TL 44. $5.46.

F 1.0.47. .490 49.

FIG. 37. & fuivantes

Fig. 40. 41. 42. 43. donnera toûjours ASD ASC-
ASB. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

On trouveroit de même ASD—ASB-ASC, fi S étoit dans un des angles oppofez DAC, KAF.

PART.III. La Fig. 44. donne ASD=BAD BSD, la Fig. 45. donne ASD=BAD-BSD, & la Fig. 46. donne ASD BSD-BAD. Donc (prep.nom. 1.2.3.) ce cas du point S fur le côté AB prolongé de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 44.45.46. donnera toûjours ASD ASC. Ce qu'il falloit 3°.demontrer.

On trouveroit de même ASD ASB, fi le point S étoit quelque part fur l'autre côté AC prolongé.

PART. IV. La Fig. 47. donne ASB=BAD-+BSD ; la Fig. 48. donne ASB BAD-BSD, & la Fig. 49. donne ASB=BSD—BAD. Donc (prep.nomb. 1. 2. 3.) ce cas du point S placé quelque part fur la diagonale AD prolongée, comme on le voit dans les Fig. 47. 48. 49. donnera toûjours ASB=ASC. Ce qu'il falloit 4°. démontrer. COROLLAIRE I.

Si prefentement du point S on mene SM, SN, perjufqu'à 48. pendiculaires en M, N, fur AB, AD, prolongées, s'il est neceffaire, comme SG eft ( conftr.) perpendiculaire en G fur AC prolongée; l'on aura les aires triangulaires ASD =AD×SN, ASBAB×SM, & ASC AC×SG. Or,

FIG 37. 38.39.

Fic. 40.

1o. La Part. 1. donne ASDASB-ASC dans les Fig. 37. 38. 39. qui ont le point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours AD×SNAB×SMAC×SG, ou AD-SNAB×

SMAC×SG.

On trouveroit la même chofe, de la même maniere, fi S'étoit dans l'autre complement CAE de l'angle capital

BAC.

2o. La Part. 2. donne ASD ASC-ASB dans les Fig. €1.42. 43. 40. 41. 42. 43. qui ont le point S dans un des angles oppolez DAB, KAE. Donc en ce cas on aura toujours

ADXSNACXSG-ABxSM, ou AD-SN ACXSG

-AB-SM.

On trouveroit de même AD-SN=AB×SM-AC-SG, fi le point S étoit dans un des angles oppofez DAC,

KAF.

3°. La Part. 3.donne ASD ASC dans les Fig. 44.45. Fr 6. 44 46. qui ont le point S fur le côté AB prolongé ou non, 45.46. de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toûjours ADXSN=AC-SG, ou AD-SN=AC×SG..

48.49.

4°. La Part. 4. donne ASB ASC dans les Fig. 47.48. F10.47349.qui ont le point S fur la diagonale AD prolongée ou non. Donc en ce cas on aura toûjours AB×SMAC× SG, ou ABXSM=ACxSG..

COROLLAIRE II.

Puifque (Corol. I.nomb. 3.) AD×SN=AC-SG dans le Fig. 44.& cas du point S pris ou donné fur le côtér AB prolongé fuivantes jufqu'à 490 ou non, de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 44.45.46. & que ( Corol. 1. nomb. 4.) AB×SM=ACX SG dans le cas de ce point S pris fur la diagonale AD prolongée ou non, du parallelogramme quelconque ABDC, menée par cet angle capital BAC, comme dans les Fig. 47.48.49. On voit que dans le premier de ces deux cas on aura toujours SG. SN:: AD. AC. Et dans le fecond, SG. SM:: AB. AC. D'où l'on voit en general que fi d'un point S, pris ou donné à volonté fur un des côtez AB, AC, ou fur la diagonale AD (qui paffe par leur angle BAC) d'un parallelogramme quelconque ABDC, on mene deux perpendiculaires fur les deux autres de ces trois lines prolongées ou non ; ces deux perpendiculaires feront toujours entr'elles en raifon reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme propofé quelconque, fur lef quels ces deux perpendiculaires font à angles droits-

TIG. 39.

vantes jufqu'à 49.

C'est ce qu'on a déja vû autrement démontré dans le
Corol. 10. du Lemme 8.

SCHOLIE.

Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode 42. & fui- tous les cas du prefent Lem. 16. qu'on a employé dans tous la perpendiculaire SG au côté AC de l'angle capital BAC; car on peut aisémement s'en paffer dans les cas des Fig. 39.42. 44. 45. 46. 47, 48.49. & même la démonstration en fera plus fimple que par cette voye generale. En effet,'

1o. Dans les Fig. 39. 42. les triangles ASC, BAD, de bafes égales AC, BD, & compris entre ces mêmes paralleles, étant ainfi égaux entr'eux, l'on aura tout d'un coup ASD ASB BAD ASB+ASC dans la Fig. 39. & ASD BAD-ASB ASC-ASB dans la Fig. 42. le tout conformément à ce qu'on a trouvé de l'autre maniere pour ces deux Fig. 39. 42. dans les démonstrations des Part. I. 2.

2o. Dans les Fig. 44. 45.46. les triangles ASD, ASC, étant fur mêmes bafes AS, & entre mêmes paralleles AS, CD;'on voit encore plus promptement que ces deux triangles font égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé dans la démonftration de la Part. 3.

3°. Dans les Fig. 47.48.49. les triangles égaux ABD, ACD, ayant des hauteurs égales fur leur bafe commune AD, & ces hauteurs étant auffi celles des triangles ABS, ACS, fur leur bafe commune AS: ces deux derniers triangles feront auffi égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé pour ces trois Fig. 47.48.49. dans la démonftration de la Part. 4.

LEMME XVII

Si plus de deux puissances B, C, D, E, F, G, &c. font appliquées à autant de cordons attache ensemble par un seul & méme nœud commun A, que rien autre chofe ne retient, L'équilibre eft impoffible entre ces puissances (quelles

qu'elles

Joient,

foient,& quel qu'en foit le nombre) lorfqu'elles font dirigées de maniere qu'un plan RS puiffe paffer par ce nœud commun A de leurs cordons, fans paffer entr'elles ou entr'eux, ou fans qu'elles foient toutes dans ce plan, c'est-à-dire, fans divifer aucun des angles que ces cordons font entr'eux, & fans qu'ils foient tous dans ce même plan.

DEMONSTRATION.

Il eft vifible qu'un plan RP, qui rencontreroit ainfi en F1 0.50% A tous les cordons des puiffances fuppofées auroit toutes SI. ces puiffances tirantes d'un feul côté par rapport à lui, comme dans la Fig. 5o. ou quelques-unes tirantes vers ce feul côté-là, pendant que toutes les autres tireroient fuivant ce plan comme dans la Fig. 51. Donc de quelque maniere que l'on combine toutes ces puiffances, il ne réfultera du concours de toutes qu'une impreffion totale vers le côté où il y aura des puiffances hors le plan fuppofé. Donc il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puiffances, aufquelles rien d'ailleurs ( Hyp.) ne s'oppofe. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient) attachez enfemble par un feul & même noeud, & quelques puiffances qu'on leur applique, une à chacun, l'équilibre fera impoffible entre ces puiffances.

1o. Dans le cas de tous les cordons en même plan, si le prolongement de quelqu'un d'eux ne divife pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux; puifqu'un autre plan que le leur, mené fuivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur noud commun fans paffer entr'eux, & fans qu'ils fuffent tous dans ce plan.

2o. Dans le cas des mêmes cordons en plans differens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne paffe pas à travers des cordons des autres plans; puifque celui-là fera

M

lui-même un plan qui rencontrera tous ces cordóns en leur nœud commun fans passer entr'eux.

COROLLAIRE II..

Il fuit encore de ce Lemme-ci, que quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient encore) attachez ensemble par un feul & même nœud, qui foit regardé comme le centre d'un cercle, ou d'une fphere; que fi ces cordons ne font pas répandus en plus d'une demi-sphere, lorfqu'ils font en plans differens, & en plus d'un demi-cercle, s'ils font en même plan; quelques puiffances qu'on leur applique, une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles fuivant ces directions; puifqu'on pourra faire paffer un plan par le noeud commun, fans qu'il paffe entre ces cordons, & fans qu'ils foient tous dans ce plan.

LEMME XVIII.

I. Lorfque tous les cordons iffus d'un même næud, font dirigez fuivant un méme plan, & répandus en plus d'un demi-cercle, il n'y en a aucun qui prolongé par de-là ce nœud · commun, ne passe entre les autres cordons, c'est-à-dire, à travers quelqu'un de leurs angles.

Car s'il n'y paffoit pas, il feroit le diametre terminant d'un demi-cercle, dans lequel feul lui & les autres cordons feroient alors tous répandus; ce qui eft contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothefe de tous les cordons dirigez fuivant un même plan, & répandus en plus d'un demi-cercle 3. quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine fur ce plan par le næud commun, fans passer par aucun d'eux ; elle passera toûjours de part & d'autre du naud à travers deux des angles que ces cordons font entr'eux.