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toutes ces puiffances en équilibre, ou non, felon que la direction de cette force réfultante de leur concours paf- fera, ou non, par l'appui de ce Levier..

THE QR E. ME. X.X V...

Tant de puiffances qu'on voudra M, N, O, P, Q, &c. . étant appliquées en autant de points A, C, E, H, G, &c. d'un Levier quelconque AG fuivant des directions queleonques en un méme plan du concours V de celles HP, G2, de deux quelconques P, Q, de ces puissances foient prifes fur ecs deux directions HP, G2 des parties VR, VS, propoxtionnelles à ces deux paiffances P, 2: après en avoir fait le parallelogramme VRKS, dont la diagonale KV prolongée rencontre le Levier en λ, & en T la direction OE prolongée de la puiffance O fur ces deux lignes TA, TO, foient pris TY=VK, & TZ. VR::O. P. De même après avoir fait le parallelogramme TYXZ, dont la diagonale TX prolongée de part & d'autre rencontre le Levier en F, & en B la direction NC prolongée de la puiffance. Ni fur ces deux lignes. BF, BC, . foient prifes By TX, & fe. VR.:: N., P. De même encore, après avoir fait le parallelogramme Redy, dont la diagonale BS prolongée rencontre en D le Levier prolongé, & en L la direction prolongée AM de la puiffance M; fur ces deux lignes BL, AL, prolongées foient prifes Le=RS, & L®. VR : : M. P. Et toujours de méme jufqu'à la derniere de tout ce qu'il pouxroit y avoir ici d'autres puiffances, defquelles on dira ce qu'on va voir des cinq qu'on y voit, defquelles la derniere étant M, je dis,

I. Que fi des côtez Lễ,Lw, qu'on vient de déterminer, on fait le parallelogramme LeIw, dont la diagonale IL prolongée vers le Levier, le rencontre en B un appui fixe en ce point B du Levier, foûtiendra en équilibre entrelles toutes les cinq puiffances M, N, O, P, Q, qu'on fuppofe ics appliquées à ce

Levier..

II. Reciproquement s'il y a ici équilibre fur l'appui B entre les cinq puissances qu'on y fuppofe données,& de directions don

nées : la diagonale prolongée LI du dernier Low des quatre parallelogrammes qu'on voit ici, paffera par cet appui B.

III. La charge de cet appui B refultante du concours d'action de toutes les puiffances, fera dirigée de B vèrs I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LIG.

IV. Cette charge fera à chacune de ces puissances M, N, O, P, Q, comme cette diagonale LI à chacun des côtez La Be, TZ, VR, VS, que les parallelogrammes L§ĺw, Bedy, TZXY, VRKS.,ont fur les directions de ces puiffances.

V. En ce cas d'équilibre fur l'appui B du Levier AG, fi de ce point B on mene fur ces directions prolongées AM, NC, EO, PH, GQ, autant de perpendiculaires Ba, BC, Be, Bh, Bg, qui les rencontrent en a, a, e, h,g, l'on aura toûjours · M×Ba➡NxBc=0x Be+P×Bh+QxBg

VI. Reciproquement fi l'on a ici Mx BaNx Bc 0× Be 4PxBk+QxBg, il y aura équilibre fur l'appui fixe Bentre les cinq puiffances M, N, O, P, Q, qu'on y fuppofe données & de directions données AM, NC, EO, PH, QC, aufquelles on fuppofe auffi que Ba, BC, Be, Bh, Bg, font perpendicu ·

laires.

DEMONSTRATION..

PART. I. Ayant (confr.) la puiffance P à chacune des quatre autres Q, O, N, M, comme le côté VR que le parallelogramme VRKS a fur la direction PG prolongée de cette puiffance P, eft à chacun des côtez VS, TZ, Re, Lo, que ce parallelogramme & les trois autres qu'on voit ici, ont fur les directions de ces quatre autres puiffances Q, O, N, M; ces cinq lignes VR, VS, TZ, fs, Lu, font proportionnelles à ces cinq puiffances P, Q, O, N,M. Si prefentement on appelle à l'effort réfultant du concours des puiffances P, Q F, le réfultant du concours de a & de la puiffance O; D, le réfultant du concours F & de la puiffance N; & B, le réfultant de D & de la puis, fance M: les proportionnelles précedentes jointes aux fuppofitions faites d'abord de TY VK, @y=TY, LO=

donneront (Lem. 3. Corol. Inomb. 1. 2.) l'effort a

Bbb iij

1

19

(réfultant du concours des puiffances P, Q, de V vers K fuivant VK, & λ. P:: VK. VR (constr. ) :: TY. VR, De forte qu'ayant (conftr.) P. O:: VR. TZ. l'on aura auffi (en raifon ordonnée )λ. O:: TY. TZ. Par confequent l'effort F réfultant du concours de l'effort a & de la puiffance O, c'eft-à-dire, du concours des trois puiffances P, Q, O, fera de même de T vers X fuivant TX, & à la puiffance :: TX. TZ. De forte qu'ayant ( conftr.) O.P:: TZ. VR. & P. N:: VR. f. l'on aura auffi F. N::: TX. Be (conftr.): By. Be. Donc par la même raison l'effort D réfultant du concours de l'effort F & de la puiffance N, c'est-à-dire, du concours des quatre puiffances P, Q, O, N, fera de B vers & fuivant e♪, & à la puiffance N:: B♪. Be. De forte qu'ayant (conftr.) N. P:: B. VR. & P. M:: VR. L. l'on aura auffi D. M :: B. La ( constr. } ::L. L. Donc par la même raison encore l'effort Bréfultant du concours de l'effort D & de la puiffance M, c'est-à-dire, du concours des cinq puiffances P, Q,O, N, M, fera de L vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LeIw. Donc enfin (princ. gen. Corol. 1.) ces cinq puiffances feront en équilibre entr'elles fur un appui fixe placé au point B, où cette diagonale LI prolon gée rencontre le Levier. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. Pour l'équilibre fur l'appui B entre toutes les puiffances qu'on fuppofe appliquées au Levier AG, il faut (princ. gen. Corol. 2.) que cet appui B fe trouve dans la direction de l'effort réfultant du concours d'action de toutes ces puiffances. Or fuivant la démonstration de la part. 1. la direction de cet effort commun eft ici de L vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LeIw. Donc en cas d'équilibre entre toutes ces puiffances M, N,O, P, Q, fur l'appui fixe B du Levier auquel on les fuppofe appliquées; cette diagonale LI prolongée paffera par cet appui B. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

PART. III. Suivant la démonstration de la partie 1. tout ce que les puiffances M, N, O, P, Q, font enfemble d'effort fur le Levier AG, fe réduifant à leur

effort commun de L vers I fuivant LI; & l'appui fixe B placé dans cette direction ou ligne prolongée, foûtenant (Ax. 3.) cet effort tour entier qui (Def. 21.) en fait toute la charge: c'eft une confequence neceffaire que la direction de la charge de cet appui fixé B foit ici de L vers I fuivant LI diagonale du parallelogramme LeIw. Ce ́ qu'il falloit 3°. démontrer.

PART. IV. Suivant la démonstration de la partie 1. l'effort D non feulement réfulte de B vers fuivant B♪,, du concours des quatre puiffances N, O, P, Q, mais encore cit à la puiffance M:: Le. L. Donc (Lem. 3. Cor. 1. nomb. 2.) l'effort B, qui fuivant la démonstration de la partie 3. eft la charge de l'appui de ce nom, réfultantedu concours de cet effort D & de cette puiffance M, c'est-à-dire, du concours des cinq puiffances M, N, O, P, Q, eft à cette puiffance M, comme la diagonale LI du parallelogramme Lola eft à fon côté correfpondant La, ou (ce qui revient au même) B. M: LI. L. Mais (conftr.) M.P:: La. VR. Donc auffi (en raifon ordonnée ) la char-ge B. P:: LI. VR. Or (conftr.) la puiffance P est à chacune des quatre autres Q, O, N, M, comme le côté VR du parallelogramme VRKS est à chacun des côtez correspondans VS, TZ, B, Lo, de ce parallelogramme & des trois autres TZXY, Bedy, Lalf. Donc ( en raison ordonnée) la charge B de l'appui de ce nom, résultante du concours des cinq puiffances propofées M, N, O, P, Q., eit à chacune de ces puiffances, comme la diago-nale II du dernier Lale de ces parallelogrammes, eit à chacun des côtez La, Be, TZ, VR, VS, que tous ces parallelogrammes ont fur les directions de ces puiffances. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Il faut ici fe fouvenir que dans la conftru&tion faite dans l'énoncé du prefent Th. 25. on a pris Le=Bd, By TX, TY=VK: cela joint au Corol. 1. du Lem. 16. donnera LwxBa (Lem. 16. Corol. 1. nomb.. L9xBd B♪x3d ( Lem. 16. Corol. 1. nomb. 2.) Bf-2 tx BeBexBc-+TXxBf(Lem. 16. Cor.1.nomb.1.)

6.4.)

Byx

し

BexBC+TZx Be+TYXB-BixBc TZx Be VKxBl (Lem. 1 6. Corol. I. nomb. 1.) ——BexBc++TZx Be +VSxBg +VRxBh. Donc LaxBa➡+ߢ×Bc=TZxBe VSxBgVRxBh.

Donc en fubftituant toutes ces valeurs de Lo, Be, TZ,
VS, dans la derniere équation qui précede ces analo-

gies, elle fe changera en

MXVRXB4NX VRXBC

P

OXVRXBC-+QXVRXB+VRxBh. Donc auffi en mul

P

P

tipliant le tout par l'on aura enfin dans le cas d'é

VR

quilibre ici fuppofé, Mx Ba-+NxBc=O×Be➡+Q×Bg +PxBh. Ce qu'il falloit 5°. démontrer.

PART. VI. Je dis reciproquement que fi MxBa NxBe OxBe +QxBg-+PxBh, il y aura équilibre fur le point fixe B du Levier AG entre les puiffances M,N, O, P, Q, qu'on lui fuppofe appliquées. Car fi elles ne demeuroient pas ainfi en équilibre toutes enfemble fur cet appui fixe B, il y en auroit quelqu'une d'elles, par exemple, M, qui feroit-trop grande ou trop petite pour cela. En ce cas (tout le refté demeurant le même) foit quelqu'autre puiffance & fubftituée à la place de M, & qui tirant le cordon AM de celle-ci vers le même côté, fuivant la même direction qu'elle, demeure en équili

μ

bre