me diagonale AD du parallelogramme ABDC. Par con fequent cette force ou impreffion refultante du concours de ces deux puiffances P, R, fera non feulement égale & directement oppofée à la pefanteur du poids K, mais encore (Lem. 3. Corol. 5.) elle fera à chacune de ces mêmes puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions. Donc auffi le poids K ou fa pefanteur fera de même ici à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD eft à chacun des côtez AB, AC, qui leur répondent dans le parallelogramme ABDC. Ce qu'il falloit 3°. dé

montrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) P.R:: AB. AC. la direction de la force réfultante du concours de ces deux puiffances P, R, doit être ( Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1.) de A vers D fuivant la diagonale AD du parallelogramme ABDC. Or dans le cas d'équilibre ici fuppofé, cette direction doit être (part. 1.) en ligne droite avec celle KX du poids K. Donc en ce cas d'équilibre la diagonale AD doit être fur cette direction XK prolongée du côté de K; & confequemment (part. 3.) le poids K doit être ici à chacune des puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp.) le poids K eft à chacune des puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC, prise fur la direction XK prolongée de ce poids, eft à chacun de fes côtez AB, AC, pris auffi fur les directions prolongées AP, AR, de ces deux puiffances, par le concours, & dans le plan defquelles directions paffe (Hyp.) celle du poids Kà travers leur angle PAR; l'on aura ici P. K; : AB. AD. Et K. R:: AD. AC. Donc (en raifon ordonnée) P.R:: AB. AC. Par confequent (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1. 2.) les puiffances P,R, doivent tirer le poids K de A vers D fuviant AD direction

N

(Hyp.) prolongée KX de ce poids dans le plan de leurs cordes, & d'une force contraire à la fienne, laquelle force contraire foit à chacune de ces deux puiffances P, R, comme cette diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de les côtez AB, AC, qui leur répondent. Mais la force de ce poids ou fa pefanteur eft aufli (Hyp.) en cette même raifon à chacune de ces deux puiffances.. Donc la pefanteur de ce poids K eft ici directement contraire & égale à la force refultante du concours d'action des puiffances P, R, contre lui. Par confequent (4x. 3

Corol. I.du princ. gener.) ce poids doit ici demeurer en équilibre avec les deux puiflances. Ce qu'il falloit 5°.dé

montrer.

Autrement. Si le poids K ne faifoit. pas ainfi équilibre avec les puiffances P, R, foit en fa place tel autre poids Z qu'on voudra, qui appliqué fuivant fa direction Ax contre les puiffances P, R, dirigées comme ci-deffus, faffe équilibre avec elles. La part. 3. fait voir que ce nouveau poids Z feroit alors à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC eft à chacun de fes côtez correfpondans AB, AC, fur leurs directions, c'est-à-dire (Hyp.) comme le poids K est à chacune de ces deux mêmes puiffances P, R; & par confequent que ce poids K feroit égal à l'autre Z fubftitué en fa place fuivant fa direction. Donc (Ax. 2.) ce poids K feroit pareillement équilibre ici avec les deux mêmes puillances P, R. Ce qu'il falloit encore 5o.. dé

montrer...

PART. VI. Puifque les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, font ici (Hyp.) entr'eux comme les puiffances P, R, fur les directions defquelles ils fe trouvent, la force refultante du concours de ces deux puiffances fera ici ( Lem. 3. Corol. 5.) de A. vers D fuivant AD, & à chacune d'elles comme la diagonale AD de ce parallelogramme BC, eft à chacun de fes côtez AB, AC, correfpondans fur les directions de ces deux puiffances. PR, c'eft-à-dire (Hyp.) comme le poids K eft à chacune

d'elles ; & confequemment ce poids K fera ici égal à cette force refultante du concours d'action de ces deux puiffances P, R, contre lui. Donc la direction de cette force venant d'être trouvée de A vers D fuivant AD, & celle du poids K étant ( Hyp.) de D vers A fuivant la même DA ce poids & cette force, c'est-à-dire, ce poids & les deux puiffances P, R, du concours defquelles cette force refulte, demeureront ici (Ax. 3. & Corol. 1. du princ. gener.) en équilibre entr'eux. Ce qu'il falloit 6°. dé

montrer.

COROLLAIRE I.

En cas d'équilibre la part. 3. de ce Théoreme-ci donnant P. K:: AB. AD. Et K. R:: AD. AC. l'on aura ici (en raison ordonnée) P. R:: AB. AC. comme dans la part. 4. c'est-à-dire, les puiffances P, R, entr'elles en raifon des côtez AB, AC, qui leur répondent fur leurs directions dans le parallelogramme ABDC. Par confequent fi d'un point quelconque L de fa diagonale AD prolongée, on mene LM, LN, perpendiculaires fur les directions AP, AR, de ces deux puiffances P, R; ces mêmes puiffances feront auffi entr'elles (Lem.-8.) en raison reciproque de ces perpendiculaires : c'est-à-dire, P. R:: LN LM. Ce qui donnant P×LM=R×LN, on voit qu'en cas d'équilibre entre les puiffances P, R, & le poids K, les produits de ces deux puiffances P, R, par les perpendiculaires LM, LN, menée de quelque point L que ce foit de la direction du poids K, font toûjours alors égaux

entr'eux.

COROLLAIRE II.

Mais en prenant AL pour le finus total, on fçait ( Déf. 9. Corol. 1.) que ces perpendiculaires LN, LM, font les finus des angles LAN, LAM. Donc auffi Corol. 1.) les puiffances PR, font pareillement ici en raifon reciproque des finus des angles LAM, LAN, que leurs directions AP, AR, y font avec celle AD du poids K; & par con

fequent (Déf. 9. Corol. 2.) ces mêmes puiffances P, R, y font auffi entr'elles en raison reciproque des finus des angles PAX, RAX, complemens chacun de chacun de ces deux-là à deux droits ; c'eft-à-dire, que P eft ici à R, comme le finus de l'angle LAN au finus de l'angle LAM; ou P à R, comme le finus de l'angle RAX au finus de l'angle PAX.

COROLLARE HII.

Si pour nous exprimer plus aifément, on fuppofe une troifiéme puiffance appellée K à la place du poids de ce nom, laquelle fuivant la direction KX ou AD de ce poids, faffe comme lui équilibre avec les deux P, R, qui le foûtiennent; on trouvera par le Lem.8. comme dans le Corol. 1. que ces trois puiffances P, R, K, prifes à volonté deux à deux, font toûjours entr'elles en raifon reciproque des perpendiculaires menées d'un point quelconque de la direction de la troifiéme fur les leurs ; c'est-à-dire, en raison reciproque des distances de leurs directions à quelque point que ce foit de celle de la troifiéme de ces puiffances; & confequemment (comme dans le Corol. 2.). que deux de ces trois puiffances prifes ainfi à volonté, font toûjours entr'elles en raifon reciproque des finus des angles que leurs directions font avec celle de la troifiéme puiffance.

On ne trace point ici les perpendiculaires mentionnées dans le précedent Corol. 3. de peur d'embrouiller les Figures par la multiplicité des lignes, il est aisé de les imaginer fur celles du Lem. 8.

COROLLAIRE IV.

De plus puifque (Corol. 1.) en ce cas d'équilibre P. R:: AB.AC. Et R.K:: AC. AD. les trois puiffances P, R, K, y feront toujours entr'elles en raifon des lignes AB, AC, AD, ou (à caufe de BD-AC) en raifon des côtez AB, BD, AD, du triangle ABD ; & confequemment aufsi toûjours entr'elles ( Lem. 8. Corol. 2.) en raison des finus

t

des angles ADB, DAB, DBA, ou ( Déf. 9. Corol. 2.) des finus des angles DAR, DAP, PAR, ou bien auffi ( Lem. 8. Corol. 5.) des finus des angles RAX, PAX, PAR, complemens chacun de chacun de ceux-là à deux droits; c'est-à-dire, que ces trois puiffances P, R, K, feront tou jours ici entr'elles en raifon des finus des angles RAX, PAX, PAR, que leurs directions prolongées traverseroient, ou traverfent en effet.

COROLLA FRE V.

D'où l'on voit que de ces trois puiffances P, R, K, fuppofées en équilibre entr'elles, de quelque maniere qu'on les prenne, & quelques angles que leurs directions faffent entr'elles, chacune fera toûjours à chacune des deux autres, comme le finus de l'angle que font entreelles les cordes ou directions de ces deux autres puiflances, fera à chacun des finus des angles que ces directions reciproquement prises font avec la fienne, qui (part. 1.) fe trouve toujours dans le concours de ces deux-là, & dans leur plan: par exemple, K fera à P, comme le finus de l'angle PAR au finus de l'angle RAX, ou RAD; K fera à R, comme le finus du même angle PAR au finus de l'angle PAX ou PAD; & conformément au Corol. 2. P fera à R, comme le finus de l'angle RAX ou RAD, au finus de l'angle PAX ou PAD.

COROLLAIRE V I.

Si l'on imagine prefentement un autre triangle ILM de trois côtez LM, LI, MI, perpendiculaires en M, N, O, aux trois directions ou cordons prolongez AP, AR, AX, de ces trois puiffances, P,R,K; le Corol. 8. du Lem. 8. fait voir que ces trois côtez LM, LI, MI, du triangle ILM, seront entr'eux comme les finus des angles RAX, PAX, PAR, que traverferoient, ou que traverfent en effet les directions prolongées, aufquelles ils font (Hyp.) perpendiculaires. Donc (Corol. 4.) ces trois côtez LM, LÌ, MI, de ce nouveau triangle ILM, feront