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infiniment obrus de l'autre ; il luit que puisqu'elles fe dil posent parallelement i Corol. 2.) ou le confondent en

! une ( Corol. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu , elles

3 doivent se disposer en sens directement contraires parallelement, ou en ligne droite bour à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME V I I. De quelque maniere que la ligne droite AD. divise l'angle F1-6. 15 rectiligne BAC, le sinus de cet angle total B AC se trouvera égal à la somme des fonus des angles partiaux BAD, BAC, Lorsque ce même angle totál fera infiniment aigu.

DEMONSTRATION. Du centre A , & d'un rayon quelconque AE , soit l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F, O.; des points E, F, foient EH, FK , perpendiculaires en H, K, sur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire aussi en G sur AD. Cela fait , si l'on prend AE,ou son égale AF pour Sinus total., l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG,

: pour les sinus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorsque l'angle total BAC sera devenu infiniment petit, fon sinus EH se trouvera égal à la comme des linus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH=EG-+FK.

Pour le voir , il n'y a qu'à considerer que lorsque l'angle total BAC fera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le seront aussi ; & consequemment ( Corol. 4.du Lem. 6.) que les trois droites BA,DA , CA, seront alors paralleles entr'elles de l'une ou de l'autre des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. du Lem. 6. Donc les angles ( Hyp.) droits en H, K, G, rendront alors EH, FK,EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralledes ; ce qui confondant EL avec EG , & LH avec FK, donne alors EG-TFK=EL-LH=EH. Donc le finus EH de l'angle total BAC se trouve alors égal à la somme

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des sinus EG, FK , des angles partiaux BAD, DAC. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLA I R E I. Donc aussi pour lors le sinus de celui-qự'on voudra de ces deux angles partiaux BAD, DAC, sera égal à la difference dont le finus de l'autre sera surpassé par le finus EH de l'angle total BAC ; c'est-à-dire , qu'alors EG=EH-FK., & FK=EH-EG.

COROLLA IRE HI. Or en prolongeant DA, CA , vers M, N, l'on aura ault (Déf. 9. Corol. 2.) EG, EM, FN, pour les sinus des angles BAM, BAN, MAN; & lorsque l'angle BAC sera infiniment aigu, son complement ( à deux droits ) BAM fera infiniment obtus, & MAN infiniment aigu. Donc lorsqu'un angle BAM infiniment obtus sera divisé en deux , dont un MAN. loit infiniment aigu., le sinus de l'angle total BAM sera toûjours égal à la difference dont le sinus du plus grand BÁN des partiaux surpassera le sinus du plus petit MAN ; puisqu'alors ( Corol. 1. ). l'on aura toûjours EG=EH-FK.

Quoique dans le Corol. 2, les angles BAM , BAN, infiniment obtus , foient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu. MAN, Pétant aussi par rapport à leurs complemens infiniment aigus BAD, BAC, qui ont ( Déf. 9. Curol. 2. ) les mémes sinus qu'eux ; leurs fimus. EG, EH, seront infiniment petits, eo dc.même genre que celui E K de l'angle MAN: & confequemment EG=EHFK sera ici d'une valeur réelle., quoiqu'infiniment petite. C'est pour rendre de hz plus grande universalité poffible les propositions et les corollaires des sections suivantes , que nous en venons ici jufqu'aux infiniment petits, dont l'idée seule suffira sans en sçavoir le calcul : idée à la portée de tout le monde , avec un pen d'attention. Par infiniment perit, on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque asign.ble que ce soit , laquelle, au langage des Anciens , s'appelleroit quantitas minor quavis

SCHOLIE.

Les angles en H, K,G, étant ( Hyp. ) droits, & le Cox rol. 1. du Lem. 6. faisant voir que lorsque l'angle BAC ett infiniment aigu , & consequemment aussi les angles BAD, DAC; les trois lignes BA,DA,CA , sont parakleles entr'elles de quelqu'une des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. de ce Lem. 6. On vient de conclure , fuivant la doctrine d'Euclide, que chacune des lignes EH, FK ,EG , eft perpendiculaire à chacune de ces trois paralleles ; & consequemmene qu'alors LH est égale à FK , aussi bien que EG à EL , qui pour

lors se confond avec elle comme LH avec FK. Pour voir tout cela , il faut considerer que lorsque les droites BA, CA, deviennent paralleles entr'elles , tout ce qu'on en peutimaginer d'autres par ATM dans l'angle BAC, le deviennent aussi entr'elles ( Lem. 6. Corol. 1.) & à ces deux-là ; & confequemment que l'arc EFO perpendicalaire à toutes , dégenere pour lors en une ligne droite , qui leur eft aussi perpendiculaire, & qui passant par E, F, de même que EH, EG, FK, perpendiculaire aussi pour lors à ces puralleles AC, AD, AB , doit se confondre avec celleslà ,-desquelles EG se trouve pour lors au bout de FK en ligne droite, avec laquelle EH se confond alors sur cet arc EFO redressé en une ligne EH=EG-+FK , conform mément au present Lem. 7.

LE M-ME- VIIT.

De quelque point E de la diagonalê AD d'un parallelo- F 18:16 gramme quelconque ABDC , qu'on mene deux perpendicu- 17. laires EF, EG , sur ses côteż. AB , AC, prolongez avec cette diagonale besoin sera i ces perpendiculaires seront toñojours entr'elles en raison reciproque de ces cótez y c'est-à-direa EF. EG:: AC. AB.

DEMONSTRATION. Du point D soient DH , DK , perpendiculaires aussi sur les côtez AB, AC, du même parallelogramme ABDC. Le parallelisme de ses deux autres côtez DC, DB, avec ces deux-là, rendra les angles HBD=HAK=KCD, oufre les angles EAF=DAH , & EAG=DAK. Donc les angles en H, K, F, G, étant (Hyp.) droits , les triangles DEH, DCK, seront semblables entr'eux, de même que les triangles EFA, DHA , & que les triangles EGA, DKA. Par consequent DH. DK :: DB. DC:: AC. AB. Et EF. DH::EĄDA::EG. DK. Ou (en permutant) EF. EĢ:: DH. DK. Donc aussi EF. EG:: AC. AB. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I. Mais fi l'on prend AE pour le sinus toral , l'on aura (Déf.9. Corol. 1.) EF, ÉG, pour les sinus des angles EAF, EAG , ou de leurs égaux ou complemens DĂB, DAC. Donc les côtez ĄC, AB, du parallelogramme ABDC sont entr'eux comme les sinus des angles DAB, DAC, c'est-à-dire , en raison reciproque des finus des angles que ces deux côteż font avec la diagonale AD: de sorte queles angles DAB, ADC, étant égaux entr'eux, de même que les côtez AB, DC, les côtez AC, DC, du triangle ACD, seront toûjours entr'eux comme les sinus des angles ADC, DAC, qui leur sont opposez dans ce triangle.

COROLLAIRE I I.

Par la même raison, si l'on acheve le parallelogramme ADCM, dont AC soit la diagonale, l'on aura AM à AD comme le sinus de l'angle CAD au sinus de l'angle CAM; c'est-à-dire ( à cause de AM=DC, & l'angle CAM= ACD ) les côtez DC, AD, du triangle ACĎ, entr'eux comme les sinus des angles CAD, ACD, qui leur sont opposez dans ce triangle. Donc ayant déja (Corol. I.) les côrez AC, AD, de ce même triangle ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC; l'on aura les trois côtez AC , DC, AD, de ce triangle quelconque ACD entr'eux comme les sinus des angles ADC, DAC, DCA, qui leur sont opposez ; & ainsi de tous les autres triangles rectilignes à l'infini, celui-ci ACD moitié d'un parallelogramme ( Hyp.) quelconque ABDC, étant aussi quelconque.

COROLLAIRE III.

Mais le parallelogramme ABDC donne DC=AB l'angle ADC=DAB, & le sinus de l'angle DCA , égal (Def

. 9. Corol. 2. ) à celui de son complement BAC à deux droits. Donc ( Corol. z.) AC,AB, AD, sont entr'eux comme les finus des angles, DAB, DAC, BAC.

COROLLA'I RE I V.Or le parallelogramme ABDC rend aussi les angles DAB=ADC, DACADB, BACSBDC, & leurs cotez AC=BD, ABCD. Donc ( Corol. 3: ) l'on aura de ineme toûjours BD, CD, AD, entr'eux comme le sinus des angles ADC,ADB, BDC.

COROLLA IR E V. Donc les finus des angles ADC, ADB , étant ( Déf. 9. Corol. 2.) les mêmes que ceux de leurs complemens CDO, BDO, l'on aura aussi toûjours ( Corol. 4:) BD, CD, AD, en raison des finus des angles CDO, BDO, BDC, au travers desquels ces lignes prolongées passeroient.

COROLLAIRE V I. Il suit encore du Corol.4:qu’un angle rectiligne quelconque BDC étant divisé à volonté par une droite DA, plus cet angle total BDC sera petit, plus sera grande la raison de son sinus à chaque sinus des angles partiaux ADB, ADC, & plus au contraire ce même angle total BDC fera grand, plus cette raison sera petite: car fi fur

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