infiniment obtus de l'autre; il suit que puisqu'elles se difposent parallelement ( Corol. 2.) ou se confondent en une (Corol. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu, elles doivent se difpofer en sens directement contraires parallelement, ou en ligne droite bout à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME VII.

De quelque maniere que la ligne droite AD divise l'angle F1-0. 15: rectiligne BAC, le sinus de cet angle total BAC se trouvera égal a la somme des finus des angles partiaux BAD, BAC, Lorsque ce même angle totål fera infiniment aigu.

DEMONSTRATION.

Du centre A, & d'un rayon quelconque AE, soit l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F,O; des points E, F, foient EH, FK, perpendiculaires en H, K, fur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire aussi en G fur AD. Cela fait, si l'on prend AE, onu fon égale AF pour finus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG, pour les finus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorsque l'angle total BAC sera devenu infiniment petit, son sinus EH se trouvera égal à la fomme des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH-EG+FK.

Pour le voir, il n'y a qu'à confiderer que lorsque l'angle total BAC sera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le feront auffi; & confequemment (Corol. 1.du Lem. 6.) que les trois droites BA, DA, CA, feront alors paralleles entr'elles de l'une ou de l'autre des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. du Lem. 6. Donc les angles (Hyp.) droits en H, K, G, rendront alors EH, FK, EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralleles; ce qui confondant EL avec EG, & LH avec FK, donne alors EGFK ELLH=EH. Donc le sinus EH de l'angle total BAC setrouve alors égal à la fomme

des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC. Ge qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc aussi pour lors le sinus de celui qu'on voudra de ces deux angles partiaux BAD, DAC, sera égal à la difference dont le sinus de l'autre sera surpassé par le finus EH de l'angle total BAC ; c'est-à-dire, qu'alors EG-EH-FK., & FK=EH-EG.

COROLLAIRE II.

Or en prolongeant DA, CA, vers M, N, l'on aura auffi (Déf. 9. Corol. 2.) EG, EM, FN, pour les finus des angles BAM, BAN, MAN; & lorsque l'angle BAC fera infiniment aigu, son complement (à deux droits) BAM fera infiniment obtus, & MAN infiniment aigu. Donc lorsqu'un angle BAM infiniment obtus sera divifé en deux, dont un MAN soit infiniment aigu, le sinus de l'angle total BAM fera toûjours égal à la difference dont le finus du plus grand BAN des partiaux furpaffera le finus du plus petit MAN; puisqu'alors (Corol. 1.) l'on aura toûjours EG=EH-FK.

Quoique dans le Corol. 2. les angles BAM, BAN, infiniment obtus, foient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu MAN, l'étant aussi par rapport à leurs complemens infiniment aigus BAD, BAC, qui ont (Déf. 9. Curol. 2.) les mémes sinus qu'eux; leurs sinus EG, EH, feront infiniment petits, & dcmême genre que celui EK de l'angle MAN & confequemment EG=EH-FK fera ici d'une valeur réelle, quoiqu'infiniment petite. C'est pour rendre de La plus grande univerfalité poffible les propositions & les Corollaires des fections suivantes, que nous en venons ici jufqu'aux infiniment petits, dont l'idée seule suffira sans en sçavoir le calcul : idée à la portée de tout le monde, avec un peu d'attention. Par infiniment petit, on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque assignable que ce soit, laquelle, au langage des Anciens, s'appelleroit quantitas minor quavis

SCHOLIE.

Les angles en H, K, G, étant (Hyp.) droits, & le Corol. 1. du Lem. 6. faisant voir que lorsque l'angle BAC ett infiniment aigu, & confequemment auffi les angles BAD, DAC; les trois lignes BA, DA, CA, font parakleles entr'elles de quelqu'une des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. de ce Lem. 6. On vient de conclure, suivant la doctrine d'Euclide, que chacune des lignes EH, FK, EG, est perpendiculaire à chacune de ces trois paralleles; & confequemment qu'alors LH eft égale à FK, auffi-bien que EG à EL, qui pour lors fe confond avec elle comme LH avec FK. Pour voir tout cela, il faut confiderer que lorsque les droites BA, CA, deviennent paralleles entr'elles, tout ce qu'on en peut imaginer d'autres par A dans l'angle BAC, le deviennent auffi entr'elles (Lem. 6. Corol. 1.) & à ces deux-là; & confequemment que l'arc EFO perpendiculaire à tourtes, dégenere pour lors en une ligne droite, qui leur eft auffi perpendiculaire, & qui paffant par E, F, de même que EH, EG, FK, perpendiculaire aussi pour lors à ces paralleles AC, AD, AB, doit fe confondre avec celleslà, desquelles EG se trouve pour lors au bout de FK en ligne droite, avec laquelle EH se confond alors fur cet arc EFO redressé en une ligne EHEG+FK, confor mément au present Lem. 7.

LEMME-VII.

De quelque point E de la diagonale AD d'un parallelo-F16.1 gramme quelconque ABDC, qu'on mene deux perpendicu- 17. laires EF, EG, fur ses cótez AB, AC, prolongez aver cette diagonale où besoin sera ; ces perpendiculaires feront tow jours entr'elles en raison reciproque de ces cótez, c'est-à-dire EF. EG:: AC.AB.

DEMONSTRATION.

Du point D foient DH, DK, perpendiculaires aussi fur les côtez AB, AC, du même parallelogramme ABDC. Le parallelisme de ses deux autres côtez DC, DB, avec ces deux-là, rendra les angles HBD=HAK=KCD, outre les angles EAF=DAH, & EAG DAK. Donc les angles en H, K, F, G, étant (Hyp.) droits, les triangles DBH, DCK, feront semblables entr'eux, de même que les triangles EFA, DHA, & que les triangles EGA, DKA. Par consequent DH. DK:: DB. DC:: AC. AB. Et EF. DH:: EA. DA:: EG. DK. Ou (en permutant) EF. EG :: DH. DK. Donc aussi EF. EG:: AC. AB. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Mais si l'on prend AE pour le sinus total, l'on aura (Déf. 9. Corol. 1.) EF, EG, pour les sinus des angles EAF, EAG, ou de leurs égaux ou complemens DAB, DAC. Donc les côtez AC, AB, du parallelogramme ABDC sont entr'eux comme les sinus des angles DAB, DAC, c'est-à-dire en raifon reciproque des sinus des angles que ces deux côtez font avec la diagonale AD: de forte queles angles DAB, ADC, étant égaux entr'eux, de même que les côtez AB, DC, les côtez AC, DC, du triangle ACD, feront toûjours entr'eux comme les sinus des angles ADC, DAC, qui leur font oppofez dans ce triangle.

COROLLAIRE II.

Par la même raison, si l'on acheve le parallelogramme ADCM, dont AC foit la diagonale, l'on aura AM à AD comme le finus de l'angle CAD au sinus de l'angle CAM; c'est-à-dire (à cause de AM DC, & l'angle CAM= ACD) les côtez DC, AD, du triangle ACD, entr'eux comme les sinus des angles CAD, ACD, qui leur font opposez dans ce triangle. Donc ayant déja (Corol...) les côtez AC, AD, de ce même triangle ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC; l'on aura les trois côtez AC, DC, AD, de ce triangle quelconque ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC, DCA, qui leur font opposez; & ainsi de tous les autres triangles rectilignes à l'infini, celui-ci ACD moitié d'un parallelogramme (Hyp.) quelconque ABDC, étant auffi quelconque.

COROLLAIRE III.

:

Mais le parallelogramme ABDC donne DC AB l'angle ADC-DAB, & le finus de l'angle DCA, égal (Def. 9. Corol. 2.) à celui de fon complement BAC à deux droits. Donc (Corol. 2.) AC, AB, AD, font entr'eux comme les finus des angles, DAB, DAС, ВАС.

COROLLAIRE IV..

Or le parallelogramme ABDC rend aussi les angles DAB ADC, DAC=ADB, BAC BDC, & leurs côtez AC=BD, ABCD. Donc (Corol. 3.) l'on aura de même toûjours BD, CD, AD, entr'eux comme le sinus des angles ADC, ADB, BDC.

COROLLAIREV.

Donc les finus des angles ADC, ADB, étant (Déf. 9. Corol. 2.) les mêmes que ceux de leurs complemens CDO, BDO, l'on aura aussi toûjours (Corol. 4.) BD, CD, AD, en raison des sinus des angles CDO, BDO, BDC, au travers desquels ces lignes prolongées passeroient.

COROLLAIRE VI.

Il fuit encore du Corol. 4. qu'un angle rectiligne quelconque BDC étant divisé à volonté par une droite DA plus cet angle total BDC sera petit, plus sera grande la raifon de fon finus à chaque finus des angles partiaux ADB, ADC, & plus au contraire ce même angle total BDC fera grand, plus cette raison sera petite: car fi fur