DEMONSTRATION. Du point D foient DH, DK, perpendiculaires auffi fur les côtez AB, AC, du même parallelogramme ABDC. Le parallelifme de fes deux autres côtez DC, DB, avec ces deux-là, rendra les angles HBD=HAK KCD, outre les angles EAF DAH, & EAG DAK. Donc les angles en H,K,F, G, étant (Hyp.) droits, les triangles DEH, DCK, feront femblables entr'eux, de même que les triangles EFA, DHA, & que les triangles EGA, DKA. Par confequent DH. DK :: DB. DC:: AC. AB. Et EF. DH::EA.DA:: EG.DK. Ou (en permutant) EF. EG:: DH. DK. Donc auffi EF. EG:: AC. AB. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE I. Mais fi l'on prend AE pour le finus total, l'on aura (Déf. 9. Corol. 1.) EF, EG, pour les finus des angles EAF, ÉAG, ou de leurs égaux ou complemens DAB, DAC. Donc les côtez AC, AB, du parallelogramme ABDC font entr'eux comme les finus des angles DAB, DAC, c'est-à-dire, en raifon reciproque des finus des angles que ces deux côtez font avec la diagonale AD: de forte que les angles DAB, ADC, étant égaux entr'eux, de même que les côtez AB, DC, les côtez AC, DC, du triangle ACD, feront toûjours entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC, qui leur font oppofez dans ce triangle. COROLLAIRE II. Par la même raison, fi l'on acheve le parallelogramme ADCM, dont AC foit la diagonale, l'on aura AM à AÐ comme le finus de l'angle CAD au finus de l'angle CAM, c'est-à-dire (à caufe de AM DC, & l'angle CAM= ACD) les côtez DC, AD, du triangle ACD, entr'eux comme les finus des angles CAD, ACD, qui leur font oppofez dans ce triangle. Donc ayant déjà ( Corol. 1.) les côtez AC, AD, de ce même triangle ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC; l'on aura les trois côtez AC, DC, AD, de ce triangle quelconque ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC, DCA, qui leur font oppofez ; & ainfi de tous les autres triangles rectilignes à l'infini, celui-ci ACD moitié d'un parallelogramme (Hyp.) quelconque ABDC, étant auffi quelconque. COROLLAIRE III. Mais le parallelogramme ABDC donne DC AB, l'angle ADC DAB, & le finus de l'angle DCA, égal (Def. 9. Corol. z.) à celui de fon complement BAC à deux droits. Donc (Corol. z.) AC, AB, AD, sont entr'eux comme les finus des angles, DAB, DAC, BAC. COROLLAIRE IV. Or le parallelogramme ABDC rend auffi les angles DAB ADC, DAC ADB, BAC BDC, & leurs côtez AC BD, ABCD. Donc (Corol. 3.) l'on aura de mê me toûjours BD, CD, AD, entr'eux comme le finus des angles ADC,ADB, BDC. COROLLAIRE V. Donc les finus des angles ADC, ADB, étant ( Déf. 9. Corol. 2.) les mêmes que ceux de leurs complemens CDO, BDO, l'on aura auffi toûjours ( Corol. 4.) BD, CD, AD, en raison des finus des angles CDO, BDO, BDC, au travers defquels ces lignes prolongées pafferoient. COROLLAIRE V I. Il fuit encore duCorol. 4. qu'un angle rectiligne quelconque BDC étant divifé à volonté par une droite DA, plus cet angle total BDC fera petit, plus fera grande la raifon de fon finus à chaque finus des angles partiaux ADB, ADC, & plus au contraire ce même angle total BDC fera grand, plus cette raifon fera petite: car fi fur la diagonale AD prife de grandeur arbitraire, l'on imagine un parallelogramme ABDC, dont les côtez DB, DC, foient fur ceux de l'angle fuppofé BDC; on verra que plus cet angle diminuera, plus certe diagonale AD augmentera, les côtez DB, DC, du parallelogramme ABDC demeurant toûjours les mêmes, & plus au contraire cet angle BDC augmentera, plus cette diagonale AD diminuera. Donc dans tous ces changemens du parallelogramme ABDC, cette diagonale AD se trouvant toujours (Corol. 4.) à fes côtez BD, DC, comme le finus de l'angle total BDC fera aux finus des angles partiaux ADC, ADB. 1°. Plus cet angle total BDC diminuera, plus au contraire le rapport de fon finus à chacun des finus de deux angles partiaux ADC, ADB, augmentera jufqu'à fe trouver le plus grand qu'il puiffe être, lorfque cet angle BDC fera infiniment aigu. 2o. Reciproquement plus ce même angle total BDC augmentera, plus au contraire le rapport de fon finus à chacun des finus des deux angles partiaux ADC,ADB, diminuera, jufqu'à fe trouver le plus petit qu'il puiffe être lorfque cet angle BDC fera infiniment obtus. COROLLAIR E. VII. fini H fuit de plus du Corol. 4. qu'en quelque rapport qu'un angle rectiligne fini quelconque BDC, foit divifé par la droite AD, chacun des finus de cet angle total,& des deux partiaux ADC, ADB, fera toûjours moindre que la fomme des deux autres finus. Car fi fur AD de longueur prife à volonté, & de côtez pris fur DC, DB, on fait (comme dans le précedent Corol. 6.) le parallelogramme ABDC; le Corol. 4. fait voir que les finus de ces trois angles BDC, ADC, ADB, font entr'eux comme AD, BD, CD, ou (à caufe de AC-BD) comme les trois côtez AD, AC, CD, du triangle ACD. Or on fçait que chacun de ces trois côtez eft moindre que la fomme des deux autres. Donc auffi chacun des finus des trois trois angles finis BDC, ADC, ADB,eft moindre que la fomme des deux autres finus. COROLLAIRE VIII. Trois lignes droites DE, DC, DA, étant menées d'un FIG. 15 même point D fur un même plan, faifant entr'elles des 19.20. angles quelconques, fi par tels points H, L, K, qu'on voudra de ces trois lignes prolongées, ou non, on leur fait autant de perpendiculaires EF, FG, EG; il fuit encore du Corol. 2. que ces côtez EF, FG, EG, du triangle EFG, qui en résultera, feront toûjours entr'eux comme les finus des angles ADC, ADB, BDC, à travers defquels, ou des complemens defquels, leurs perpendiculaires DB, DC, DA, prolongées pafferoient. Car fi l'on imagine PQ parallele à BD, avec laquelle, & avec AD prolongée (s'il eft neceffaire) elle faffe le triangle PQD, & que l'on prolonge BD, CD, jufqu'à la rencontre de EG (prolongée ) en MN: les triangles EHM, DKM, rectangles (Hyp.) en H, K, ayant de plus les angles EMH DMK, ont auffi leurs troifiémes angles MEH MDK : de même les triangles GLN, DKN, rectangles (Hyp.) en L, K, ayant auffi de plus les angles GNL DNK, ont pareillement leurs troifiémes angles NGL=NDK. Mais les angles MEH=GEF, MDK= BDP DPQ, à caufe de PQ supposée parallele à BD; & les angles NGL EGF, NDK PDQ. Donc les angles GEF DPQ, EGF=PDQ, dans les triangles EFG, POD, lefquels en confequence ont leurs troifiémes angles en F, Q, pareillement égaux entr'eux : ce qui rend ces deux triangles femblables entr'eux; & par confequent les trois côtez EF, FG, EG, du premier EFG, proportionnels aux trois côtez P, QD, PD, du fecond PQD de ces deux triangles; c'est-à-dire, EF. FG. EG :: PQ. QD. PD. Or ces trois derniers côtez PQ, QD, PD, du triangle PQD, font entr'eux (Corol.) comme les finus des angles PDQ, DPQ, DQP, ou (Déf. 9. Corol 2.) ou de leurs H complemens ADC, ADB, BDC. Donc auffi les côtez EF, FG, EG, du triangle EFG, font entr'eux comme les finus des angles ADC, ADB, BDC, à travers defquels, ou des complemens defquels leurs perpendiculaires (Hyp.) DB, DC, DA, prolongées pafferoient, ainfi qu'on le voit avancé au commencement de ce Corollaire-ci. COROLLAIRE IX.. Il fuit auffi du prefent Lem. 8. que de quelque point feul COROLLAIRE X. S. Il fuit enfin de ce dernier Corol. 9. & du prefent Lem. que de quelque point, foit de la diagonale, ou d'un des côtez d'un parallelogramine quelconque, qu'on mene des perpendiculaires fur les deux autres de ces trois lignes prolongées, ou non ces deux perpendiculaires feront toûjours entr'elles en raifon reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme propofé quelconque, fur lefquelles elles font à angles droits. LEMME IX. I. Lorfqu'un angle d'un parallelogramme quelconque devient infiniment aigu, la diagonale qui paffe par cet angle, devient égale à la fomme de fes côtez. |