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la diagonale AD prise de grandeur arbitraire , l'on-imagine un parallelogramme ABDC , dont les côtez DB, ic, soient sur ceux de l'angle fuppofé BDC ; on verra que plus cet angle diminuera,

plus cette diagonale AD augmentera , les côtez DB, DC, du parallelogramme ABDC demeurant toûjours les mêmes, & plus au contraire cet angle BDC auginentera , plus cette diagonale AD diminuera. Donc dans tous ces changemens du parallelogramme ABDC, cette diagonale AD se trouvant toujours (Corol. 4.) à ses côtez BD, DC, comme le sinus de l'angle total BDC lera aux sinus des angles partiąux ADC, ADB.

1°. Plus cet angle total BDC diminuera , plus au contraire le rapport

de son sinus à chacun des linus de deux angles partiaux ADC, ADB , auginentera jusqu'à se trouver le plus grand qu'il puisse être, lorsque cet angle BDC sera infiniment aigu.

2°. Reciproquement plus ce même angle total.BDC augmentera, plus au contraire le rapport de son sinus à chacun des sinus des deux angles partiaux ADC,ADB, diminuera , jusqu'à se trouver le plus petit qu'il puisse être lorsque cet angle BDC sera infiniment obtus.

COR O L L A I,R E. VII. H suit de plus du Corol. 4. qu'en quelque rapport fini qu'un angle rectiligne fini quelconque BÔC, soit divisé par

la droite AD, chacun des sinus de cet angle total , & des deux partiaux ADC, APB, sera toûjours moindre que

la somme des deux autres sinus. Car si sur AD de longueur prise à volonté, & de côtez pris sur DC, DB, on fait ( comme dans le précedent Corol. 6.) le parallelogramine ABDC; le Corol. 4. fait voir que les finus de ces trois angles BDC, ADC, ADB, sont entr'eux comme ĄD, BD, CD, ou (à cause de AC=BD ) comme les frois côtez AD, AC, CD, du triangle ACD. Or on sçait que chacun de ces trois côtez elt inoindre

que

la fomme des deux autres. Donc aussi chacun des sinus des

trois

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on leur

trois angles finis BDC, ADC, ADB ,est muindre que la somme des deux autres sinus.

COROLLAIRE VIII. Trois lignes droites DE, DC,DA , étant menées d'un F16.18 même point D sur un même plan , faisant entr'elles des 19.20. angles quelconques, si par tels points H, L, K, qu'on voudra de ces trois lignes prolongées, ou non fait aucant de perpendiculaires EF, FG, EG; il suit encore du Corol. 2. que ces côtez EF, FG,EG, du triangle EFG, qui en résultera., seront toujours entr'eux comme les sinus des angles ADC, ADB, BDC, à travers defquels, ou des complemens desquels , leurs perpendiculaires DB, DC, DA , prolongées passeroient.

Car si l'on imagine PQ_parallele à BD, avec laquelle, & avec AD prolongée (s'il est necessaire ) elle fasse le triangle PQD, & que l'on prolonge BD, CD, jusqu'à la rencontre de EG (prolongée ) en MN: les triangles EHM, DKM , rectangles ( Hyp. ) en H, K, ayant de plus les angles EMH=DMK , ont aussi leurs troisiémes angles MEH=MDK : de même les triangles GLN, DKN, re

&angles ( Hyp. ) en L, K, ayant aulli de plus les angles GNL=DNK, ont pareillement leurs troisiémes angles NGLENDK. Mais les angles MEH=GEF, MDK= BDP-DPQ, à cause de på supposée parallele à BD.; & les angles NGL=EGF, NDK=PDQ. Donc les angles GEF=DPQ, EGF=PDQ, dans les triangles EFG, POD, lesquels en consequence ont leurs troisiémes angles en F, Q , pareillement égaux entr'eux: ce qui rend ces deux triangles semblables entr'eux ; & par consequent les trois côtez EF, FG, EG , du premier EFG, proportionnels aux trois côtez P2, QD ,PD., du fecond PQD de ces deux triangles ; c'est-à-dire, EF. FG. EG :: PO. QD. PD.

Or ces trois derniers côtez PQ, QD, PD, du triangle POD, font entr'eux (Corol. ) comme les sinus des angles PDQ, DPQ, DOP, ou (Déf. 9. Corol, 2. ) ou de leurs

H

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NOUVELLE
complemens ADC, ADB , BDC. Donc aussi les côtez
EF, FG, EG , du triangle EFG, sont entr'eux comme les
finus des angles ADC, ADB, BDC, à travers desquels ,
ou des complemens desquels leurs perpendiculaires
( Hyp. )DB, DC,DA, prolongées passeroient, ainsi qu'on
le voit avancé au commencement de ce Corollaire-ci.

COROLLAIR E IX..
Il fuit aussi du present Lem. 8. que de quelque pointe.
E d'un des côtez AD d'un parallelogramme

quelconque ADCM , qu'on mene des perpendiculaires

. EG, EF , Iur la diagonale AC, & sur son autre côré AM; cet autre côté AM,& cette diagonale AC feront toujours entreeux en raison reciproque de ces deux perpendiculaires. EG, EF, fçavoir , EF. EG :: AC. AM. Puisque ce Lemn. 8. donne toûjours EF.EG :: DH.DK :: DB. DC:: AC. AM.

Cela peut aussi se démontrer mmediatement de cela feul que

EF. EG:: DH.DK:: DB. DC:: AC. AM. On pourra tirer de ceci des consequences semblables à celles qu'on vient de tirer du present Lem. 8. cela est presentement trop facile pour s'y. arrêter.

COROLLA IR E X. Il fuit enfin de ce dernier Corol. 9. & du present Lem. 8.

que de quelque point , soit de la diagonale, ou d'un des côtez d'un parallelogramıne quelconque , qu'on mene des perpendiculaires sur les deux autres de ces trois lignes prolongées, ou non ces deux perpendiculaires seront toûjours entr'elles en raison reciproque des deux côcez , ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme proposé quelconque, sur lesquelles elles sont à angles droits..

LEM ME IX.

I. Lorsqu’un angle d'un parallelogramme quelconque devient infiniment aigu, la diagonale qui passe par cet angle, devient égale à la somme de ses côtez..

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11. Au contraire lorsque cet angle devient infiniment obtus , cette diagonale ne se trouve plus égale qu'à la differem ce de ses mêmes côtez.

DEMONSTRATI O'N.

PART. I. Suivant le Corol. 3.. du Lem. 8. la diagona- lidi ziz le AD d'un parallelogramme quelconque ABDC eft coûjours aux côtez AB, AC, de ce parallelogramme comme le sinus de l'angle total BAC elt aux linus des angles partiaux DAC, DAB. Mais lorsque cet angle total BAC devient infiniment aigu, son sinus ( Lem.7.) devient égal à la fomme des finus des angles partiaux DAC, DAB. Donc aussi pour lors la diagonale AD devient égale à la somme des côtez AB, AC. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. Imaginons le parallelogramme ABDC fait de quatre régles AB, BD, AC, CD, mobiles autour de quatre clous qui les retiennent ensemble en A,B, D, C, & qu'on l’écrase en pressant les deux points ou clous B, C, Pun vers l'autre jusqu'à la diagonale AD, qui s’alongera ainsi à mesure que l'autre BC s'acourcira, les côtez du parallelogramme ainsi yarié demeurant toûjours les mêmes. On verra qu'à mesure que

ses angles ABD, ACD, deviendront ainsi plus obtus, les côtez ĎB, DC, avanceront vers AD.en décrivant du centre D les arcs circulaires BQ, CP, jusqu'à ce que les soinmets B, C, de ces deux angles soient arrivez en Q, P, & ces côtez DB , DC, en DQ, DP, sur cette diagonale AD, dont l'allongement joint au racourcissement de l'autre BC, permettra aussi aux deux autres côtez AD, AC, d'arriver pour lors sur elle en AQ, AP; auquel instant des angles ABD, ACD, ainsi devemus infiniment obtus, la diagonale BC sera en PQ. Donc alors BC=PQ=DP -DQ=DC-DB=AB-AC. Ce qu'il falloit 2°. démon

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COROLLA I R E I.

REI Si l'on suppose presentement qu'un corps ou point A soit poussé ou tiré par deux puissances à la fois, dirigées fuivant les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, lesquels leur soient proportionnels ; les art. 1. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. faisant voir que ce corps ou point A deyroit alors tendre de A vers D suivant la diagonale AD. de ce parallelogramme,& d'une force qui seroit à chacune de ces puissances comme cette diagonale à chacun des côtez AB, AC, qui leur sont (Hyp.) proportionnels

. La démonstra

. tion de la Part.. I. de ce Lemme-ci fait consequemment voir que si l'angle BAC étoit infiniment aigu, la force du corps ou point A suivant AD, résultante du concours des puissances dirigées suivant AB, AC, seroit alors égale à la somme de ces deux puissances , & dirigée (Lem. 6. Coral. 1.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles , & en même sens que ces puissances qui tendroient alors toutes deux de A vers D, & conspireroient ainsi toutes entieres à mouvoir en ce sens ce corps ou point A de la somme entiere de leurs forces.

COR:OĽ E AIRE II Si B étoit le point ou le corps poussé ou tiré à la fois par les deux puissances précedentes dirigées presentement luivant les côtez BA, BD, du parallelogramme ABDC, qui leur sont ( Hyp.-) proportionnels ; les art. 1. 2- du Corol. r. du Lem. 3. faisant encore voir que ce corps ou

. point B tendroit alors de B vers C , suivant l'autre diagonale BC de ce parallelogramme ,.& d'une force qui fervit à chacune de ces puissances comme cette diagą. nale BC à chacun des côtez BA,BD, de ce inême parallelogramme ABDC ; la démonstration de la Part. 2. de ce Lemme-ci fait consequemment voir aussi ( au contraire de la démonstration, de la Part. 1.) que si l'angle ABD étoit infiniment obtus, la force du corps ou point B. lui. want BC résultante du concours de ces deux puissances,

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