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Car s'il n'y passoit pas , il seroit le diamétre-terminant d'un demi-cercle dans lequel seul lui & les autres cordons seroient alors tous répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la même hypothese de tous les cordons, dirigez suivant un même plan., & répandus en plus d'un demi-cercle, quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine sur ce plane par le næud commun de tous.ces cordons, sans passer le long d'aucun d'eux , elle passera toûjours de part & d'autre de ce næud, à travers deux des angles que ces cordons feront entr'eux.

Car fi elle ne passoit à travers aucun de ces angles, elle serøitr le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel seul tous ces cordons seroient alors répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Et si cette ligne droite ne passoit à travers que d'un des angles de ces cordons, les deux cordons voisins à droite &à gauche de cette ligne droite du côté où elle ne passeroit à travers aucun de leurs angles seroient en ligne droite terminante aussi un demicercle, dans lequel seul tous ces cordons seroient alors répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc toute ligne droite mene sur le plan & par le næud commun de tous ces cordons , passerā toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de ce neud. Ce qu'il falloit

III. Lorsque ces cordons sont dirigez suivant des plans differens , en répandus en plus d'une demie-Sphere; il n'y a aucun de ces plans qui prolongé par de-næud commun de ces cordons, ne passe entre les cordans des autres plans.

Car s'il n'y passoit pas , il seroit le plan d'un grand cercle terminant une demie-sphere , dans laquelle seule tous les cordons seroient alors répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc, &c.

SCHOLIE. La raison qui vient de faire voir ( Part. 2.) que toute ligne droite menée par le næud, & sur le plan commun

montrer

de plusieurs cordons qui y feroient tous répandus en plus d'un demi-cercle, sans le faire passer le long d'aucun de ces cordons, passeroit toujours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur neud commun: cette raison , dis-je, fera voir de même que tout plan mené par le neud commun de plusieurs cordons répandus en plus d'une demie-sphere, sans le faire passer le long d'aucun d'eux , passeroit aussi toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur næud commun..

Les Figures de ces deux derniers Lem. 4. 5. étant faciles à imaginer, on a negligé de les ajoûter ici , & ce dautant qu'il y auroit fallu exprimer des plans à angles differens avec celui de la Planche, plus difficiles à tracer, er à reconnoître sur elle , qu'à se les reprefenter sur le discours que

l'embarras de ces Figures n'auroit fait que rendre plus long & moins clair. ·

A VERTISSEMENT. Jusqu'ici nous n'avons employé de Geometrie que quelque chose des fix premiers Livres , & de l'onziéme des Elemens d’Euclide. Voici presentement quelques Lemmes de pure Geometrie , qui n'en suppose pas davantage: c'est pour rendre plus universelle l'application du précedent principe general aux machines , & pour faire qu'aucun cas n'échappe à la generalité de nos propositions , lesquelles n'exigeant dans le Lecteur que la valeur de ces fept Livres d'Euclide , seront ( ce me semble ) à la portée des commençans attentifs : c'est pour eux que j'ajoûte les Définitions suivantes , qui ne se trouvent point dans Euclide.

DEFINITION IX. Si d'un point quelconque D de la demi-circonference Flei 142 CDF d'un cercle, dont A soit le centre, on laisse tomber une perpendiculaire DE sur le diametre CF en E; cette perpendiculaire DE est également appellée Sinus des angles CAD,DAF, ou des arcs CD, DF, mesures de ces angles. Suivant la même dénomination le rayon BA per

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pendiculaire aussi sur CF, est pareillement appellé Sinus de chacun des angles droits CAB , BAF, ou de chacun des quarts de cercle BC, BF , & comme ce Sinus AB

. est le plus grand de tous, on l'appelle Sinus total , sur lequel le mesurent tous les autres. D'où l'on voit que son égal AD doit aussi être pris pour Sinus total, dont DE soit un des Sinus partiaux. De sorte que,

COROLLA IRE 1. Dans le triangle rectangle AED, en prenant AD pour le Sinus total, ou de l'angle droit E, l'on aura DE pour le Sinus de l'angle DAC ou DAF; & par la même raifon l'on aura aussi AE pour le Sinus de l'angle ADE.

COROLLA IRE I I. On voit aussi que deux angles DAC, DAF, complemens l'un de l'autre a deux droits , c'elt-à-dire , dont la soimme vaut deux droits, ont chacun le même:Sinus DE, en prenant toûjours AD pour le Sinus total.

D E F INITION X.
Si à l'extrêmité C du rayon AC, on mene une per-
pendiculaire, ou tangente CM, laquelle soit rencontrée
en G par l'autre côté AD prolongé de l'angle CAD ; la
partie CG de cette perpendiculaire, est appellée Tangente
de cet angle CAD, ou de l'arc CD. De même si a l'ex-
trêmité F du rayon AF, on mene une perpendiculaire
FN, laquelle soit rencontrée en H par l'autre côté DA
prolongé de l'angle FAD complement du premier CAD
a à deux droits ; la partie FH de cette seconde perpendi-
culaire sera aussi appellée Tangente de ce complement
FAD ou de l'arc FD.

COROLLAIRE.
Les lignes CG, FH, étant égales entr'elles , de même
que le sont les autres côtez AČ, AF, des triangles ACG,
AFH( constr.) semblables on voit que les tangentes des

deux

ز

deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits , sont toujours égales entr'elles , de même

que

leurs sinus le sont toujours ( Déf. 9. Corol. 2.) entr'eux ; c'est-àdire, que deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits, ont toujours la même tangente & le même sinus.

Il en est de même de AG,A# , qu'on appelle leurs Secantes.

DEFINITION XI. Lorsqu'un angle à force de devenir aigu, s'évanouit en parallelisme de ses côtez entr'eux, soit qu'ils soient ou non confondus en un , on l'appelle infiniment aigui & lorsqu'à force de devenir obtus, ses deux côtez deviennent (comme bour à bour ) en ligne droite, on l'appelle infiniment obtus.

COROLL AIRE. On voit de-là qu'un angle infiniment aigu en a tolljours un infiniment obtus pour complement à deux droits; & reciproquement.

LEM ME I V. A l'instant qu’un angle rectiligne s'évanouit à force de diminuer, ses cótez deviennent paralleles entr'eux.

DEMONSTRATION. Car le parallelisme de ces deux lignes entr'elles (dont la réduction de ces mêmes lignes en une, eit une espece ) naissant de l'évanouissement du dernier, c'est-à-dire, du plus petit des angles qu'elles puissent faire entreelles, la fin de ce dernier angle doit être le commencement de ce parallelisme , & comme le terme où ils se touchent , pour ainsi dire ; par consequent à l'instant de cet évanouissement il doit y avoir tout à la fois entre ces deux lignes & angle finiffant , & parallelisıne naisfant. Donc à l'instant que leur angle s'évanouit à force de diminuer , elles deviennent paralleles entr’elles. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLA IR E I. Cet angle finissant ainsi ( Définit. 11.) par l'infiniment aigu , il s'enfuit que deux lignes droites arrivées à ce terme, le sont aussi à leur parallelisme , & consequemment que lorsqu'elles ne font plus entr'elles qu'un angle infiniment aigu , elles peuvent à la rigueur passer pour paralleles , & reciproquement puisqu'elles n'ont plus de chemin à faire pour passer de cet angle au parallelisme.

COROLLAIRE II.

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Si de deux points fixes partent deux lignes droites mobiles chacune autour du sien, lesquelles fassent entr'elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par l'éloignement continuel de son sommet ; ces deux lignes feront (Corol. 1.) paralleles entr'elles lorsque ce sommet se trouvera infiniment éloigné de leurs points fixes , l'angle qu'elles feront entr'elles se trouvant alors infiniment aigu.

COROLLAIRE. II I..
Si an contraire d'un même point fixe partent

deux lignes droites dont l'angle compris entr'elles, devienne enfin infiniment aigu ; alors ces deux lignes devenuës (Corol. 1. ) paralleles entr'elles, passant (Hyp.) par un même point, le confondront en une seule & même ligne droite , & la base de l'angle fini qu'elles faisoient auparavant entr'elles, se trouvera alors anéantie ou réduite en un point , si ces deux lignes étoient égales, ou égale à leur difference pareillement confondue avec elles, fi elles étoient inégales ; reciproquement ces deux lignes feront égales ou inégales entr'elles, selon que leur angle infiniment aigu rendra cette bale nulle ou non.

COROLLAIRE I V. Deux lignes droites qui font entr'elles un angle infiniment aigu d'un côté, en faisant toujours un(Corol. Déf. 1 I)

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