foient,& quel qu'en foit le nombre) lorfqu'elles font dirigées de maniere qu'un plan RS puiffe paffer par ce naud commun A de leurs cordons, fans paffer entr'elles ou entr'eux, ou fans ·qu'elles foient toutes dans ce plan, c'est-à-dire, fans divifer aucun des angles que ces cordons font entr'eux, & fans qu'ils foient tous dans ce même plan.

DEMONSTRATION.

Il est visible qu'un plan RP, qui rencontreroit ainfi en F1 0.50% A tous les cordons des puiffances fuppofées auroit toutes SL. ces puiffances tirantes d'un feul côté par rapport à lui, comme dans la Fig. 5o. ou quelques-unes tirantes vers ce feul côté-là, pendant que toutes les autres tireroient fuivant ce plan comme dans la Fig. 5.1. Donc de quelque maniere que l'on combine toutes ces puiffances, il ne réfultera du concours de toutes qu'une impreffion totale vers le côté où il y aura des puiffances hors le plan fuppofé. Donc il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puiffances, aufquelles rien d'ailleurs ( Hyp.) ne s'oppofe. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient) attachez enfemble par un feul & même noeud, & quelques puiffances qu'on leur applique, une à chacun, l'équilibre fera impoffible entre ces puiffances.

1o. Dans le cas de tous les cordons en même plan, fi le prolongement de quelqu'un d'eux ne divife pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux; puifqu'un autre plan que le leur, mené fuivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur noud commun fans paffer entr'eux, & fans qu'ils fuffent tous dans ce plan.

2o. Dans le cas des mêmes cordons en plans differens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne paffe pas à trawers des cordons des autres plans; puifque celui-là fera

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lui-même un plan qui rencontrera tous ces cordons en. leur nœud commun fans paffer entr'eux.

COROLLAIRE II..

Il fuit encore de ce Lemme-ci, que quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient encore) attachez ensemble par un feul & même nœud, qui foit regardé comme le centre d'un cercle, ou d'une fphere; que fi ces cordons ne font pas répandus en plus d'une demi-fphere, lorfqu'ils font en plans differens, & en plus d'un demi-cercle, s'ils font en même plan; quelques puiffances qu'on leur applique, une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles fuivant ces directions; puifqu'on pourra faire paffer un plan par le nœud commun, fans qu'il paffe entre ces cordons, & fans qu'ils foient tous dans ce plan.

LEMME XVIII.

I. Lorfque tous les cordons iffus d'un même naud, font dirigez fuivant un méme plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, il n'y en a aucun qui prolongé par de-là ce naud commun, ne passe entre les autres cordons, c'est-à-dire, à travers quelqu'un de leurs angles.

DEMONSTRATION..

Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le diametre terminant d'un demi-cercle, dans lequel feul lui & les autres cordons feroient alors tous répandus; ce qui eft contre l'hypothefe. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothefe de tous les cordons dirigez fuivant un même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle ; quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine fur ce plan par le naud commun, fans paffer par aucun d'eux s'elle paffera toûjours de part & d'autre du naud à travers deux des angles que ces cordons font entr'eux.

DEMONSTRATION.

Car fi elle ne paffoit à travers aucun de ces angles, elle feroit le diametre terminant d'un demi-cercle dans lequel tous ces cordons feroient ; ce qui eft contre l'hypothefe ; & fi cette ligne droite ne paffoit à travers que d'un des angles de ces cordons, les deux cordons voisins à droite & à gauche de cette ligne droite du côté qu'elle ne pafferoit à travers aucun de leurs angles, feroient avec tous les autres dans un demi-cercle, ou en moins d'un demi-cercle ; ce qui eft encore contre l'hypothese. Donc,

&c.

III. Lorfque ces cordons font dirigez fuivant des plans differens, & répandus en plus d'une demi-sphere, il n'y a aucun de ces plans qui prolongé ne paffe entre les cordons des autres plans.

DEMONSTRATION.

Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le plan d'un grand cercle terminant une demi-fphere, dans laquelle tous les cordons feroient répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c. Ce qu'il falloit démontrer.

AVERTISSEMENT.

I. L'ufage des Lemmes précedens fe verra dans les Sections fuivantes, dans lefquelles (pour la commodité des citations) les Définitions, quoique de Sections differentes, feront numerotées par des chifres de fuite depuis la premiere des précedentes, jufqu'à la derniere de ce Traité-ci. Il en fera de même des Théoremes entr'eux, & des Problêmes auffi entr'eux.

II. Les parallelogramines qui nous vont fervir à appliquer aux Machines le précedent principe general, & qui par le moyen des rapports de leurs côtez entr'eux, & à leurs diagonales, nous ferviront à trouver ceux que des puiffances en équilibre fur ces Machines, doivent avoir entr'elles, & à la charge qui en doit réfulter à ces

Machines: ces parallelogrammes, di-je, ayant (Lem. 8. Corol. 2. 3.) leurs côtez & leurs diagonales en raifon des › finus des angles qui leur font oppofez, nous exprimerons auffi ces rapports de puissances & de charges des Machines par ceux de ces finus, dont nous nous fervirons fouvent, fans même faire mention des parallelogrammes, que pour arriver à ces finus, tant pour la fimplicité des Figures & des Démonftrations, que parce que le calcul dans les Machines eft beaucoup plus facile & plus expeditif par les finus que par que par les côtez & diagonales des parallelogrammes, dont on ne connoît prefque jamais les rapports que par le moyen de ceux de ces finus, qui pour cela feront, dis-je, fouvent fubftituées dans la fuite à ces côtez & à ces diagonales de parallelogrammes, fans en faire quelquefois aucune mention. Cependant fi l'on veut reftituer les parallelogrammes aux endroits où nous n'employons que des finus, fans faire aucune mention de ces Figures, la chofe fera aifée ; par exemple, dans les Figures 16. 17. fi l'on veut avoir en diagonale FIG. 16. & en côtez d'un parallelogramme, les rapports qui ne feroient exprimez qu'en finus d'angles BDC, ADC, ADB, il n'y a qu'à faire un parallelogramme ABCD d'une diagonale quelconque AD prife fur la ligne qui divife à volonté l'angle total BDC en deux autres partiaux ADC, ADB, & qui ait fes côtez AB, AC, fur ceux de cet angle total BDC, & alors on aura (Lem. 8. Corol 4.) la diagonale AD, & les côtez AB, AC, de ce parallelogramme ABDC, en raifon des finus des angles propofez BDC, ADC, ADB; aufquels finus on pourra confequemment substituer cette diagonale & ces côtez de parallelogramme pour exprimer par leurs rapports ceux qui ne l'étoient que par les rapports de ces finus.

17.