deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, font toujours égales entr'elles, de même que leurs finus le font toujours (Déf. 9. Corol. 2.) entr'eux; c'est-àdire, que deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, ont toujours la même tangente & le même finus. Il en eft de même de AG, AH, qu'on appelle leurs

Secantes.

DEFINITION XI.

Lorfqu'un angle à force de devenir aigu, s'évanouit en parallelifme de fes côtez entr'eux, foit qu'ils foient ou non confondus en un, on l'appelle infiniment aigu: & lorfqu'à force de devenir obtus, fes deux côtez deviennent (comme bout à bout) en ligne droite, on lappelle infiniment obtus.

COROLLAIRE.

On voit de-là qu'un angle infiniment aigu en a toujours un infiniment obtus pour complement à deux droits; & reciproquement.

LEMME IV.

A l'inftant qu'un angle rectiligne s'évanouit à force de diminuer, fes côtez deviennent paralleles entr'eux.

DEMONSTRATION.

re,

Car le parallelifme de ces deux lignes entr'elles (dont la réduction de ces mêmes lignes en une, eit une efpece) naiffant de l'évanouiffement du dernier, c'est-à-didu plus petit des angles qu'elles puiffent faire entreelles, la fin de ce dernier angle doit être le commencement de ce parallelifme, & comme le terme où ils fe touchent, pour ainfi dire; par confequent à l'inftant de cet évanouiffement il doit y avoir tout à la fois entre ces deux lignes & angle finiffant, & parallelifme naiffant. Donc à l'instant que leur angle s'évanouit à force de diminuer, elles deviennent paralleles entr'elles. Ce qu'il falloit démontrer.

G

COROLLAIRE I.

Cet angle finiffant ainfi ( Définit. 11.) par l'infiniment aigu, il s'enfuit que deux lignes droites arrivées à ce terme, le sont auffi à leur parallelifme, & confequemment que lorfqu'elles ne font plus entr'elles qu'un angle infiniment aigu, elles peuvent à la rigueur paffer pour paralleles, & reciproquement puifqu'elles n'ont plus de chemin à faire pour paffer de cet angle au parallelifme.

COROLLAIRE II.

Si de deux points fixes partent deux lignes droites. mobiles chacune autour du fien, lefquelles faffent entr'elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par l'éloignement continuel de fon fommet ; ces deux lignes. feront (Corol. 1.) paralleles entr'elles lorfque ce fommet fe trouvera infiniment éloigné de leurs points fixes, l'angle qu'elles feront entr'elles, fe trouvant alors infiniment aigu.

COROLLAIRE III.

Si au contraire d'un même point fixe partent deux Lignes droites dont l'angle compris entr'elles, devienne enfin infiniment aigu; alors ces deux lignes devenuës (Corol. I.) paralleles entr'elles, paffant (Hyp.) par un même point, fe confondront en une feule & même ligne droite, & la bafe de l'angle fini qu'elles faifoient auparavant entr'elles, fe trouvera alors anéantie ou réduite en un point, fi ces deux lignes étoient égales, ou égale à leur difference pareillement confondue avec elles, fi elles étoient inégales; reciproquement ces deux lignes feront égales ou inégales entr'elles, felon que leur angle infiniment aigu rendra cette base nulle ou non.

COROLLAIRE IV.

Deux lignes droites qui font entr'elles un angle infiniment aigu d'un côté, en faisant toujours un(Corol. Déf. 1 1)

I

infiniment obtus de l'autre ; il fuit que puifqu'elles fe difpofent parallelement ( Corol. 2.) ou le confondent en une ( Corol. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu, elles doivent fe difpofer en fens directement contraires parallelement, ou en ligne droite bout à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME VII.

De quelque maniere que la ligne droite AD divife l'angle F1-0. 15. rectiligne BAC, le finus de cet angle total BAC fe trouvera égal à la fomme des finus des angles partiaux BAD, BAC, lorfque ce même angle totål fera infiniment aigu.

DEMONSTRATION.

Du centre A, & d'un rayon quelconque AE, foit l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F, O; des points E, F, foient EH, FK, perpendiculaires en H, K, fur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire auffi en G fur AD. Cela fait, fi l'on prend AE, ou fon égale AF pour finus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG, pour les finus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorfque l'angle total BAC fera devenu infiniment petit, fon finus EH fe trouvera égal à la fomme des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH EG+FK.

Pour le voir, il n'y a qu'à confiderer que lorfque l'angle total BAC fera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le feront auffi ; & confequemment (Corol. 1. du Lem. 6.) que les trois droites BA,DA, CA, feront alors paralleles entr'elles de l'une ou de l'autre des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. du Lem. 6. Donc des angles (Hyp.) droits en H, K, G, rendront alors EH, FK, EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralle qui confondant EL avec EG, & LH avec FK, donne alors EGFK-EL-LH EH. Donc le finus EH de l'angle total BAC fetrouve alors égal à la fomume

les; ce

des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC. Ge qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc auffi pour lors le finus de celui qu'on voudra de ces deux angles partiaux BAD, DAC, fera égal à la difference dont le finus de l'autre fera furpaffé par le finus EH de l'angle total BAC ; c'est-à-dire, qu'alors EG-EH-FK., & FK-EH-EG.

COROLLAIRE II.

Or en prolongeant DA, CA, vers M, N, l'on aura auff (Déf. 9. Corol. 2.) EG, EM, FN, pour les finus des angles BAM, BAN, MAN; & lorfque l'angle BAC fera infiniment aigu, fon complement (à deux droits ) BAM fera infiniment obtus, & MAN infiniment aigu. Donc lorfqu'un angle BAM infiniment obtus fera divifé en deux, dont un MAN foit infiniment aigu, le finus de Pangle total BAM fera toûjours égal à la difference dont le finus du plus grand BAN des partiaux furpaffera le finus du plus petit MAN; puifqu'alors ( Corol.-F. ) l'on aura toûjours EG-EH-FK.

Quoique dans le Corol. 2. les angles BAM, BAN, infiniment obtus, foient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu MAN, l'étant auffi par rapport à leurs comple mens infiniment aigus BAD, BAC, qui ont ( Déf. 9. Curol. 2.) les mémes finus qu'eux ; leurs fanus EG, EH, feront infiniment petits, & dcmême genre que celui EK de l'angle MAN & confequemment EG—EH-FK fera ici d'uns valeur réelle, quoiqu'infiniment petite. C'est pour rendre de La plus grande univerfalité poffible les propofitions & les Corollaires des fections fuivantes, que nous en venons ici jufqu'aux infiniment petits, dont l'idée feule fuffira fans en fçavoir le calcul: idée à la portée de tout le monde, avec un peu d'attention. Par infiniment petit, on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque affignable que ce foit, laquelle, au langage des Anciens, s'appelleroit quantitas minor quavis

dhe

SCHOLIE.

Les angles en H, K, G, étant (Hyp.) droits, & le Corol. I. du Lem. 6. faifant voir que lorfque l'angle BAC eft infiniment aigu, & confequemment auffi les angles BAD, DAC ; les trois lignes BA, DA, CA, font parakleles entr'elles de quelqu'une des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. de ce Lem. 6. On vient de conclure, fuivant la doctrine d'Euclide, que chacune des lignes EH, FK, EG, eft perpendiculaire à chacune de cès trois paralleles ; & confequemment qu'alors LH est égale à FK, auffi-bien que EG à EL, qui pour lors se fe confond avec elle comme LH avec FK. Pour voir tout cela, il faut confiderer que lorfque les droites BA, CA, deviennent paralleles entr'elles, tout ce qu'on en peutimaginer d'autres par A dans l'angle BAC, le deviennent auffi entr'elles (Lem. 6. Corol. I.) & à ces deux-là ; & confequemment que l'arc EFO perpendiculaire à tou tes, dégenere pour lors en une ligne droite, qui leur eft auffi perpendiculaire, & qui paffant par E, F, de même que EH, EG, FK, perpendiculaire auffi pour lors à ces paralleles AC, AD, AB, doit fe confondre avec cellesla, defquelles EG fe trouve pour lors au bout de FK en ligne droite, avec laquelle EH fe confond alors für cet arc EFO redreffé en une ligne EH-EG-FK, confor mément au prefent Lem. 7.

LEMME VIT

5.

De quelque point E de la diagonale AD d'un parallelo- F1, 16, gramme quelconque ABDC, qu'on mene deux perpendicu- 17. laires EF, EG, fur fes côtez AB, AC, prolongez avec cette diagonale où befoin fera: ces perpendiculaires feront tou jours entr'elles en raison reciproque de ces côtez, c'est-à-dire,

EF. EG:: AC. AB.