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ou plâcốt restante de la directe contrarieté qui( Lem.6. Corol. 4. ) seroit alors entr'elles , ne feroit plus alors qu'é.

. gale à la difference de ces deux puissances , & dirigée | Lem. 6. Corol. 4.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles ou directement opposées , & en même lens que la plus forte d'entr'elles , à qui seule leur direde contrarieté ne laisseroit que son excès sur l'autre pour agir sur ce corps ou point B.

Ces deux Corol. 1: 2. s'accordent parfaitement avec les loix ordinaires du choc des corps , suivant lesquelles deux donnant à la fois sur un en même sens , le pousseroient en ce sens de la Somme de toutes les forces qu'ils lui communiqueroient separément, conformément au Corol. 1. Et deux donnant à la fois sur un en sens directement contraires , ne le pousseroient que de la difference de ces deux forces dans le sens de la plus grande, conformément au Corol. 2. .

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COROLLAIRE III.

Si l'on imagine , comme dans la démonstrat. de la Pare, 2. les côtez BA, BD, du triangle ABD, mobiles autour des points fixes A, D, de la bale AD , laquelle s'allonge à mesure qu'en écrasant ce triangle vers elle, on en-approche l'angle B ; cette démonstration de la Part. 2. fait voir que lorsque ce sommet B sera sur cette base allori. gée AD, elle sera égale à la fomme des deux autres côtez BA,BD , de ce triangle ABD, &. chacun de ces côtez égal à la difference dont l'autre est alors surpassé par cette base::& comme ( Déf

. 11. ) l'angle ABD du triangle de ce nomy

se trouve alors in iniment obtus, & chacun des deux autres BAD, BDA, infiniment aigu ; il s'ensuit que dans un triangle réduit à un angle infiniment obtus, & à : deux infiniment aiguś,

1°. Que le côté opposé à l'angle infiniment obtus, vaut la somme des deux autres côtez.

29. Que le côté oppofé à un angle infiniment aigu, vault la difference des deux autres côtez.

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SCHOLIE. I. Dans la démonstrat. de la Part. 2. on vient de voir que lorsque deux angles opposez ABD, ACD, du parallelogramme ABDC deviennent infiniment obtus

par l'arrivée de leurs sommers B, C, sur la diagonale AD; cette diagonale AD , sur laquelle les deux côtez AB, BD, fe couchent alors en Q , de même que les deux au

Qi tres AC, CD, en P, se trouve alors égale à la fomme de „£es côtez pris aing deux à deux, c'eit-à-dire, qu'alors AD=AB=+BD=AC-+CD. Or lorsque l'angle ABD fe trouve infiniment obtus, fon complement BĂCest ( Cor sol. 11.) infiniment aigu. Donc fursqu'un angle BAC d'un parallelogramme quelconque ABDC devient infiniment aigu par l'arrivée de ses côtez AB, AC, sur la diagonale AD, cette diagonale se trouve toûjours alors égale à la somme de ces deux mêmes côtez. Ce qui est encore une nouvelle preuve très-fenfible de la Part. I. de ce Lemme-ci, pour le cas où les sommets B, C, des angles ABD, ACD, sont mobiles.

II. Pour avoir aussi de cette Part. 1. une démonstration sensible autant que l'incompréhensibilité de l'infini le peut être , lorsque l'angle BAC devient infiniment aigu, les deux points B, C, demeurant fixes; imaginons le parallelogramme ABDC fait des parties BA, BD, CA, CD, de quatre régles indéfinies BE, BG, CF, CH,

, mobiles autour de ces points fixes B, C, & qui dans leur mouvement autour de ces deux points, fe coupent toûjours en deux quelconques A, D, de la droite infinie MN, fixe à égales distances des points aussi fixes B, C. On verra qu'à mesure que ces points de concours A, D, s'éloigneront l'un de l'autre le long de cette droite MN, les angles opposez BAC, BDC, deviendront aigus de plus en plus , & les opposez ABD, ACD, obtus de plus en plus ; & que lorsque ces deux points de concours A, D, Teront infiniment éloignez l'un de l'autre , & des points fixes B, C, les angles BAC, BDC, feront infini

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Henr aigus, & les deux autres ( Corol. de la Déf. 11.) ABD , ADC, infiniment obtus. Or fi du centre D, &des rayons DB, DC, on a conçu deux arcs circulaires BQ, Cľ, variables comme leurs rayons par l'éloignement continuel de leur centre D, on verra qu'à mesure que ce centre D s'éloigne, comme le point A, des points fixes B, C, ces deux arcs deviennent moins courbes de plus en plus, jusqu'à devenir lignes droites perpendiculaires à MN, & aux deux régles de chacun des points B, C, bout à bout en lignes droites paralleles à MN, lorsque les points A, D, lone infiniment éloignez l'un de l'autre, & des points fixes B, C, & que les lignes PA, PD, CA, CD, QA , QD ,BA, BD, ainfi changées en infinies PM, PN, CF, CH, QM, QN, BE, BG, paralleles entr'elles, seront pour lors PA=PM=CF=CA, PD=PN=CHS CD QA=QM=BF=BA , & QD=QN=BG=BD. Donc alors la diagonale infinie AD ( PA +PD) =CA +CD, & AD (OA-+QD)=BA-+BD ; c'est-à-dire, dans ce cas-ci des points fixes B, C, comme dans celui fart. 1. )de ces deux points mobiles , que la diagonale AD d'un parallelogramıne quelconque ABDC elt toûjours égale à la somıne de les côtez CA, CD, ou BA, BD, lorsque l'angle BAC, ou BDC en est aigu.

III. Les angles ABD, ACD du parallelogramme ABDC, devenant obtus comme dans le précedent art. 2. par l'écartement vers M, N, de leurs côtez autour de leurs sommets fixes B, C; on voit que la diagonale BC ne change point pendant que l'autre diagonale AD, & tous les côtez de ce parallelogramme changent comme dans eet art. 2. jusqu'à devenir infinis par cet écartement fair jusqu'au parallelisme de ces lignes entr'elles. D'où l'on voit que ce cas des angles ABD, ACD, devenus infiniment obtuis par un tel mouvement de leurs côtez autour de leurs fominets fixes B, C, n'est point compris dans la Part. 2. de ce Lemme-ci ; & qu’ainsi la démonstration qu’on a donnée ci-dessus de cette Part. 2. en comprend toute l'étendue.

Quant à la part. 1. elle comprend les deux cas des sommets B, C, fixes ou mobiles des angles ABD, ACD, & outre la démonstration qu'on en a donnée d'abord dans toute cette étendue, les deux precedens art. 1. 2. en fournissent encore une nouvelle plus sensible de la même étendue.

L EM ME X.

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Fig.12.23.

de ces quatre

Soit un parallelogramme quelconque GICE , avec une li24. 25. 26. gne droite HP , posée comme l'on voudra par rapport à lui,

dans le même ou dans differens plans, il n'importe. Si des
quatre angles ou pointes G,1,C, E, de ce parallelogramme
an mene à volonté quatre plans -exprimez en profil par GL,
IP, CH, EV, tous paralleles entr'eux i que
pointes jusqu'à HP on tire le long de ces plans autant de li-
gnes droites GL,FP, CH, EV, lesquelles rencontrent HP ex
L, P, H,V ,.de quelque maniere que ce soit : je dis que la par-
tie de celle-ci , par exemple, HL, comprise entre deux.GL,
CH , de celles-, lesquelles partent des points GC, diagona-
kment opposez, eft toûjours égale à la somme de ses autres
partics HV ,HP , lorsque les points.V , P., se trouvent du même
côté de H., comme dans les Fig.2.1. 2.2. ou à la difference.de
sces mêmes parties HV, HP, lorsque ces points V., P, se trou-
vent de differens côtez de H , comme dans les Fig. 23:24. 25:-
c'est-à-dire , HL=HV-PHP, dans le cas des Fig. 2.1. 22.00
HL=HV-HP, comme dans celui des Fig. 23. 24. ou HL
IHP-HV, comme dans la Fig. 2.5.

DEMONSTRATION.
Menez les diagonales IE, GC, qui se coupent chacune
par la moitié en K; & après avoir conduit par ce point K
un plan encore parallele à ceux qu’on a supposé l'être
par les pointes du parallelogramme GICE, faites tomber.
de ces quatre pointes ou angles G, I., C, E, quatre lignes
GR , IM, CS, EN, toutes paralleleles à HP; & qui ren-
contrent ce dernier plan en R.,M,S, N.Enfin du point Q
où ce dernier planrencontre HP,menez QK, QR, QM,QS,
ON.

Cela

Cela fait, soit que ces cinq lignes en fassent plusieurs differentes , soit qu'elles se confondent en une seule, il est clair que puisque GR , IM, CS, EN, HP, sont toutes ( constr.) paralleles entr'elles.

1°.IM & PQ_sont dans un même plan avec PI &QM; ainsi puisque PI & QM se trouvent dans des plans (Hyp.) paralleles entr'eux, elles feront aussi paralleles entr'elles, & par consequent MP sera un parallelogramme. On prouvera de même que RL,SH, & VN, sont autant de parallelogrammes. Donc IM=PQ, GR=LQ, CS=HQ, & EN=ŸQ.

2o. De ce que IM, EN, sont (constr.) paralleles entr'elles., il suit aussi que les angles MIK', NEK, font égaux entr'eux, & que ces deux lignes sont dans un même plan avec IE. Par consequent si l'on mene KM ,KN, ces deux lignes-ci seront aussi dans ce même plan IMEN; ainsi puisqu'elles sont encore (constr.) dans un autre plan qui passe par KQ , elles seront la commune section de ces deux plans; & par consequent elles ne font ensemble qu'une même ligne droite. Ce qui donnant encore les angles IKM, EKŇ, égaux entr'eux, il fuit manifestement que les triangles IMK, ENK , sont semblables, & que puisque IK=KE, l'on aura aussi IM=EN. On prouvera de même que les triangles GKR, CKS, sont semblables entr'eux , & que puisque GK=CK, l'on aura ausli GR=CS.

Or on vient de voir ( constr.) que IM=PQ, EN=VQ, GR=LQ, CS=HQ. Donc (nomb. 2.) PQ=VQ, & LQ =HQ. Donc aussi LP=HV. Donc enfin HL=HV-+ HP dans le cas des Fig. 2:2. 2 3. ou V ,P, se trouvent du mêine côté de H:; & dans celui où V, P, se trouvent de differens côtez de H , l'op aura HL=HV-HP coinme dans les Fig. 24. 25. ou HL=HP-HV, comme dans la Fig. 26. Če qu'il falloit démontrer.

s'il se trouve des Commençans qui , embarrassez par la multitude des Fig. 2:1. 2 2. 2 3. 24. 25. ausquelles cette démonstration convient, ayent de la peine à l'appliquer à tow

I

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