re aucun parallelogramme. D'où l'on voit fuivant le précedent Corol. I. que l'unité feroit ici au nombre » AFAH AG—AE&c. à la der des puiffances, comme

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niere diagonale cherchée AP, qui se trouvera ainfi dans la Fig 28. fans y faire aucun des parallelogrammes qui l'ont donnée dans la Fig. 27. Corol. 1. du Lem. 10.

COROLLAIRE III.

Mais cela fuppofe qu'on ait la pofition AO de la derniere diagonale AP, par rapport aux directions données des puiffances. Prefentement pour trouver cette pofition il faut confiderer,

1o. Que BQ=CQ, ou BQ.CQ :: 1. 1. Puifque BQ. CQ:: AB. CD :: I. I.

2°. Que RM. RQ :: 2. 1. Puifque RM. RQ :: LM. AQ::AD. AQ :: BC. CQ (nomb. 1):: 2.1.

3°. Que NS. RS :: 3.1. Puifque NS. RS: : NP. AR: AL. AR :: QM.QR ( nomb. 2.):: 3. i. Et ainfi à l'infini.

D'où l'on voit que les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. étant données proportionnelles à ces mêmes puiffances, fi par les extrêmi tez des deux premieres AC, AB, on mene la droite BC, fon milieu Q avec A donnera la pofition de la premiere diagonale AD. Si l'on mene enfuite de ce point Q la droite QM à l'extrêmité M de la troifiéme proportionnelle AM, laquelle QM foit divifée en R de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2.1. ce point R avec A donnera la pofition de la feconde diagonale AL. Si après cela du point R on mene la droite RN à l'extrêmité N de la quatriéme proportionnelle AN, laquelle RN foit divifée en S de maniere qu'on ait NS.RS:: 3.1.ce point Savec le point A donnera la fofition de la troifiéme diagonale AP; & ainfi à l'infini, en divifant de même en railon reciproque de 1 à 4, la ligne qui de S fe termineroit à l'ex

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trêmité d'une cinquiéme proportionnelle; la fuivante en raifon reciproque de 1 à 5; la fuivante encore en raison reciproque de 1 à 6, & toujours de même les fuivantes, en raifon réciproque de 1 à 7, de 1 à 8, de 1 à 9, de 1 à 10, &c.

I

C'est-à-dire en general (en appellant les droites BC, QM, RN, &c. Lieux des puiffances: fçavoir ici BC, Lieu des deux puiffances C, B; QM, Lieu des trois puissances C, B, M; RN, Lieu des quatre puiffances C, B, M, N ; &c. qu'en divifant chaque Lieu en raifon reciproque de l'unité de la puiffance, à la proportionnelle de laquelle il fe termine par un bout, au nombre des puiffances du lieu auquel il fe termine par l'autre bout, de même que RN ici divifée en SN. SR:: 3.1. l'est en raison reciproque de l'unité de la puiffance N au nombre 3. des puiffances C, B, M, du Lieu QM: on voit, dis-je, en general que le point d'une telle divifion de chaque Lieu, donnera toûjours avec A la position de la diagonale, fuivant laquelle fe fait le concours d'action de toutes les puiffances de ce Lieu, de même que le point S du Lieu RN ainfi divifé en ce point S, donne avec le point A la position de la diagonale AP, fuivant laquelle fe fait ici (Lem. 3. Corol. 10.) le concours d'action des quatre puiffances C, B, M, N, de ce Lieu RN.

COROLLAIRE IV.

Suivant cela, & le Corol. 2. il fera toûjours aifé de trouver la pofition & la longueur de la derniere diagonale de tant de parallelogrammes qu'on voudra, faits com- F1.30; me dans le prefent Lemme 11. fans en faire aucun, ayant feulement les directions AC, AB, AM, AN, &c. des puiffances C, B, M, N, &c. proportionnelles à ces mêmes lignes: voici comment.

1o. Ces proportionnelles ayant été prifes jufqu'ici dans un ordre arbitraire, le Corol. 3. fait voir que fi par les extrêmitez C, B, de deux quelconques AC, AB, d'entr'elles on mene la droite CB; que de fon milieu Qon

mene QM à l'extrêmité M d'une troifiéme proportion nelle auffi quelconque AM, laquelle QM foit divisée en R, de maniere qu'on ait RM. RQ :: 2. 1. Qu'enfuite on mene RN à l'extrêmité N d'une quatriéme proportionnelle encore quelconque AN, laquelle RN foir divifée en S, de maniere qu'on ait SN. SR: 3. 1. l'on aura AS prolongée vers O pour la pofition de la derniere diagonale AP des parallelogrammes faits comme dans ce Lemme-ci, fans en faire aucun ; & ainfi de quelque autre nombre de puiffances, ou de leurs proportionnelles qu'on puiffe fuppofer. De forte que fiz étoit le nombre des puiffances, lefquelles prifes dans l'ordre préce→ dent euffent QM pour le lieu de toutes, hors de la derniere N; l'analogie SN.SR:: 1. 1. donneroit AS pour la pofition AO de la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme dans ce Lemme-ci..

2o. La pofition AO de la diagonale du dernier de ces parallelogrammes étant ainfi trouvée, ce Lemme-ci donnera la longueur AP de cette derniere diagonale =4× AS, s'il n'y a (comme ici) que trois parallelogrammes, que les quatre puiflances C, B, M, N ; & en general cette longueur fera nxAS, fi le nombre des puillances eft, ou celui des parallelogrammes.

Le Corol. 2. donnera auffi la longueur de cette der niere diagonale AF+AHAG¬AE÷&c. dans la 10. 28. Fig. 28. fans faire aucun parallelogramme, en laiffant tomber des extrêmitez des directions proportionnelles AC, AB, AM, AN, &c. des-puiffinces C, B, M, N, &c. autant de perpendiculaires CF, BH, MG, NE, &c. fur la pofition AO (de cett、 diagonale) trouvée dans le nomb. 1.

COROLLAIRE V.

Ce dernier Corol. 4. fournit la maniere de déterminer la route ou la direction & la force d'un corps pouffé ou tiré par le concours de plufieurs puiffances données, & de directions données qui partent d'un même point, fans faire aucun parallelogramme. Car puifque ce corps par le con

cours de toutes ces puiffances quelconques, quelles qu'en foient les directions & le nombre, doit (Lem. 3. Corol.10.) être pouffé ou tiré fuivant la diagonale du dernier des parallelogrammes faits (comme ci-deffus) de leurs diretions proportionnelles, & avec une force qui foit à chacune de ces puiffances comme cette diagonale à chacune de leurs proportionnelles ; & que le précedent Corol. 4. donne la position & la longueur de cette derniere diagonale, fans faire aucun parallelogramme, il donnera auffi fans en faire aucun, la route ou la direction & la force du corps pouffé ou tiré par toutes ces puiffances à la fois, c'est-à-dire (Déf. 7.) la direction commune de toutes ces puiffances, & la force résultante de leur concours fuivant cette direction. De forte que fi ce corps eft pouffé ou F1 30 tiré à la fois, par exemple, par quatre puiffances C, B, M,N, données avec leurs directions particulieres AC, AB, AM, AN, lefquelles foient proportionnelles à ces puiffances, il n'y aura qu'à mener la droite CB; enfuite de fon milieu Q mener la droite QM, laquelle foit divifée en R, de maniere qu'on ait RM.RQ 2. 1. Après cela mener RN, qui foit auffi divifée en S, mais de maniere qu'on ait SN. SR:: 3.1. Enfin mener AS prolongée vers O, fur laquelle foit prife AP 4×AS: cette droite AP fera (Corol. 3.) de pofition & de grandeur la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient été faits (comme dans ce Lemme-ci, Fig. 29.) des pro-portionnelles fuppofées. Donc ( Lem. 3. Coral. 10.) les quatre puillances ici fuppofées C, B, M, N, poufferont ou tireront ensemble le long de cette ligne AP ou AS le corps auquel elles font appliquées, & d'une force qui fera à chacune d'elles comme cette même AP ou fa va-leur 4×AS est à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN. Et ainfi de tout autre nombre de puif fances à volonté, qu'on fuppoferoit agir à la fois fur ce corps fuivant des directions qui partiffent d'un même point.

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COROLLAIRE VI.

Les divifions précedentes fuppofées des lignes CB, QM, NR, &c. en Q, R, S, &c. on voit ( Corol. 5.) que l'effort réfultant du concours des deux puiffances C,B, fe feroit fuivant AQ; que le réfultant du concours des trois puiffances C, B, M, fe feroit fuivant AR;que le réfultant du concours des quatre puiffances C, B, M, N, fe feroit fuivant AS, & ainfi de tant de puiffances qu'on voudra fuppofer agir toutes à la fois fur un même point A, de quelque maniere que ce foit. Donc fuivant le Corol. 1. du principe general (fi les lieux CB, QM, NR, &c. étoient autant de verges inflexibles & fans pefanteur, aufquelles les puiffances C, B, M, N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puiflances C, B, fur un appui placé en Q; entre les trois puiffances C, B, M, fur un appui placé en R; entre les quatre puiffances C, B, M, N, Tur un appui placé en S, & ainfi de tel autre nombre de puiffances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit ( Déf. 8.) que Qeft le centre d'équilibre des deux puiffances C, B; que R eft celui des trois puiffances C, B, M; que S eft celui des quatre puiffances C, B, M, N, &c. fur les verges ou lignes CB, QM, RN, &c. fuppofées inflexibles & fans pefanteur.

DEFINITION XIII.

Ces points Q, R, S, &c. feront appellez dans la fui te centres principaux d'équilibre de ces puiffances C, B, M, N, &c. fçavoir Q, centre principal d'équilibre des puiffances C, B; R, centre principal d'équilibre des puiffan ces C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puissances C,B, M, N; & ainfi de tout autre nombre de puiffances libres dirigées toutes par le point A, fuivant quelques plans que ce foit.

DEFINITION XIV.

Les pefanteurs particulieres de toutes les parties d'un