7.

ne,

comme dans le Corol. 1. pour la trouver, fans fe fervir des lignes précedentes CF, BH, MG, NE, &c. menées fur des plans paralleles, par les extrêmitez des proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. aux puiffances C,B,M,N, &c. qu'on fuppofe agir toutes à la fois fuivant ces directions particulieres, chacune fuivant la fienfur le corps ou point A ; & qu'ainfi ( Lem.. 2. Cor. & Lem. 3. Corol. 1o.) AFAH+AG-AE+, &c. foit toûjours l'expreffion de la force réfultante du concours de toutes ces puiffances fuivant leur direction commune AO; les parties correfpondantes AF, AH, AG, AE, &c. de cette expreffion, n'expriment pourtant pas toûjours ce que chacune de ces puiffances C, B, M, N, &c. contribue à cette force totale de A vers O fuivant AO, c'està-dire, ce que chacune d'elles y employe de force pour ou contre, mais feulement lorfque (Lem. 3. part. 2.) les lignes droites CF, BH, MG, NE, &c. ou les plans paralleles fur lefquels on les fuppofe, font perpendiculaires à cette direction commune AO prolongée de part & d'autres : lorsqu'elles le font, chacune de ces puiffances C, B, M, N, &c. eft toûjours ( Lem. 3. part. 2.) à ce qu'elle fait d'impreffion pour ou contre fuivant cette direction AO, ou AE, fur le point ou corps A, comme celle de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. qui l'exprime , eft à celle des abfciffes AF, AH, AG, AE, &c. qui lui répond. Par exemple, dans ce cas de perpendicula-rité des lignes CF, BH, MG, NE, &c. fur AO, la puiffance C dirigée fuivant fa proportionnelle AC, eft à ce qu'elle fait d'effort fuivant AO:: AC. AF. & ainfi des autres en quelque nombre qu'elles foient, quelques rapports qu'elles ayent entr'elles, & fuivant quelques directions qu'elles agiffent fur le corps ou point A.

II. De-là il fuit encore que AF-AHAG-AE+&c.

AP pour ce cas des lignes CF, BH, MG, NE, &c. perpendiculaires fur cette ligne AP prife pour la derniere diagonale qui (Lem. 2. Corol. 7.& Lem. 3. Corol. 10.) exprime l'effort résultant au corps ou point A du con

cours des puiffances appellées ici C, B, M, N, &c. Car
puifque cet effort total fuivant cette derniere diagonale
AP, n'eft fait que des efforts particuliers de ces puiffan-
ces fuivant cette ligne, ou plutôt n'eft que la fomme de
ce qu'elles en font de A vers l' fuivant cette ligne, moins
ce qu'elles en font fuivant la même ligne en fens con-
traire, & que ces efforts particuliers font ( Lem. 3. part.
2.) comme les abfciffes AF, AH, AG, AE, &c. dont les
premieres AF, AH, AG, &c. expriment ici ces efforts
de A vers P fuivant AP, & les dernieres AE, &c. ce qui
s'en fait fuivant la même ligne en sens contraire: il fuit,
dis-je, du précedent art. 1. que ce cas des lignes CF, BH,
MG, NE, &c. perpendiculaires à cette ligne AP prolon-
gée de part & d'autre du point A, l'on aura encore cette
derniere diagonale AP AFAH+AG¬AE÷, &c.
conformément au précedent Corol. 3. dont ceci n'est
qu'un cas, l'angle que les précedens plans paralleles en-
tr'eux, ou que les lignes CF, BH, MG, NE, &c. menez
fur eux, font avec cette derniere diagonale AP, y étant
indéterminé, & tel qu'on voudra, au lieu que cette der-
niere preuve le fuppofe droit.

1

III. Il est auffi a remarquer que puifque l'impreffion résultante du concours de toutes les puiffances C, B, M, N, &c. au point ou corps A, le pouffe (Hyp.) fuivant AO, en forte que libre d'ailleurs il fuivroit cette droite de A vers O; il faut que ce que ces puiffances font chacune d'effort fur lui Lem. 3. part. I.) suivant chacune des correspondantes FC, HB, GM, EN, &c. perpendiculaires à AO, pour (art. 1.) le détourner de cette ligne AO, fe trouve en équilibre & détruit, comme l'on voit dans la part. 3. du Lem. 3. par la contrarieté directe de ces efforts collateraux entr'eux; & qu'ainfi ce qui s'en fait de droite à gauche de cette direction commune AO, foit toûjours égal à ce qui s'en fait de gauche à droite ; & de même de tous les autres côtez diamétralement oppoLez autour de AO. D'où l'on voit que fi les quatre diretions particulieres AC, AB, AM, AN, étoient dans un

y

même plan deux d'un côté, & deux de l'autre de la direction commune AO, comme elles paroiffent ici, l'on auroit FC+HB GM-+EN; puifque FC, HB, GM, EN, feroient entr'elles ( Lem. 3. part. 1.) comme les efforts des puiffances C, B, M, N, en ces deux fens, & que les deux premiers feroient ainfi diamétralement oppofez aux deux

autres.

DEFINITION XII.

Pour éviter les équivoques dans la fuite nous appellerons puiffances libres celles qui par leur concours d'action fur un corps ou fur un point, le meuvroient effectivement comme dans le principe general, & dans les Lem. 1. 2. 3. Et lorfqu'elles en feront empêchées par quelque obftacle, ou par quelqu'autre puiffance qui, égale & directe-ment oppofée à leur concours d'action, les arrête toutes en équilibre avec elle fur ce corps ou fur ce point ; nous les appellerons toutes puiffances forcées ou retenues. Suivant cela en appellant ( comme nous ferons toûjours dans la fuite) z le nombre des puiffances libres, & m celui des forcées, nous aurons toûjours alors mn-1.

LEMME X I.

Soient encore (comme dans le Cor. r. du précedent Lem.10.) F16519) par le point A dans des plans quelconques tant de parallelogrammes auffi quelconques qu'on voudra, dont le premier foit ACDB, de qui la diagonale AD foit un des côtez du fecond ADLM, de qui la diagonale AL foit auffi un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez d'un quatriéme, & ainfi à l'infini. Par les extrêmitez C, B, des côtez AC, AB, du premier ACDB de ces parallelogrammes foit une feconde diagonale CB, qui rencontre la premiere AD en 2 de ce point 2 par l'extrêmité M du côté AM du fecond parallelogramme ADLM, foit QM qui rencontre fa diagonale AL en R de ce point R par Pextrémité N du côté AN du troifiéme parallelogramme ALPN, foit RN qui rencontre fa diagonale AP en S,

{

au

toûjours de même jusqu'à la derniere, laquelle foit ici AP,, pourne pas aller à l'infini. Cela fait, je dis que la partie AS de cette derniere diagonale fera à cette diagonale entiere AP, comme l'unité eft nombre des côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, des parallelogrammes fuppofez, ou (ce qui revient au méme ) comme l'unité eft au nombre de ces parallelogrammes plus un i c'est-à-dire ici, AS. AP : : 1. 4.

DEMONSTRATION.

Les parallelogrammes ALPN, ADLM, ACDB, don hant NP AL, ML=AD=2×AQ, les triangles femblables ASR, PSN, & ARQ, LRM, donneront AS. SP:: AR. NP:: AR. AL:: AR: ARRL:: AQ. AQ-+ML ::AQ. AQAD :: AQ. AQ+2×AQ :: AQ. 3×AQ:: 1. 3. Donc auffi AS. AS-SP:: I. 13. c'est-à-dire, AS. AP:: 1. 4. Et ainfi dans le dernier de tout ce qu'on peut ajoûter d'autres parallelogrammes à ceux-ci de la maniere précedente: la derniere diagonale s'y trouvera toûjours divifée de la maniere précedente en deux parties, dont la plus proche du point A fera à cette diagonale entiere, comme l'unité fera au nombre des côtez non diagonaux de tous ces parallelogrammes, ou (ce qui revient au même) comme l'unité fera au nombre de ces parallelogrammes plus un. De forte que fi le nombre des côtez non diagonaux étoit n, & que confequemment le nombre de ces parallelogrammes fût-1. la partie la plus proche de A de la derniere diagonale divifée en deux comme ci-deffus, feroit à cette diagonale entiere 1.n. Ce qu'il falloit démontrer.

C'eft M. Leibrutz qui m'a fait penser à ce Lemme, dont il n'a donné que l'énoncé, avec quelques explications dans le Journal des Sçavans de 169.3. pag. 417. L'usage qu'il me parut pouvoir avoir dans mon Projet d'une nouvelle Mécanique de 16.87. me fit en chercher la démonftration, que jetrouvai auffi-tottelle qu'on la voit ici : cetufage paroîtra dans la fuite. COROLLAIRE

COROLLAIRE I

Si donc le point A, ou un corps (fans pefanteur) exprimé par A, étoit pouffé ou tiré à la fois fuivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de forces ou puiffances proportionnelles à ces côtez de parallelogrammes, & dirigées fuivant ces lignes; non feulement il seroit poussé ou tiré ( Lem. 3. Corol. 10.) par le concours de toutes ces puiffances enfemble fuivant la derniere diagonale AP, d'une force qui feroit à celles-là comme cette derniere diagonale aux côtez AC, AB, AM, AN, qui leur font (Hyp.) proportionnels ; mais encore cette derniere diagonale AP feroit à fa partie AS, comme le nombre des puiffances à l'unité; puifque (Hyp.) le nombre de ces puiffances feroit celui de ces côtez non diagonaux, ou celui des parallelogrammes plus un.

COROLLAIRE II.

On voit de-là fuivant ce Lemme-ci, que la derniere diagonale AP étant donnée, ou fa partie AS, il eft aifé de trouver l'une par l'autre ayant le nombre des puiffances ; fçavoir ici AP=4×AS, & AS=÷AP: mais si l'une ni l'autre n'étoit donnée que de pofition AO, comme dans la Fig. 30. par rapport aux proportionnelles & directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances appellées C, B, M, N, &c. dont le nombre foit n, il faudroit avoir recours au Corol. 3. du Lem. 10. lequel fans faire aucun parallelogramme, donneroit la derniere diagonale cherchée APAFAH+AG-AF, &c. en menant FIG. 27 feulement des extrêmitez des proportionnelles préceden- 28. tes les paralleles CF, BH, MG, NE, &c. fous quelque angle qu'elles rencontrent la direction donnée AO de cette diagonale cherchée AP prolongée de part & d'autre : de-là le present Lem. 11. donnant AS=AP, l'on AF÷AH+AG¬AE&c fans ( dis-je ) fai

auroit auffi AS

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