c'eft-à-dire, AXXA.. AOxAx:: BAOxfBAx. SBAX-/BA.comme dans la précedente Démonftration 2. Ce qui donnera ici comme la BP.BD> Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

LEMME

XV I.

Si fur les deux côtez contigus AB, AC, d'un parallelo

FIG. 37.

& fuivantes gramme quelconque ABDC, & fur la diagonale AD, qui jufqu'à 49. paffe par l'angle BAC ( que j'appelle capital) compris entre ces deux côtez AB, AC, on fait autant de triangles ASB, ASC, ASD, d'un fommet commun S donné à volonté autre. que le point A, fur le plan de ce parallelogramme ABDC;. je dis,

FIG. 37. 38.39.

FIG. 40.

I. Que lorsque ce point S fera dans le complement ( à deux droits) BAF ou CAF de l'angle capital BAC, comme dans. les Fig. 37.38.39. Le triangle ASD conftruit fur la diagonale AD du parallelogramme propofé ABDC, fera toûjours égal à la fomme des deux autres triangles ASC, ASB, confruits fur les côteZ AC, AB, de cet angle capital BAC, c'est-à-dire, qu'alors on aura toûjours ASD ASC ASB. II. Que lorfque le point donné S fera dans l'angle, capital 4L 42. 43. BAC, ou dans fon oppofé EAF, comme on le voit dans les Fig.40.41.42.43. Le triangle ASD fera toûjours égal à la difference des deux autres ASC, ASB, defquels le plus petit aura pour bafe le côté qui avec la diagonale fait des angles oppofe, dans l'un defquels le point S Je trouve, comme isi le triangle ASB, dont la bafe eft le cóté AB, qui avec la diagonale AD, forme les angles oppofez DAB, KAE, dans un defquels ce point & fe trouve c'est-à-dire, qu'alors on aura par tout ici ASD—ASC—ASB.

.

AXXAR. AOxAx

F16.44 45.46.

III. Que lorsque le point S fera fur un des côte (prolon-gé ou non de l'angle capital BAC du parallelogramme ABDC, comme on le voit fur AB dans les Fig. 44. 45. 46. Le triangle ASD fera toûjours égal à celui qui aura pour base l'autre côté contigu AC de ce parallelogramme ; c'est-à-dire, qu'alors on aura toûjours ici ASD ASC.

IV. Que fi enfin le point S eft fur la diagonale AD (pro- F1 0.477 longée ou non) comme dans les Fig. 47. 48. 49. l'on aura 48.49. toujours ASB ASC.

DEMONSTRATION.

Préparation pour tous les cas. Si du fommet commun S des trois triangles ASD, ASB, ASC, dont il eft ici queftion, l'on mene SG perpendiculaire en G, H, aux côtez paralleles AC, BD, du parallelogramme ABDC; l'on aura GS, GH, HS, pour les hauteurs des triangles ASC, BAD,BSD, au-deffus de leurs bafes AC, BD, perpendiculaires (conftr.) à ces hauteurs. Par confequent on aura leurs aires ASC-AC-GS, BAD=÷BD×GH= AC×GH, BSD ACxHS; ce qui donne,

1o. BAD―BSD=AC-GHAC-HS=÷ACx GH+HS (dans les Fig. 37. 39. 40. 42. 44. 47. ).

ACxGS=ASC.

2°. BAD-BSD-AC-GH-AC-HS=ACx GH-HS (dans les Fig. 38. 39. 41.42.45.48.) —— ACXGS=ASC.

3°. BSD-BADAC×HS-÷ACxGH=÷ACx HS-GH ( dans les Fig. 43. 46. 49.) =÷ACxGS= ASC. Or,

137 jufqu'à 49

& fuivantes

38

39

PART. I. Les Fig. 37. 39. donnent ASD ASE FIG BAD BSD, & les lig. 38. 39. 39. donnent ASD ASB +BAD-BSD. Donc (prep. nomb. 1. 2.) ce cas du point $ dans le complement BAF de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 37. 38. 39. donnera toûjours ASD=ASE ASC. Ce qu'il falloit 1o. démontrer.

PART. II. Les Fig. 40. 42. donnent ASD BAD F10402BSD-ASB,les Fig. 41.42.donnent ASD BAD-BSD_41. 42. 44ASB, & la Fig. 43. donne ASD BSD—BAD—ASB. Donc (prep. nomb. 1. 2. 3.) ce cas du point S dans un des angles oppofez DAB, KAE, comme on le voit dans les

›

Lüj

TL 44. $5.46.

F1.0.47. 490 49.

Fig. 40. 41. 42. 43. donnera toûjours ASD ASC-
ASB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

On trouveroit de même ASD AS BASC, fi S étoit dans un des angles oppofez DAC, KAF.

PART.III. La Fig. 44. donne ASD=BAD-BSD, la Fig. 45. donne ASD BAD-BSD, & la Fig. 46. donne ASD BSD-BAD. Donc (prep.nom. 1.2.3.) ce cas du point S fur le côté AB prolongé de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 44.45.46. donnera toûjours ASD=ASC. Ce qu'il falloit 3°. demontrer.

FIG 37. 38.39.

On trouveroit de même ASD ASB, fi le point S étoit quelque part fur l'autre côté AC prolongé.

PART. IV. La Fig. 47. donne ASB BAD-+BSD ; la Fig. 48. donne ASB=BAD—BSD, & la Fig. 49. donne ASB BSD-BAD. Donc (prep.nomb. 1. 2. 3.) ce cas du point S placé quelque part fur la diagonale AD prolongée, comme on le voit dans les Fig. 47. 48. 49. donnera toûjours ASB=ASC. Ce qu'il falloit 4°. démontrer. COROLLAIRE

I.

FIG. 37. & fuivantes

Si prefentement du point S on mene SM, SN, perjufqu'à 48. pendiculaires en M, N, fur AB, AD, prolongées, s'il est neceffaire, comme SG eft ( conftr.) perpendiculaire en G fur AC prolongée ; l'on aura les aires triangulaires ASD

AD×SN, ASBAB×SM, & ASC AC×SG. Or,

1o. La Part. 1. donne ASD ASB ASC dans les Fig. 37. 38. 39. qui ont le point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours AD×SNAB×SM+AC×SG, ou AD×SN=AB×

SM-ACXSG.

On trouveroit la même chofe, de la même maniere, fi S'étoit dans l'autre complement CAE de l'angle capital

BAC.

Fic. 40.

2o. La Part. 2. donne ASD=ASC-ASB dans les Fig. 41.42. 43. 40. 41. 42. 43. qui ont le point S dans un des anglès opposez DAB, KAE. Donc en ce cas on aura toujours

FAD-SNAC-SG-AB-SM, ou AD-SN=ACXSG

-AB-SM.

On trouveroit de même AD-SN=AB×SM-AC-SG, fi le point S étoit dans un des angles opposez DAC,

KAF.

3o. La Part. 3.donne ASD ASC dans les Fig. 44.45. Fre: 44 46. qui ont le point S fur le côté AB prolongé ou non, 45.46. de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours AD-SNACxSG, ou ADxSN=ACxSG..

48.49.

4°. La Part. 4. donne ASB ASC dans les Fig. 47.48. F1.47149. qui ont le point S fur la diagonale AD prolongée ou non. Donc en ce cas on aura toûjours ABXSMAC× SG, ou ABXSM ACXSG..

COROLLAIRE II.

I.

Puifque (Corol. 1. nomb. 3.) AD×SN=AC-SG dans le Fig. 44. & cas du point S pris ou donné fur le côtér AB prolongé fuivantes jufqu'à 490. ou non, de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 44.45.46. & que ( Corol. 1. nomb. 4.) ABxSM=ACX S dans le cas de ce point S pris fur la diagonale AD prolongée ou non, du parallelogramme quelconque ABDC, menée par cet angle capital BAC, comme dans les Fig. 47.48. 49. On voit que dans le premier de ces deux cas on aura toujours SG. SN:: AD. AC. Et dans le fecond, SG. SM:: AB. AC. D'où l'on voit en general que fi d'un point S, pris ou donné à volonté fur un des côtez AB, AC, cu fur la diagonale AD (qui paffe par leur angle BAC) d'un parallelogramme quelconque ABDC on mene deux perpendiculaires fur les deux autres de ces trois lines prolongées ou non ; ces deux perpendiculaires feront toujours entr'elles en raifon reciproque des deux cêtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme propofé quelconque, fur lefquels ces deux perpendiculaires font à angles droits-

SCHOLIE.

TIG. 39.

vantes jufqu'à 49.

Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode 42. & fui- tous les cas du prefent Lem. 16. qu'on a employé dans tous la perpendiculaire SG au côté AC de l'angle capital BAC; car on peut aisémement s'en paffer dans les cas des Fig. 39. 42. 44. 45. 46. 47. 48.49. & même la démonftration en fera plus fimple que par cette voye generale. En effet,

F1.0.39. 42.

F.1.0.44. 45.46.

FIG. 47. 48.49.

C'est ce qu'on a déja vû autrement démontré dans le
Corol. 10. du Lemme 8.

1o. Dans les Fig. 39. 42. les triangles ASC, BAD, de bafes égales AC, BD, & compris entre ces mêmes paralleles, étant ainfi égaux entr'eux, l'on aura tout d'un coup ASD=ASB+BAD ASB ASC dans la Fig. 39. & ASD BAD-ASB ASC-ASB dans la Fig. 42. le tout conformément à ce qu'on a trouvé de l'autre maniere pour ces deux Fig. 39. 42. dans les démonstrations des Part. I. 2.

2o. Dans les Fig. 44. 45.46. les triangles ASD, ASC, étant fur mêmes bafes AS, & entre mêmes paralleles AS, CD;'on voit encore plus promptement que ces deux triangles font égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé dans la démonstration de la Part. 3.

3°. Dans les Fig. 47.48.49.les triangles égaux ABD, ACD, ayant des hauteurs égales fur leur bafe commune AD, & ces hauteurs étant auffi celles des triangles ABS, ACS, fur leur bafe commune AS: ces deux derniers triangles feront auffi égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé pour ces trois Fig. 47.48.49. dans la démonftration de la Part. 4.

LEMME X VIL

Si plus de deux puiffances B, C, D, E, F, G, &c. font appliquées à autant de cordons attache ensemble par un feul & méme næud commun A, que rien autre chofe ne retient, L'équilibre eft impoffible entre ces puissances (quelles qu'elles

Joient,