vient de voir de SP dans les Fig. 9. 10. fe doit dire auffi de AD dans les Fig. 4. 5. 6. 7. Par confequent ( Corol. 12.) fi l'on place en quelque point X de ceux où la diagonale AD rencontre le corps EFGH, un appui ou une puiflance directement contraire fuivant AD à la force réfultante du concours des deux E, F, fuivant la même AD, & d'une résistance ou force égale à cette résultante à contre-fens; cet appui ou cette puiffance X retiendra le tout en équilibre conformément au nomb. 4. du Corol. 1.Et reciproquement fi le tout eft ainfi retenu en équilibre par cet appui ou par une puiffance, cet appui doit être d'une réfiftance, ou cette puiffance d'une force égale à la résultante du concours des puiffances E, F, & fuivant la direction DA de cette force résultante à contre-fens. D'o l'on voit que cet appui ou la puiffance fubftituée en sa place contre la force réfultante du concours des puiffances E, F, doit être alors dans leur plan, c'est-à-dire, avoir sa résistance dans le plan des directions des puiffances E, F, & une direction qui paffe à travers l'angle BAC de celles-là..

J

COROLLAIRE XIV..

Donc auffi trois pufffances E, X, F, appliquées comme l'on voudra à un même corps DE ne peuvent demeurer en équilibre entr'elles, & le tenir ainfi en repos, à moins que leurs trois directions ne paffent le long d'un même plan, par un même point, chacune à travers l'angle: compris entre les deux autres; ce qu'on verra dans la fuite s'étendre jufqu'au parallelifme de ces trois dire--&tions entr'elles: puifque celle X de ces trois puiffances qui réfiftera feule aux deux autres, doit ( Corol. I 2.) ? avoir pour cet équilibre une direction qui foit la même à contre-fens que celle AD de la force réfultante du concours des deux autres E, F, & confequemment une: direction XA qui (comme AD) paffe par le concours A des directions AC, AB, de ces deux autres puiffances E,,

COROLLAIRE XV.

FIG. 11, 12. D'où l'on voit que fi un poids BCGH, dont DX foit la direction de la pefanteur qu'on lui fuppofe prefentement, eft foutenu par deux puillances E, F, avec des cordes EC, FB ; la direction DX prolongée de ce poids ainfi en équilibre avec ces deux puiffances, paffera toûjours par le concours A de leurs directions prolongées EC, FB, dans leur plan, & à travers leur angle BAC; puifque fans cela ces deux puissances E, F, & la pefanteur de ce corps, qui en eft une troifiéme, ne feroient point ( Corol. 14.) en équilibre entr'elles ; ce qui eft contre l'hypothese.

Ce fera la même chose ( Ax. 2.) fi au lieu des deux puiffances E, F, on fuppofe deux clous en leur place, aufquels leurs deux cordes foient accrochées.

F, dans le plan de ces deux directions-ci, & à travers leur angle BAC.

COROLL AIRE XVI.

Donc auffi le poids BCGH de la Fig. 12. fufpendu & un feul clou A par le moyen de deux cordes CA, BA, qui y feroient accrochées, n'y peut être en équilibre ou en repos que lorfque fa direction DX paffera par ce point de concours A, puifque ( Ax. 2.) ce clou ou crochet A réfifteroit ici fuivant AC, AB, au poids BCGH, comme feroient les deux puiffances E, F, en équilibre avec lui, fi toutes deux en ce point A, elles lui étoient appliquées fuivant les mêmes directions EC, FB.

COROLLAIRE XVII.

De même dans la Fig. 1 1. les puiffances E, F, résistant au poids BCGH par le moyen des cordes EC, FB, comme feroient (Ax. 2.) deux pieux AG, AH, suivant les mêmes directions; ce poids BCGH ne peut demeurer non plus (Corol. 15.) en équilibre ou en repos ou en repos fur ces deux pieux appuyez en A, que lorfque la direction DX paffera

par

t

par ce point de concours A, fur lequel on fuppofe ces deux pieux mobiles fans pouvoir gliffer.

COROLLAIRE XVIII.

I I.

Il en feroit de même non feulement dans la Fig. 11. F10.1 fi ces deux pieux, au lieu d'être appuyez en A, l'étoient en M,N, fur un plan ou furface fixe quelconque PQ, fur laquelle ils ne puffent que fe mouvoir autour de ces deux points M, N, fans gliffer; mais encore dans la Fig. 12. fi MG, NH, y étoient deux pieux ainsi appuyez en M, N, fur la furface fixe PQ, & que leurs directions concouruffent en A: on prouvera, dis-je, de même encore que le poids BCGH, ne peut point du tout être en repos fur ces deux pieux des Fig. 11. 12. foit que les directions de ces pieux concourent haut ou bas, à moins que celle DX de ce poids ne paffe par leur point de concours A.

COROLLAIRE XIX.

Si l'on imagine prefentement en équilibre entr'elles F1.gi quatre puiffances Ê, H, G, F, appliquées à autant de cordons CE, CH, BG, BF, attachez deux à deux aux extrêmitez C, B, d'une autre corde, ou verge CB, & qui prolongées concourent auffi deux à deux en deux autres points quelconques AD; il fuit encore du précedent Corol. 14. que l'effort réfultant du concours d'action des deux puiffances H, G, de directions concourantes en D, & le réfultant du concours d'action des deux puiffances E, F, de directions concourantes en A, auront DA pour direction commune en fens contraires; puifque l'effort résultant du concours d'action en D des deux puiffances H, G, en équilibre ( Hyp.) avec les deux autres E, F, fait la fonction d'une nouvelle puiffance qui égale à lui, & appliquée en D fuivant fa direction, feroit feule équilibre avec ces deux-ci E, F, & que reciproquement l'effort résultant du concours d'action en A de ces deux dernieres puiffances E, F, fait la fonction

F

d'une nouvelle puillance, quiégale à lui, & appliquée en A fuivant fa direction, feroit feule équilibre avec les deux autres puiffances H, G.

Ce raifonnement conviendra également à tout ce qu'on voudra exprimer d'autres cas de ce Corol. 19. par rapport à ce qué les points A, D, peuvent avoir de positions differentes de celles qu'on leur voit dans la prefente Fig. 1 3..qui seule fuffit ici, les autres étant aifées à imaginer fur elle.

COROLLAIRE X X.

Deux clous ou crochets en E, F, à la place des deux puiffances de ces noms réfiftant (Ax. 2.) comme elles aux deux autres puiffances H, G, il fuit du précedent Corol. 19. que la direction de l'effort résultant du concours d'action de ces deux dernieres puiffances H, G, pafferoit toûjours du concours D de leurs directions par le concours A des directions des cordons accrochez aux crochets supposez en E, F.

SCHOLI E.

I. N'y ayant dans une queftion que ce qu'on y fuppofe, il eft vifible que ne fuppofant dans le prefent Lem. 3. aucune résistance differente de ce que les puiffances fuppofées s'en peuvent faire l'une à l'autre comme dans la Part. 3. de ce Lemme, ce feroit fortir de la question, que de vouloir en confiderer ici d'autre que celle-là. Il ne faut cependant pas dire pour cela que les mouvemens précedens n'étant tels qu'on les vient de démontrer, que dans le vuide, le rapport des forces qu'on en a conclu, ne feroit d'aucun ufage dans un milieu réfiftant; puifque l'équilibre qu'on en verra réfulter dans la fuite conformément au Corol. 1. du principe general, fe feroit dans le plein comme dans le vuide, le plein ne réfiftant qu'au mouvement, & non au repos: de forte que fi deux ou plufieurs forces appliquées à un même corps, fe foûtenoient mutuellement en équilibre fur ce corps en repos dans un efpace vuide, elles s'y foutiendroient appli

quées de même dans un espace plein. D'où l'on voit non feulement que le rapport des forces, qui cauferoit l'équi libre dans le vuide, le cauferoit auffi dans le plein où elles auroient de femblables applications; mais encore que la cessation de ce rapport, ou de la reffemblance des applications de ces forces, qui cauferoit la rupture de l'équilibre dans le vuide, la cauferoit auffi dans le plein avec cette feule difference que le mouvement qui en réfulteroit, fe feroit plus lentement dans le plein que dans le vuide, à moins que cette difference de forces ne fût au deffous de la moindre réfiftance poffible du plein. Donc en fait d'équilibre, il feroit inutile de demander s'il fe fait dans le plein ou dans le vuide, pour avoir (du moins à une petite difference près ) le rapport des forces qui le caufent, & reciproquement. C'eft pour cela qu'à l'exemple de tout ce qu'il y a eu d'Auteurs qui ont traité cette matiere, nous ne parlerons plus de cette difference des milieux.

II. Quant aux frottemens des corps les uns contre les autres, l'accrochement ( pour ainfi dire) que l'afperité de leurs furfaces peut caufer entr'eux par l'engrenement des parties de ces furfaces les unes dans les autres, faifant (comme le peu de réfiftance du plein) la fonction d'une force ou puiffance qui retiendroit ainfi les corps les uns contre les autres, & toûjours en faveur des plus foibles contre les plus fortes qui leur feroient appliquées, pourroit fort bien aider à les retenir en équilibre, fans que ces autres puiffances fuffent entr'elles dans le rapport qu'il faudroit dans le vuide pour cela fi ces frottemens n'étoient d'aucune réfiftance, quoique ni eux, ni la résistance du plein ne puiffent l'empêcher quand ce rapport s'y trouvera. C'est ce qui nous fera négliger dans

fuite ces frottemens avec la résistance du plein, comme s'ils n'en faifoient aucune; fauf à y compter fuivant l'Ax. 2. & la Demand. 1. tout ce qu'ils en ont, en le prenant pour une puiffance d'une force ou réfiftance qui lui foit égale, quand on l'aura connu,