II. Au contraire lorfque cet angle devient infiniment obtus, cette diagonale ne fe trouve plus égale qu'à la differen ce de ces mêmes côtez.

DEMONSTRATION.

PART. I. Suivant le Corol. 3. du Lem. 8. la diagona- F16 2 le AD d'un parallelogramme quelconque ABD eft toûjours aux côtez AB, AC, de ce parallelogramme comme le finus de l'angle total BAC eft aux finus des angles partiaux DAC, DAB. Mais lorsque cet angle tal BAC devient infiniment aigu, fon finus ( Lem.7.) devient égal à la fomme des finus des angles partiaux DAC, DAB. Donc auffi pour lors la diagonale AD devient égale à la fomme des côtez AB, AČ. Ce qu'il falloit 1o. démontrer.

PART. II. Imaginons le parallelogramme ABDC fait de quatre régles AB, BD, AC, CD, mobiles autour de quatre clous qui les retiennent ensemble en A, B, D, C, & qu'on l'écrafe en preffant les deux points ou clous B, C, l'un vers l'autre jufqu'à fa diagonale AD, qui s'alongera ainfi à mefure que l'autre BC s'acourcira, les côtez du parallelogramme ainfi varié demeurant toûjours les mêmes. On verra qu'à mefure que fes angles ABD, ACD, deviendront ainfi plus obtus, les côtez DB, DC, avanceront vers AD en décrivant du centre D les arcs circulaires BQ, CP, jufqu'à ce que les fommets B, C, de ces deux angles foient arrivez en Q, P, & ces côtez DB, DC, en DQ, DP, fur cette diagonale AD, dont l'allongement joint au racourciffement de l'autre BC, permettra auffi aux deux autres côtez AD, AC, d'arriver pour lors fur elle en AQ, AP; auquel instant des angles ABD, ACD, ainfi devenus infiniment obtus, la diagonale BC fera en PQ. Donc alors BC PQEDP —DQ=DC-DB=AB-AC. Ce qu'il falloit 20. démon

trer.

COROLLA IRE I.

Si l'on fuppofe prefentement qu'un corps ou point A foit pouffé ou tire par deux puiffances à la fois, dirigées fuivant les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, lefquels leur foient proportionnels ; les art. 1. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. faifant voir que ce corps ou point A devroit alors tendre de A vers D fuivant la diagonale AD de ce parallelogramme, & d'une force qui feroit à chacune de ces puiffances comme cette diagonale à chacun des côtez AB, AC, qui leur font (Hyp.) proportionnels. La démonstration de la Part. I. de ce Lemme-ci fait confequemment voir que fi Fangle BAC étoit infiniment aigu, la force du corps ou point A fuivant AD, réfultante du concours des puiffances dirigées fuivant AB, AC, feroit alors égale à la fomme de ces deux puiffances, & dirigée (Lem. 6. Coral. 1.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles, & en même fens que ces puiffances qui tendroient alors toutes deux de A vers D, & confpireroient ainfi toutes entieres à mouvoir en ce fens ce corps ou point A de la fomme entiere de leurs forces..

COROLLAIRE IT

Si B étoit le point ou le corps pouffé ou tiré à la fois par les deux puiffances précedentes dirigées prefentement fuivant les côtez BA, BD, du parallelogramme ABDC, qui leur font (Hyp.) proportionnels ; les art. 1. 2.du Corol. 1. du Lem. 3. faifant encore voir que ce corps ou point B tendroit alors de B vers C, fuivant l'autre diagonale BC de ce parallelogramme, & d'une force qui feroit à chacune de ces puiffances comme cette diago nale BC à chacun des côtez BA, BD, de ce même parallelogramme ABDC; la démonstration de la Part. 2. de ce Lemme-ci fait confequemment voir auffi (au contraire. de la démonstration, de la Part. 1.) que fi l'angle ABD étoit infiniment obtus, la force du corps ou point B fuivant BC,réfultante du concours de ces deux puiffances,

ou plûtôt reftante de la directe contrarieté qui( Lem.6. Corol. 4.) feroit alors entr'elles, ne feroit plus alors qu'égale à la difference de ces deux puiffances, & dirigée . (Lem. 6. Corol. 4.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles ou directement oppofées, & en même fens que la plus forte d'entr'elles, à qui feule leur direde contrarieté ne laifferoit que fon excès fur l'autre pour agir fur ce corps ou point B.

Ces deux Corol. 1. 2. s'accordent parfaitement avec les loix ordinaires du choc des corps, fuivant lefquelles deux donnant à la fois fur un en méme fens, le poufferoient en ce sens de la fomme de toutes les forces qu'ils lui communiqueroient feparément, conformément au Corol. 1. Et deux donnant à la fois fur un en fens directement contraires le poufferoient que de la difference de ces deux forces dans le fens de la plus i grande, conformément au Corol. 2.

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COROLLAIRE III.

voir

Si l'on imagine, comme dans la démonftrat. de la Part. 2. les côtez BA, BD, du triangle ABD, mobiles autour des points fixes A, D, de la bafe AD, laquelle s'allonge à mesure qu'en écrafant ce triangle vers elle, on en approche l'angle B ; cette démonstration de la Part. 2. fait que lorfque ce fommet B fera fur cette base allon gée AD, elle fera égale à la fomme des deux autres côtez BA, BD, de ce triangle ABD, & chacun de ces côtez égal à la difference dont l'autre eft alors furpaffé par cette bafe: & comme (Déf. 1 1.) l'angle ABD du triangle de fe trouve alors infiniment obtus, & chacun des deux autres BAD, BDA, infiniment aigu; il s'enfuit que dans un triangle réduit à un angle infiniment obtus, & à deux infiniment aigus,

ce nomy

1°. Que le côté oppofé à l'angle infiniment obtus, vaut la fomme des deux autres côtez.

2°. Que le côté oppofé à un angle infiniment aigu, vaut la difference des deux autres côtez.

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SCHOLIE.

I. Dans la démonftrat. de la Part. 2. on vient de voir que lorfque deux angles oppofez ABD, ACD, du parallelogramme ABDC deviennent infiniment obtus par l'arrivée de leurs fommets B, C, fur la diagonale AD; cette diagonale AD, fur laquelle les deux côtez AB, BD, fe couchent alors en Q, de même que les deux autres AC, CD, en P, fe trouve alors égale à la fomme de ces côtez pris ainfi deux à deux, c'est-à-dire, qu'alors AD=AB+BDAC+CD. Or lorsque l'angle ABD fe trouve infiniment obtus, fon complement BAC eft (Cor vol. 11.) infiniment aigu. Donc forfqu'un angle BAC d'un parallelogramme quelconque ABDC devient infiniment aigu par l'arrivée de fes côtez AB, AC, fur la diagonale AD, cette diagonale se trouve toûjours alors égale à la fomme de ces deux mêmes côtez. Ce qui est encore une nouvelle preuve très-fenfible de la Part. 1. de ce Lemme-ci, pour le cas où les fommets B, C, des angles ABD, ACD, font mobiles.

II. Pour avoir auffi de cette Part. 1. une démonftration fenfible autant que l'incompréhensibilité de l'infini le peut être, lorfque l'angle BAC devient infiniment aigu, les deux points B, C, demeurant fixes; imaginons le parallelogramme ABDC fait des parties BA, BD, CA, CD, de quatre régles indéfinies BE, BG, CF, CH, mobiles autour de ces points fixes B, C, & qui dans leur mouvement autour de ces deux points, fe coupent toû jours en deux quelconques A, D, de la droite infinie MN, fixe à égales diftances des points auffi fixes B, C. On verra qu'a mefure que ces points de concours A, D, s'éloigneront l'un de l'autre le long de cette droite MN, les angles oppofez BAC, BDC, deviendront aigus de plus en plus, & les oppofez ABD, ACD, obtus de plus en plus; & que lorfque ces deux points de concours A, D, feront infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, les angles BAC, BDC, feront infini

ment aigus, & les deux autres (Corol. de la Déf. 11.) ABD, ADC, infiniment obtus. Or fi du centre D, & des rayons DB, DC, on a conçu deux arcs circulaires BQ, CP, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra qu'à mefure que ce centre D s'éloigne, comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus en plus, jufqu'à devenir lignes droites perpendiculaires à MN, & aux deux régles de chacun des points B,C, bout à bout en lignes droites paralleles à MN, lorfque les points A, D, font infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA, PD, CA, CD, QA,QD,BA, BD, ainfi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM,QN, BE, BG, paralleles entr'elles, feront pour lors PA-PM-CF CA, PD=PN=CHCD, QA-QM BF BA, & QD=QN=BG=BD. Donc alors la diagonale infinie AD ( PA+PD) +CD, & AD (QA➡+QD) =BA-+BD; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui (art. 1.)de ces deux points mobiles, que la diagonale AD d'un parallelogramme quelconque ABDC et toûjours égale à la fomine de fes côtez CA, CD, ou BA, BD, lorsque l'angle BAC, ou BDC en eft aigu.

CA

III. Les angles ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2.-par l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C, on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans eet art. 2. jufqu'à devenir infinis par cet écartement fait jufqu'au parallelisme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infini ment obtus par un tel mouvement de leurs côtez autour de leurs fommets fixes B, C, n'eft point compris dans la Part. 2. de ce Lemme-ci ; & qu'ainfi la démonftration qu'on a donnée ci-deffus de cette Part. 2. en comprend toute l'étendue.