultante du concours de ces deux poids E, F, paffera toûjours (part. 2.) par ce point N, & toûjours ( Corol. 36. nomb. 2.) parallelement à leurs directions, c'eft-à-dire, verticalement. Donc n'y ayant ici (Hyp.) d'appui qu'en B, ces deux poids ne peuvent (princ. gener. Corol. 2.) demeurer en équilibre entr'eux fur ce point B, que lorfqu'il fe trouvera dans la verticale qui paffera par N, ou (ce qui revient au même ) feulement lorfque ce point N fe trouvera dans la verticale qui paffera par B, telle qu'eft (conftr.) BN dans ces figures-ci. Or il eft vifible que de toutes les fituations poffibles de la droite RS, ou du Levier XO autour de l'appui B, il n'y en a que deux où le point N de la droite RS puiffe fe rencontrer dans la verticale menée par ce point fixe B, fçavoir, une audeffous de lui, & l'autre directement au-deffus parallele à celle-là. Donc foit que cet appui B fe trouve au-deffus de RS comme dans le Corol. 48. ou qu'il fe trouve audeffous, comme dans le Corol. 49. il n'y a que ces deux fituations où le Levier XO puifle demeurer en repos, &

les poids E, F, en équilibre entr'eux fur cet appui B, fçavoir, lorfque le point N de la ligne RS fe trouvera dans la verticale qui paffera par cet appui B, foit audeffous ou au-deffus de cet appui ; & que dans quelqu'autre fituation qu'on mette ce Levier, il retombera toujours au-deffous de l'appui B jufqu'à ce que le point N de la droite RS foit dans la verticale qui paffera par ce point B, telle qu'on fuppofe ici BN. Ce qui comprend à la fois les Corol. 48. 49.

COROLLAIRE LI.

Suivant cela, le point N étant ici ( Corol. 47.) le centre commun de gravité des poids E, F, de directions (Hyp.) paralleles entr'elles ; le Levier XO, ni ces deux poids ne s'arrêteront en équilibre fur l'appui B, que lorfque leur centre commun de gravité fera le plus bas ou le plus haut qu'il puiffe être au-deffous ou au-deffus de B dans la verticale qui paffera par ce point: ainfi lorfque ce centre commun N de gravité ne fera point au plus haut qu'il puifle être, il retombera toûjours au plus bas dans cette verticale, où il demeurera, & y retiendra le Levier avec les poids E, F, en équilibre entr'eux.

COROLLAIRE LII.

Puifque (Corol. 47.48.49.50.) deux poids appliquez fixement à un Levier, ne peuvent retter en équilibre dans toutes les fituations poffibles de ce Levier, que fur un point qui foit entr'eux dans la droite qui paffe par leurs centres particuliers de gravité, & qu'il y a toujours (Cor. 2.47.) un tel point dans cette ligne ; leur centre commun de gravité (Déf. 14. ) doit toujours être dans cette même ligne, & jamais ailleurs, c'eft-à-dire, toû- ̈ jours entr'eux en ligne droite avec leurs centres particuliers de gravité, & divifer toûjours (Coral. 2.3.) la difance d'un de ces centres particuliers à l'autre, ou cette ligne en raifon reciproque de ces poids: de forte qu'un tel point de divifion de la distance de leurs centres par- -

Y y iij.

ticuliers de gravité, fera toûjours (Corol. 47. & Déf.14.) le centre commun de gravité de ces deux poids.

SCHOLI E.

Les proprietez du Tour, du Treüil, du Vindas & des autres Machines qui y ont rapport, déja démontrées dans la Section 4. fans le fecours d'aucune autre Machine, fe démontrent auffi d'ordinaire par le moyen des Leviers aufquels on les réduit: par exemple, dans les Figures FIG. 135. Comprifes depuis la 1 3 5. jufqu'à la 146. inclufivement & fuivantes de part & d'autre, on confidere MAN comme un Levier jufqu'à 146. dont l'appui eft en A, & aux bras AM, AN, duquel le

FIG. 113.

& fuivantes

Th. 19.

poids P & la puiffance R font perpendiculairement ap-
pliquez, c'èft-à-dire, fuivant des directions perpendicu-
laires à ces bras; & l'on trouve par ce moyen (Th. 21,
Corol. 2.) P. R: AN. AM. lorfque ce poids P & cette
puiffance R font en équilibre fur l'appui A de cette ef-
pece de Machine, ainfi que nous l'avons déja trouvé fans
le fecours d'aucune autre dans la Section 4.
Corol. 1. & nomb. 2. du Corol. 3. En réduifant ainfi en
Leviers le Tour, le Treuil, & les autres Machines qui y
ont rapport, le prefent Th. 2.1. avec fes Corollaires pour-
roit fervir de même à démontrer tout le contenu de cette
Sect. 4. Mais auffi reciproquement cette Section pourroit-
elle fervir à démontrer ce Théoreme avec fes Corollaires,
en regardant au contraire les Leviers comme faits de bras
de Tour, de Vindas, &c. P'indépendance de toutes ces
Machines entr'elles, cft ce qui m'a porté à les démontrer
idépendamment les unes des autres, le précedent princi-
pe general convenant également & immédiatement à tou-
tes fortes de Machines, fans être obligé de fe forcer
l'imagination à les transformer ainfi d'une effece en une

autre.

THEOREME XXII.

En cas d'équilibre dans les Figures précedentes Th. 24. jufqu'à167. entre les puissances E, F, fur l'appui B du Levier quelconque

MN, auquel elles font appliquées fuivant des directions auffi quelconques; fi d'un des angles R on S du parallelogramme. ARGS, par exemple, de l'angle R on mene RK perpendicu laire en K fur la diagonale AG prolongée.

I. Les efforts de ces deux puiffances E, F, fur l'appui B Suivant fa direction AB ou BA, feront toûjours entr'eux en raifon de AK à KG.

II. Chacun de ces efforts fera auffi toûjours à la charge de cet appui résultante de leur fomme ou de leur difference, com-me chacune de leurs expreffions AK, KG, fera à la diagonale AG du parallelogramme ARGS.

DEMONSTRATION.

PART. I. Après avoir auffi mené SL perpendiculaire en L fur la diagonale AG prolongée, foient appellez K, L, les efforts que les puiffances E, F, font ( felon Lem.3. part. 2.) fur l'appui B fuivant cette diagonale AG, laquelle en ce cas d'équilibre paffe ( Th. 2 1. part. 4.) par ce point d'appui B. Ce même Lem. 3. part. 2. fait voir que K. E:: AK. AR. Et F. L:: AS. AL. De plus la part. 3- & le Corol. 1.du Th. 2 1. fait voir auffi que E.F:: AR. AS. · De forte qu'en ce prefent cas d'équilibre,

K.E:: AK. AR.

L'on aura toûjours E. F:: AR. AS.

F.L:: AS. AL. 1

Donc (en multipliant par ordre) K. L : : AK. AL. Mais les triangles (conftr.) femblables GRK, ALS, ayant GR AS à caufe du parallelogramme ARGS, ont pareillement AL KG. Donc auffi K. L:: AK. KG. Ce qu'il falloit 1°.démontrer.

PART. II. Puifque (part. 1.) K. L:: AK. KG. ou L.K::: KG. AK. l'on aura pareillement ici L+K. K:: KG±AK. AK. fçavoir, L-+K. K :: KG+AK. AK:: AG. AK. dans les Fig. 153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160.161.167. Et L-K. K:: KG-AK. AK:: AG. AK. dans

les Fig. 162. 163. 164. 165. 166. Donc la charge de l'appui B réfultante de la fomme ou de la difference des efforts K, L, que les puiffances E, F, font fur lui en même fens dans les premieres de ces Figures, étant =LK; & étant L-K dans les autres Figures où ces efforts K, L, font directement contraires : la charge de l'appuiB réfultante du concours des puiffances E, F, en équilibre (Hyp.) fur lui, c'eft-à-dire, réfultante de la fomme ou de la difference des efforts K, L, que ces deux puiffances font fur lui fuivant une même ligne droite AB fera toujours ici à un tel effort K de la puiffance E:: AG. AK. Or (part. 1.) K. L::AK. AL. Donc (en raifon ordonnée) cette charge de l'appui B fera aufli toûjours à l'effort L de la puiffance F:: AG. AL. Par confequent en appellant B cette charge de l'appui B, l'on aura par tout ici B. K:: AG. AK. & B. L:: AG. AL. ou K. B:: AK. AG. & L.B :: AL. AG. c'est-à-dire, que chacun des efforts K, L, des puiffances E, F, fur l'appui B de leur équilibre entreelles, fera par tout ici à la charge de cet appui, réfultante de la fomme ou de la difference de ces efforts, comme chacune des expreflions (part. 1. AK, AL ou KG, sera à la diagonale AG du parallelogramme ARGS. Ce qu'il falloit 20. démontrer.

COROLLAIRE I.

La part. 1. donnant K. L:: AK. KG. & les triangles (conftr.) rectangles femblables AKR, GLS; & ALS, GKR, ayant (de même que le parallelogramme ARGS) AR=GS, AS GK, auront aufli KRELS, ALGK; & confequemment, fi l'on prolonge KR jufqu'à la rencontre de AF en V, l'on aura ici KV. KR :: KV. LS :: AK. AL:: AK. KG:: K. L. Mais en prenant AK .pour le rayon, la Déf. 10. fait voir que KV, KR, font les tangentes des angles VAK, RAK, ou de leurs égaux ou complemens FAB, EAB. Donc les efforts K, L, des puiffances E, F, fur l'appui B fuivant fa direction AB ou BA, en cas d'équilibre enti 'elles fur cet appui, feront auffi toù

jours