Les Géometres à qui les trois Lemmes précedens avec leurs Corollaires, fe prefentent tout d'un coup, feront fans doute furpris de la maniere fcrupuleufe dont je viens de les démontrer, & du grand détail que j'en viens de faire: auffi auroisje fuppofé tout cela comme connu, fi je n'avois eu affaire qu'à eux mais j'écris pour des Commençans, à qui il faut tout expliquer, & ce d'autant plus ici, que c'eft fur ces trois Lemmes, & fur le principe general qu'est fondé tout ce qu'on va voir des proprietez des Machines.

LEMME I V.

;

Plufieurs puiffances étant appliquées à autant de cordons attachez enfemble par un feul & même nœud commun que rien autre chofe ne retienne l'équilibre eft impoffible entre ces puiffances (quelles qu'elles foient, & quel qu'en foit le nombre) lorfqu'elles font dirigées de maniere qu'un plan puiffe paffer par lenaud commun de leurs cordons fans paffer entre elles, & fans qu'elles foient toutes dans ce plan.

DEMONSTRATION.

Il eft manifefte qu'un plan qui rencontreroit ainfi tous les cordons des puiffances fuppofées, auroit toutes ces puiffances tirantes d'un feul côté par rapport à lui, ou quelques-unes tirantes vers ce côté-là pendant que toutes les autres tireroient fuivant la direction. Done (Corol. 6. du Lem. z. & Corol. 10. du Lem. 3.) de quelque maniere qu'on combine toutes ces puiffances, il ne résultera du concours de toutes qu'une impreffion totale vers le côté qu'il y aura des puiffances hors le plan fuppofé. Donc (princ. gener. ) il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puiffances. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient ) attachez tous enfemble par un feul & même noud, & quelques puif

fances qu'on leur applique, une à chacun; l'équilibre
entr'elles fera impoffible.

1°. Dans le cas de tous leurs cordons en même plan,
fi la direction de quelqu'un d'eux ne divife pas quel-
qu'un des angles que les autres cordons font entr'eux;
puisqu'un autre plan que le leur, mené fuivant ce cor-
don-là, les rencontreroit alors tous en leur noeud com-
mun, fans paffer à travers d'eux.

2o. Dans le cas des mêmes cordons en plans différens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne paffe non plus à travers des cordons des autres plans, puifque celui-là fera lui-même, alors un plan qui rencontrera auffi tous ces cordons en leur noeud commun, fans paffer à tra→ vers d'eux,

COROLLAIRE II.

Il fuit encore de ce Lemme-ci, quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient encore) attachez tous ensemble par un seul & même nœud, qui foit regardé comme le centre d'un cercle au d'une fphere; que fi ces cordons ne font pas répandus en plus d'un demi-cercle, lorfqu'ils font tous en même plan, ou en plus d'une demi-sphere, lorfqu'ils font en plans differens ; quelque puiffance qu'on leur applique, une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles fuivant ces directions: puifqu'on pourra toujours alors faire paffer un plan par le noeud commun de ces cordons, fans le faire paffer entr'eux, & fans qu'ils foient tous dans ce plan.

Il est visible que chacun de ces Corollaires fuit auffi de l'autre, & qu'ils fe prouvent mutuellement tous deux.

LEMME V.

I. Lorfque tous les cordons iffús d'un même næud, font dirigez fuivant un même plan, & répandus en plus d'un demi cercle, il n'y en a aucun qui prolongé par delà ce nœud commun, ne passe entre les autres cordons.

Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel feul lui & les autres cordons feroient alors tous répandus ; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la même hypothefe de tous les cordons dirigez Suivant un même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine fur ce plan par le naud commun de tous ces cordons, fans paffer le long d'aucun d'eux, elle paffera toûjours de part & d'autre de ce naud, à travers deux des angles que ces cordons feront entr'eux.

Car fi elle ne paffoit à travers aucun de ces angles, elle feroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel feul tous ces cordons feroient alors répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Et fi cette ligne droite ne paffoit à travers que d'un des angles de ces cordons, les deux cordons voifins à droite & à gauche de cette ligne droite du côté où elle ne pafferoit à travers aucun de leurs angles feroient en ligne droite terminante auffi un demicercle, dans lequel feul tous ces cordons feroient alors répandus ; ce qui eft contre l'hypothese. Donc toute ligne droite mene fur le plan & par le noeud commun de tous ces cordons, paffera toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de ce nœud. Ce qu'il falloit dé

montrer

III. Lorsque ces cordons font dirigez fuivant des plans differens, & répandus en plus d'une demie-sphere; il n'y a aucun de ces plans qui prolongé par de-là le nœud commun de ces cordons, ne paffe entre les cordons des autres plans.

Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le plan d'un grand cercle terminant une demie-sphere, dans laquelle feule tous les cordons feroient alors répandus ; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c.

SCHOLIE.

La raifon qui vient de faire voir (Part. 2.) que toute ligne droite menée par le nœud, & fur le plan commun

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de plufieurs cordons qui y feroient tous répandus en plus d'un demi-cercle, fans le faire paffer le long d'aucun de ces cordons, pafferoit toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur noeud commun: cette raifon, dis-je, fera voir de même que tout plan mené par le nœud commun de plufieurs cordons répandus en plus d'une demie-fphere, fans le faire paffer le long d'aucun d'eux, pafferoit auffi toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur nœud commun.

Les Figures de ces deux derniers Lem. 4. 5. étant faciles à imaginer, on a negligé de les ajoûter ici, & ce dautant qu'il y auroit fallu exprimer des plans à angles differens avec celui de la Planche, plus difficiles à tracer, & à reconnoître fur elle, qu'à fe les reprefenter fur le difcours que l'embarras de ces Figures n'auroit fait que rendre plus long & moins clair.

AVERTISSEMENT.

Jufqu'ici nous n'avons employé de Géometrie que quelque chofe des fix premiers Livres, & de l'onziéme des· Elemens d'Euclide. Voici prefentement quelques Lem-mes de pure Geometrie, qui n'en fuppofe pas davantage : c'est pour rendre plus univerfelle l'application du précedent principe general aux machines, & pour faire qu'aucun cas n'échappe à la generalité de nos propofitions, lefquelles n'exigeant dans le Lecteur que la valeur de ces fept Livres d'Euclide, feront ( ce me semble ) à la portée des Commençans attentifs : c'eft pour eux que j'ajoûte les Définitions fuivantes, qui ne fe trouvent point dans Euclide.

DEFINITION IX.

Si d'un point quelconque D de la demi-circonference F1 e 143 CDF d'un cercle, dont  foit le centre, on laiffe tomber une perpendiculaire DE fur le diametre CF en E; cette perpendiculaire DE est également appellée Sinus des angles CAD,DAF, ou des arcs CD, DF, mefures de ces angles. Suivant la même dénomination le rayon BA per

L

pendiculaire auffi fur CF, eft pareillement appellé Sinus de chacun des angles droits CAB, BAF, ou de chacun des. quarts de cercle BC, BF, & comme ce Sinus AB eft le plus grand de tous, on l'appelle Sinus total, fur lequel fe mefurent tous les autres. D'ou l'on voit que fon égal AD doit auffi être pris pour Sinus total, dont DE foit un des Sinus partiaux. De forte que,

COROLLAIRE I.

Dans le triangle rectangle AED, en prenant AD pour le Sinus total, ou de l'angle droit E, l'on aura DE pour le Sinus de l'angle DAC ou DAF; & par la même raifon l'on aura auffi AE pour le Sinus de l'angle ADE.

COROLLAIRE II.

On voit auffi que deux angles DAC, DAF, complemens l'un de l'autre a deux droits, c'eft-à-dire, dont la fomme vaut deux droits, ont chacun le même Sinus DE, en prenant toûjours AD pour le Sinus total.

DEFINITION X.

Si à l'extrêmité C du rayon AC, on mene une perpendiculaire, ou tangente CM, laquelle foit rencontrée en G par l'autre côté AD prolongé de l'angle CAD ; la partie CG de cette perpendiculaire, eft appellée Tangente de cet angle CAD, ou de l'arc CD. De même fi a l'extrêmité F du rayon AF, on mene une perpendiculaire FN, laquelle foit rencontrée en H par l'autre côté DA prolongé de l'angle FAD complement du premier CAD a deux droits ; la partie FH de cette feconde perpendiculaire fera auffi appellée Tangente de ce complement FAD ou de l'arc FD.

COROLLAIRE.

Les lignes CG, FH, étant égales entr'elles, de même que le font les autres côtez AČ, AF, des triangles ACG, AFH(conftr.) femblables on voit que les tangentes des

deux