Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]

FIS: 44•

[ocr errors]

.

F1.8.47.

Fig. 40. 41. 42. 43. donnera toujours ASD=ASC-
ASB. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

On trouveroit de même ASD=AS BRASC, si s étoit dans un des angles opposez DAC, KAF.

PART. III. La Fig. 44. donne ASD=BAD-7BSD, la Fig. 45. donne ASD=BAD-BSD, & la Fig. 46. donne ASD=BSD-BAD. Donc ( prep.nom. 1. 2. 3.) ce cas du point S sur le côté AB prolongé de l'angle capital BAC, comme on le voit dans les Fig. 44.45:46. donnera toùjours ASD=ASC. Ce qu'il falloit 3o. demontrer.

On trouveroit de même ASD=ASB, si le point S étoit quelque part sur l'autre côté AC prolongé.

PART. IV. La Fig. 47. donne ASB=BAD-+-BSD ; 4. 49.

la Fig. 48. donne ASB=BAD-BSD, & la Fig. 49. done ne ASB=BSD-BAD. Donc (prep.nomb. 1. 2.3. ) ce cas du point S placé quelque part sur la diagonale AD prolongée, comme on le voit dans les Fig. 47. 48.49. donnera toûjours ASB=ASC. Ce qu'il falloit 4'. démontrer.

COROLLAIRE I. Si presentement du point S on mene SM , SN, perjufqu'il 45. pendiculaires en M, N, lur AB, AD, prolongées , s'il est jusqu'à 48 necessaire, comme SG est ( constr.) perpendiculaire en G

ll sur AC prolongée ; l'on aura les aires triangulaires ASD =ADxSN, ASB=ABxSM , & ASC=ACxSG. Or,

1°. La Part. 1. donne ASD=ASB-+ASC dans les Fig. 38.39.

37: 3 8.39. qui ont le point S dans le complement BAF de l'angle capital BAC. Donc en.ce cas on aura toûjours

ADxSN=ABxSM + ACxSG , ou ADxSN=ABX SM-TACxSG.

On trouveroit la même chose, de la même maniere, fi S'étoit dans l'autre complement CAE de l'angle capital

BAC FIC. 40.

2°. La Part. 2. donne ASD=ASC-ASB dans les Fig. €1.42. 43. 40. 41. 42. 43. qui ont le point S dans un des angles

oppolez DAB, KAE. Donc en ce cas on aura toujours

FIG. 37
& suivantes

[ocr errors]
[ocr errors]

FIG 37

[ocr errors]

ADxSNSACxSG-ABxSM, ou ADxSNEACxSG
ABXSM.

On trouveroit de même ADxSN=ABxSM-ACxSG, si le point S étoit dans un des angles opposez DAC, KAF.

3o. La Part. 3.donne ASD=ASC dans les Fig. 44.45. 116. 44 46. qui ont le point S sur le côté AB prolongé ou non, 45. 46. de l'angle capital BAC. Donc en ce cas on aura toujours ADxSN=ACxSG , ou ADRSN=AÇxSG.

4o. La Part. 4. donne ASB=ASC dans les Fig. 47.48. F16:47. 49. qui ont le point S sur la diagonale AD prolongée ou non. Donc en ce cas on aura toûjours - ABRSM= ACx SG, ou ABxSM=ACxSG.

48.49

COROLLA IRE II.

fuivantes

ou non ,

Puisque ( Corol. 1. nomb. 3. ) ADXSN=ACxSG dans le Fio.44. & cas du point S pris ou donné sur le côtér AB prolongé

jusqu'à 49. de l'angle capital BAC, comme dans les Fig. 44.45.-46. & que ( Corol. 1. nomb. 4.) ABxSM=ACX SG dans le cas de ce point S pris sur la diagonale AD prol yngée ou non , du parallelogramme quelconque AEDC, menée par cet angle capital BAC, comme dans les Fig. 47.48.49. On voit que dans le premier de ces deux cas on aura toujours SG. SN::AD. AC. Et dans le second, SG.SM:: AB. AC. D'où l'on voit en general que si d'un point S, pris ou donné à volonté sur un des côtez AB, AC, cu sur la diagonale AD ( qui passe par: leur angle BAC ) d'un parallelogramme quelconque ABDC, on mene deux perpendiculaires sur les deux autres de ces trois li nes prolongées ou non ; ces deux perpendiculaires seront toujours entr'elles en raison recipruque des deux cîtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme proposé quelconque, sur lefquels ces deux perpendiculaires sont à angles droits.

[ocr errors]
[ocr errors]

C'est ce qu'on a déja vû autrement démontré dans le
Corol. 10. du Lemme 8.

SCHOLIE.
IG:39.

Ce n'a été que pour démontrer par la même méthode 42.& fui tous les cas du present Lem. 16. qu’on a employé dans qu'à 49.

tous la perpendiculaire SG au côté AC de l'angle capital BAC ; car on peut aisémement s'en passer dans les cas des Fig: 39:42. 44. 45. 46. 4748.49. & même la

& démonstration en fera plus simple que par cette voye generale. En effet,

1°. Dans les Fig. 39. 42. les triangles ASC,BAD, de bases égales AC, BD, & compris entre ces mêmes paralleles , étant ainsi égaux entr'eux, l'on aura tout d'un coup ASD=ASB-BAD=ASB-+ASC dans la Fig. 39. & ASD=BAD-ASB=ASC-ASB dans la Fig. 42. le tout conformément à ce qu'on a trouvé de l'autre maniere pour ces deux Fig. 39.42. dans les démonstrations des Part. I. 2.

2°. Dans les Fig. 44. 45. 46. les triangles ASD, ASC, étant sur mêmes bases AS, & entre mêmes paralleles AS, CD ;'on voit encore plus promptement que ces deux triangles sont égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé dans la démonstration de la Part. 3.

3°. Dans les Fig. 47.48.49. les triangles égaux ABD, ACD, ayant des hauteurs égales sur leur base commune AD, & ces hauteurs étant aussi celles des triangles ABS, ACS, sur leur base commune AS : ces deux derniers triangles seront ausli égaux entr'eux, conformément à ce qu'on en a trouvé pour ces trois Fig. 47.48.49. dans la démonstration de la Part. 4.

L Ε Μ Μ Ε ΧVΙΙ. Yie.co.SI:

Si plus de deux puissances B, C, D,E,F,G, &c. font appliquées à autant de cordons attachez ensemble par un seul e même næud commun A, que rien autre chose ne retient , l'équilibre est impossible entre ces puissances ( quelles qu'elles

Joient,

110.44

45.46.

P16:47· 48. 49.

.

[ocr errors]

si.

.

[ocr errors][subsumed]

foient, da quel qu'en soit le nombre ) lorsqu'elles sont dirigées de maniere qu'un plan RS puisse passer par ce næud commun A de leurs cordons, sans passer entr'elles ou entr'eux , ou sans qu'elles soient toutes dans ce plan, c'est-à-dire , sans diviser autun des angles que ces cordons font entr'eux, sans qu'ils foient tous dans ce même plan.

DEMONSTRATION. Il est visible qu’un plan RP, qui rencontreroit ainsi en F1o.sor A tous les cordons des puissances supposées auroit toutes ces puissances tirantes d'un seul côté par rapport à lui, comme dans la Fig. so. ou quelques-unes tirantes vers ce seul côté-là, pendant que toutes les autres tireroient suivant ce plan comme dans la Fig. 3 1. Donc de quelque maniere que l'on combine toutes ces puissances, il ne résultera du concours de toutes qu’une impression totale vers le côté ou il y aura des puissances hors le plan supposé. Donc il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puissances, ausquelles rien d'ailleurs ( Hyp.) ne s'oppose. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLA'I R E I. Donc quelques soient les directions de plus de deux cordons ( en quelque nombre qu'ils soient ) attachez ensemble par un seul & même næud, & quelques puissan

, ces qu'on leur applique, une à chacun, l'équilibre sera impoflible entre ces puissances.

1o. Dans le cas de tous les cordons en même plan, si le prolongement de quelqu'un d'eux ne divise pas quelqu’un des angles que les autres cordons font entr'eux; puisqu'un autre plan que le leur, mené suivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur noud commun sans passer entr'eux, & sans qu'ils fussent tous

2°. Dans le cas des mêmes cordons en plans differens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne passe pas à travers des cordons des autres plans ; puisque celui-là sera

M

dans ce plan.

lui-même un plan qui rencontrera tous ces cordons en leur næud commun sans passer entr'eux.

COROLL AIRE I 1.. Il suit encore de ce Lemme-ci, que quelques soient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils soient encore ) attachez ensemble par un seul & même næụd, qui soit regardé comme le centre d'un cercle , ou d'une sphere; que si ces cordons ne sont pas répandus en plus d'une demi-sphere , lorsqu'ils font en plans differens, & en plus d'un demi-cercle, s'ils sont en même plan ; quelques puissances qu'on leur applique, une à chacun , elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles suivant ces directions ; puisqu'on pourra faire passer un plan par le neud. commun , sans qu'il passe entre ces cordons, & sans qu'ils soient tous dans ce plan.

LE M ME XVIII.

[ocr errors]

1. Lorsque tous les cordons issus d'un même næud, sont dirigez suivant un méme plan', e répandus en plus d'un demi-cercle , il n'y en a aucun qui prolongé par de-ce næud commun , ne passe entre les autres cordons, c'est-à-dire , à travers quelqu'un de leurs angles.

DEMONSTRATION.

ز

[ocr errors]

Car s'il n'y passoit pas, il seroit le diametre terminant d'un demi-cercle, dans lequel feul lui & les autres cordons seroient alors tous répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothese de tous les cordons dirigez suivant un méme plan , & répandus en plus d'un demi-cercle ; quelque ligne droite qu’on mene ou qu'on imagine sur ce plan par le næud commun, sans passer par aucun d'eux ; elle passera toujours de part er d'autre du næud à travers deux des angles que ces gordons font entr'eux.

« AnteriorContinuar »