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mene QM à l'extrêmité M d'une troisiémne proportiona
nelle aussi quelconque AM , laquelle QM Toit divisée
en R, de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2.1. Qu'ensui-
tę on mene RN à l'extrêmité N d'une quatriéme pro-
portionnelle encore quelconque AN, laquelle RN soit
divisée en S, de maniere qu'on ait SN. SR :: 3. 1. l'on
aura AS pruimgée vers pour la position de la dernie-

0
re diagonale AP des parallelogrammes faits comme dans
ce Lemme-ci, fans en faire aucun ; & ainfi de quelque
autre nombre de puissances , ou de leurs proportionnel-
les qu'on puisse supposer. De forte que sin étoit le nom-
bre des puissances, lesquelles prises dans l'ordre préce-
dent eussent QM pour le lieu de toutes, hors de la der-
niere N ; l'analogie SN.SR::9-11. donneroit AS pour
la position AO de la diagonale du dernier des parallelo-
grammes faits comme dans ce Lemme-ci.

2°. La polition AO de la diagonale du dernier de ces
parallelogrammes étant ainsi trouvée, ce Lemme-ci don-
nera la longueur AP de cette derniere diagonale=4*
AS, s'il n'y a ( comme ici) que trois parallelogrammes ,
que les quatre puissances C, B, M, N ; & en general
cette longueur fera =nxAS, li le nombre des puissances
est=», ou celui des parallelogrammes I.

Le Corol. 2. donnera aussi la longueur de cette der.

niere diagonale. =AF+AH-TAG-AE=&c. dans la $10.28. Fig. 28. lans faire aucun parallelogramme , en laissant

tomber des extrêmitez des directions proportionnelles
AC, AB, AM, AN, &c. des puiff'ınces C, B, M, N, &c.
autant de perpendiculaires CF, BH, MG, NE, &c. sur la
position AO (de cette diagonale) trouvée dans le nomb. I.

COROLLAIRE V..
Ce dernier Corol. 4. fournit la maniere de déterminer

4
la route ou la direction & la force d'un corps poussé ou
tiré par le concours de plusieurs puissances données, & de
directions données qui partent d'un même point, sans faire
zucun parallelogramme. Car puisque ce corps par le com

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FIG. 30

ou

cours de toutes ces puissances quelconques , quelles qu'en
soient les directions & le nombre, doit (Lem. 3. Corol. 10.)
être poussé ou tiré suivant la diagonale du dernier des
parallelogrammes faits ( comme ci-dessus ) de leurs dire-
&tions proportionnelles, & avec une force qui soit à cha-
cune de ces puissances comme cette diagonale à chacune
de leurs proportionnelles ; & que le precedent Corol. 4.
dunne la position & la longueur de cette derniere diago-
nale, sans faire aucun parallelogramme, il donnera aussi
lans en faire aucun, la route ou la direction & la force
du corps poussé ou tiré par toutes ces puissances à la fois,
c'elt-à-dire ( Déf. 7. ) la direction commune de toutes ces
puissances , & la force résultante de leur concours suivant
cette direction. De sorte que si ce corps eft poussé
tiré à la fois, par exemple, par quatre puissances C,B,
M,N, données avec leurs directions particulieres AC,
AB, AM, AN , lesquelles soient proportionnelles à ces
puisiances , il n'y aura qu'à mener la droite CB; ensuite
de son milieu mener la droite QM, laquelle soit di-
visée en R, de maniere qu'on ait RM.RQ:: 2. 1.

1. Après cela mener RN, qui soit aussi divisée en S, mais de maniere qu'on ait SN.SR :: 3.1. Enfin mener AS prolongée vers 0, sur laquelle soit prise AP=4XAS : cette droite AP sera ( Corol

. 3.) de position & de grandeur la diagonale du dernier des parallelogrammes qui auroient : été faits ( comme dans ce Lemme-ci, Fig. 29.) des pro-portionnelles supposées. Donc ( Lem. 3. Corol. 10.) les quatre puissances ici supposées C,B,M, N, pousserolic ou tireront ensemble le long de cette ligne AP ou AS le corps auquel elles sont appliquées, & d'une force qui fera à chacune d'elles comme cette même AP ou sa vaa leur 4xAS est à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, AM, AN. Et ainsi de tout autre nombre de puissances à volonté, qu'on supposeroit agir à la fois sur ce corps suivant des directions qui partissent d'un même point. .

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COROLLA I R E V I. Les divisions précedentes supposées des lignes CB; QM, NR, &c. en Q, R, S, &c. on voit ( Corol. s.) que letfort résultant du concours des deux puissances C, B, se fervit suivant AQ; que le résultant du concours des trois puissances C, B, M , se feroit suivant AR;que le résultant du concours des quatre puissances C, B, M, N, se feroit suivant AS, & ainsi de tant de puissances qu'on voudra supposer agir toutes à la fois sur un même point A, de quelque maniere que ce soit. Donc suivant le Corol. 1. du principe general ( li les lieux CB , QM, NR , &c. étoient autant de verges inflexibles & sans pesanteur , ausquelles les puissances C, B,M,N, &c. fans changer de direction, étoient appliquées comme on le voit ici) il y auroit équilibre entre les deux puissances C, B, sur un appui placé en Q ; entre les trois puissances C,B,M, sur un appui placé en R; entre les quatre puissances C, B, M, N, Tur un appui placé en S, & ainsi de tel autre nombre de puissances qu'on voudra, dirigées toutes par A. D'où l'on voit (Dif. 8.) que Q est le centre d'équilibre des deux puissances C, B.; que R est celui des trois puissances C, B,M;que S est celui des quatre puissances C, B, M,N, &c. sur les verges ou lignes CB , QM,RN, &c. Lupposées inflexibles & Tans pesanteur.

DEFINITION XIII.
Ces points Q, R, S, &c. seront appellez dans la sui-
te centres principaux d'équilibre de ces puissances C, B,
M, N, &c. fçavoir e, centre principal d'équilibre des
puissances C,B; R, centre principal d'équilibre des puissan-
ces C, B, M; S, centre principal d'équilibre des puissances
C,B,M,N; & ainsi de tout autre nombre de puissances
Jibres dirigées toutes par le point A , suivant quelques
plans que ce soit.

DEFINITION XIV.
Les pesanteurs particulieres de toutes les parties d'un

poids quelconque pouvant être regardées ( Ax. 2.) comme autant de puissances qui agissent ensemble sur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pesanteurs, & suivant les mêmes directions qu'elles ; il suit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit résulter à ce corps entier une impression ou force totale de haut en bas , qui en fasse la pesantcur totale , & suivant une ligne qui ( Déf. 3.) en soit la direction. Quelle que soit cette ligne de dire&tion de la pesanteur d'un corps , elle s'appellera verticale dans la suite; & les perpendiculaires à celle-là, seront nommées horisontales. Sien quelque sens qu'on tourne ce poids , la direction de la pesanteur passe toûjours par un même point de ce corps , ce point s'appellera à L'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLA IR E.Le Corol. 1. du principe general fait voir qu'un poids · qui auroit un tel point, quelque situation qu'on lui donnât autour de ce point , il y demeureroit toûjours en équilibre & en repos tant que ce point seroit svûtenu, ou fixement arrêté, nonobstant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe.

On verra dans la suite si un tel centre de gravité est polie ble, & en quel sens ; c'est-à-dire , quelles doivent étre pour cela les directions des pesanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous servirons point des centres de gravité, mais seulement des directions de ces poids, lesquelles se trouvent toujours ( Corol. 2. princip. gener.) étre les lignes suivant lesquelles ils demeurent suspendus.

LEMME XII. Soit un parallclogramme quelconque MDNG , dont les F 16:381" deux cótez DM, DN, prolongez ( s'il est necessaire ) soient 33. rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux cóter HR, KR, d'un angle aussi quelconque HRK placé en méme plan. Je dis que si HRXDM-KRXDN, ou ( ce qui revient Au méme ) si HR. KR:: DN.DM. La diagonale DG du pa:

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ra lelogramme MD NG, prolongée (s'il est necessaire ) passera par l'angle R.

DEMONSTRATION. Si l'on nie que la diagonale DG passe par l'angle R, soit menée la droite DR , qui soit prise pour le finus total; loit aussi prise S pour la marque ou la caracteristique des autres sinus. Les angles ( Hyp. ) droits en H, K, donneront /HDR. SKDR :: HR. KR(Hyp.):: DN. DM::MG. DM (Lem. 8. Cor. 2.):: SMDG./MGD::SMDG. SNDG. Cependant fi DG ne le confondoit pas avec DR , l'on auroit ici SHDR à SKDR en moindre raison que (MDG à SNDG.; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre

, côté de DG. Donc ces deux lignes DG, DR, doivent se confondre en une ; & par consequent la diagonale DG ainsi confondue avec DR , & prolongée, s'il eit necetlaire, passera comme DR par l'angle i Ce qu'il fala loit demontrer,

L EMME XIII.

#18: 33.

Par un point D donné dans un angle donné HAG , me ner une ligne droite BC, que ce point D divise en raison donsée de m à n, c'est-à-dire , en sorte qu'on ait BD.DC:: m. n.

SOLUTION Sur AD prolongée du côté de D, soit prise DE. AD :: 2. m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D soit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB est la ligne requile, c'est-à-dire, que non seulement elle passe par le point donné D, mais encore qu'elle y est divisée de maniere que BD. DC:: m. n. ainsi qu'il est ici requis.

DEMONSTRATION. Puisque AB, EC, lone { constr. ) paralleles entr'elles , & qu’ainli les triangles ADB , EDC, sont semblables end'eux, l'on aura ici DC. DB:: DE. DA (constr.) :: n. m.

Dong

. .

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