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même plan deux d'un côté, & deux de l'autre de la direction commune AO, comme elles paroiffent ici, l'on y auroit FC HB GM-+EN; puifque FC, HB, GM, EN, feroient entr'elles (Lem. 3. part. 1.) comme les efforts des puiffances C, B, M, N, en ces deux fens, & que les deux premiers feroient ainfi diamétralement oppofez aux deux DEFINITION XII

autres.

Pour éviter les équivoques dans la fuite nous appellerons puissances libres celles qui par leur concours d'action fur un corps ou fur un point, le meuvroient effectivement comme dans le principe general, & dans les Lem. 1. 2. 3. Et lorfqu'elles en feront empêchées par quelque obftacle, ou par quelqu'autre puiffance qui, égale & directement oppofée à leur concours d'action, les arrête toutes en équilibre avec elle fur ce corps ou fur ce point; nous les appellerons toutes puiffances forcées ou retenues. Sui-vant cela en appellant (comme nous ferons toûjours dans la fuite) n le nombre des puiffances libres, & m celui des forcées, nous aurons toûjours alors mn-1.

LEMME X I.

Soient encore (comme dans le Cor. x. du précedent Lem.10.) F16:19h par le point A dans des plans quelconques tant de parallelogrammes auffi quelconques qu'on voudra, dont le premier foit ACDB, de qui la diagonale AD foit un des côtez du fecond ADLM, de qui la diagonale AL foit aufli un des côtez du troifiéme ALPN, de qui la diagonale AP foit pareillement un des côtez d'un quatrième, & ainfi à l'infini. Par les extrêmitez C, B, des côtez AC, AB, du premier ACDB de cesparallelogrammes foit une feconde diagonale CB, qui rencontre la premiere AD en 2 de ce point 2 par l'extrémité M du côté AM du fecond parallelogramme ADLM, soit QM qui rencontre fa diagonale AL en R de ce point R par. Fextrémité N du côté AN du troifiéme parallelogramme ALPN, foit RN qui rencontre fa diagonale AP en S, &

toûjours de même jusqu'à la derniere, laquelle foit ici AP,, pourne pas aller à l'infini. Cela fait, je dis que la partie AS de cette derniere diagonale fera à cette diagonale entiere AP, comme l'unité est au nombre des côtez non diagonaux AC, AB, AM, AN, des parallelogrammes fuppofez, ou (ce qui revient au méme ) comme l'unité est au nombre de ces parallelogrammes plus un i c'est-à-dire ici, AS. AP : : 1. 4.

DEMONSTRATION.

Les parallelogrammes ALPN, ADLM, ACDB, don hant NP=AL, ML=AD=2×AQ, les triangles femblables ASR, PSN, & ARQ, LRM, donneront AS. SP:: AR. NP:: AR. AL:: AR: ARRL::AQ. AQ-+ML ::AQ. AQ+AD: : AQ. AQ+2×AQ:: AQ. 3×AQ :: 1. 3. Donc auffi AS. AS-SP:: 1. 13. c'est-à-dire, AS. AP:: 1. 4. Et ainfi dans le dernier de tout ce qu'on peut ajoûter d'autres parallelogrammes à ceux-ci de la imaniere précedente: la derniere diagonale s'y trouvera toûjours divifée de la maniere précedente en en deux parties, dont la plus proche du point A fera à cette diagonale entiere, comme l'unité fera au nombre des côtez non diagonaux de tous ces parallelogrammes, ou (ce qui revient au même comme l'unité fera au nombre de ces parallelogrammes plus un. De forte que fi le nombre des côtez non diagonaux étoit n, & que confequemment le nombre de ces parallelogrammes fût-1. la partie la plus proche de A de la derniere diagonale divifée en deux comme ci-deffus, feroit à cette diagonale entiere :: 1.n. Ce qu'il falloit démontrer.

C'eft M. Leibrutz qui m'a fait penser à ce Lemme, dont il n'a donné que l'énoncé, avec quelques explications dans le Journal des Sçavans de 169.3. pag. 417. L'usage qu'il me parut pouvoir avoir dans mon Projet d'une nouvelle Mécanique de 16.87. me fit en chercher la démonftration, que jetrouvai auffi-tot telle qu'on la voit ici : cetufage paroîtra dans la fuite. COROLLAIRE

COROLLAIRE I.

Si donc le point A, ou un corps (fans pefanteur) exprimé par A, étoit pouffé ou tiré à la fois fuivant AC, AB, AM, AN, &c. par autant de forces ou puiffances proportionnelles à ces côtez de parallelogrammes, & dirigées fuivant ces lignes; non feulement il feroit poussé ou tiré ( Lem. 3. Corol. 10.) par le concours de toutes ces puiffances enfemble fuivant la derniere diagonale AP, d'une force qui feroit à celles-là comme cette derniere diagonale aux côtez AC, AB, AM, AN, qui leur font (Hyp.) proportionnels ; mais encore cette derniere diagonale AP feroit à fa partie AS, comme le nombre des puiffances à l'unité; puifque (Hyp.) le nombre de ces puiffances feroit celui de ces côtez non diagonaux, ou celui des parallelogrammes plus un.

COROLLAIRE II.

On voit de-là fuivant ce Lemme-ci, que la derniere diagonale AP étant donnée, ou fa partie AS, il eft aifé de trouver l'une par l'autre ayant le nombre des puissances ; fçavoir ici AP=4×AS, & AS=÷AP: mais si l'une ni l'autre n'étoit donnée que de pofition AO, comme dans la Fig. 30. par rapport aux proportionnelles & directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances appellées C, B, M, N, &c. dont le nombre foit n, il faudroit avoir recours au Corol. 3. du Lem. 10. lequel fans faire aucun parallelogramme, donneroit la derniere diagonale cherchée APAF+AH+AG-AF, &c. en menant FIG. 27 feulement des extrêmitez des proportionnelles préceden- 28. tes les paralleles CF, BH, MG, NE, &c. fous quelque angle qu'elles rencontrent la direction donnée AO`de cette diagonale cherchée AP prolongée de part & d'autre : de-là le present Lem. 11. donnant AS=AP, l'on AF¬AH÷AG¬AE÷&c fans ( dis-je ) faiauroit aufli ASAF÷

K

Fs D. 29.

re aucun parallelogramme. D'où l'on voit fuivant lo
précedent Corol. I. que l'unité feroit ici au nombre n
des puiffances, comme
à la der

AFAH+AG-AE &c.

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niere diagonale cherchée AP, qui fe trouvera ainfi dans la Fig 28. fans y faire aucun des parallelogrammes qui l'ont donnée dans la Fig. 27. Corol. 1. du Lem. 10.

COROLLAIRE III.

Mais cela fuppofe qu'on ait la position AO de la derniere diagonale AP, par rapport aux directions données des puiffances. Prefentement pour trouver cette pofition il faut confiderer,

1o. Que BQ=CQ, ou BQ.CQ :: 1. 1. Puifque BQ. CQ:: AB. CD :: I. I.

2o. Que RM. RQ:: 2. 1. Puifque RM. RQ:: LM. AQ :: AD. AQ :: BC. CQ_( nomb. 1):: 2.1.

3°. Que NS. RS :: 3.1. Puifque NS.RS:: NP. AR:1 AL. AR :: QM. QR ( nomb. 2.):: 3. ì. Et ainfi à l'infini.

D'où l'on voit que les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. étant données proportionnelles à ces mêmes puiffances, fi par les extrêmitez des deux premieres AC, AB, on mene la droite BC, fon milieu Q avec A donnera la position de la premiere diagonale AD. Si l'on mene enfuite de ce point Q la droite QM à l'extrêmité M de la troifiéme proportionnelle AM, laquelle QM foit divifée en R de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2.1. ce point R avec A donnera la pofition de la feconde diagonale AL. Si après cela du point R on mene la droite RN à l'extrêmité N de la quatriéme proportionnelle AN, laquelle RN foit divifée en S de maniere qu'on ait NS.RS:: 3.1. ce point Savec le point A donnera la pofition de la troifiéme diagonale AP; & ainfi à l'infini, en divifant de même en railon reciproque de 1 à 4, la ligne qui de S fe termineroit à l'ex

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trêmité d'une cinquiéme proportionnelle ; la fuivante en raifon reciproque de 1 à 5; la fuivante encore en raison reciproque de 1 à 6, & toujours de même les fuivantes, en raison réciproque de 1 à 7, de 1 à 8, de 1 à 9, de 1 à Io, &c.

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C'est-à-dire en general (en appellant les droites BC, QM, RN, &c. Lieux des puiffances: fçavoir ici BC, Lieu des deux puiffances C, B; QM, Lieu des trois puiffances C, B, M; RN, Lieu des quatre puiffances C, B, M, N ; &c. qu'en divifant chaque Lieu en raifon reciproque de l'unité de la puiffance, à la proportionnelle de laquelle il fe termine par un bout, au nombre des puiffances du lieu auquel il fe termine par l'autre bout, de même que RN ici divifée en SN. SR:: 3.1. l'eft en raifon reciproque de l'unité de la puiffance N au nombre 3. des puiffances C, B, M, du Lieu QM: on voit, dis-je, en general que le point d'une telle divifion de chaque Lieu, donnera toûjours avec A la pofition de la diagonale, fuivant laquelle fe fait le concours d'action de toutes les puiffances de ce Lieu, de même que le point S du Lieu RN ainfi divifé en ce point S, donne avec le point A la pofition de la diagonale AP, fuivant laquelle fe fait ici (Lem. 3. Corol. 10.) le concours d'action des quatre puiffances C, B, M, N, de ce Lieu RN.

COROLLAIRE IV.

Suivant cela, & le Corol. 2. il fera toûjours aifé de trouver la pofition & la longueur de la derniere diagonale de tant de parallelogrammes qu'on voudra, faits com- F12.30; me dans le prefent Lemme 11. fans en faire aucun, ayant feulement les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. proportionnelles à ces mêmes lignes: voici comment.

1o. Ces proportionnelles ayant été prifes jufqu'ici dans un ordre arbitraire, le Corol. 3. fait voir que fi par les extrêmitez C,B, de deux quelconques AC, AB, d'entr'elles on mene la droite CB; que de fon milieu Qon

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