continuelle M des lignes AM, a D, décrira dans ce mouvement la Section requife.

Car menant MP perpendiculaire fur l'axe Aa, les triangles femblables a PM, a GD, donnent a P. PM:: a G. GD. Or les triangles rectangles AGD, MPA, font femblables; puifque chacun des angles GAD P MA; étant joint à l'angle PAM, vaut un droit; Et partant AP. PM :: GD. GA. Si donc l'on mul. tiplie les Antecedens & les Confequens des deux premieres raifons, par ceux de ces deux dernieres; on

2

aura a P PA. PM :: a G×G D. GD×GA :: a G. GA ›

c'est à dire, comme l'axe A a eft à fon parametre. Donc

* &c.

Il eft à remarquer que plus le point D s'éloigne du point G fur la ligne DD; plus l'angle Pa M augmente, & plus au contraire l'angle PAM diminue; de forte que les lignes a M, AM, deviennent paralleles dans 'Hyperbole, & fe coupent enfuite de l'autre côté de la ligne DD, où elles décrivent par leur interfection continuelle l'Hyperbole oppofée.

Si l'on conçoit dans l'Ellipfe & dans l'Hyperbole, que le point a s'éloigne à l'infini du point 4, ou (ce qui eft la même chofe) que l'axe Aa devienne infiniment grand; les lignes GA, Da, qui ne fe rencontrent que dans l'infini, peuvent être regardées comme paralleles : ainfi cette derniere conftruction retombe dans le cas de la précédente. C'est pourquoi l'Ellipfe ou l'Hyperbole deviendroit alors une Parabole qui auroit pour parametre la ligne AG ; & par confequent on peut regarder une Parabole, comme une Ellipfe ou une Hyperbole dont l'axe est infini : fçavoir, le premier dans l'Hyperbole, & celui des deux qu'on voudra dans l'Ellipse.

SECONDE MANIERE.

* Art. 41.

& 81.

Pour la Parabole. Soit un triangle ifofcelle HAL, FIG. 84dont l'un des côtés A H foit fitué fur le diametre don

né AP prolongé indéfiniment de part & d'autre de son

origine A, & l'autre côté AL fur la tangente indéfinie LAL qui paffe par le point A. Soit conçue fa bafe H L fe mouvoir toujours parallelement à elle même en entraînant par l'une de fes extremités Z la ligne indefinie LM parallele à AP, & par l'autre extremité H la ligne HF parallele à AL & égale au parametre donné du diametre AP, laquelle entraîne auffi par fon extremité F la droite FA mobile autour du point fixe 4. Je dis que l'interfection continuelle M des deux droites FA, LM, décrit pendant que la ligne HL fe meut dans l'angle HAL & fon oppofé ou fommet, la Parabole MAM qu'on demande.

Car menant l'ordonnée MP au diametre AP, les triangles femblables AHF, APM, donnent A Hou AL ou PM. HF:: AP. PM, & prenant PM *Art. 7. & AP HF. Donc * &c.

20.

FIG. 85 86.

=.

On doit obferver que le point H doit tomber au delà de l'origine A du diametre AP; lorfque les points F, L, tombent de part & d'autre de ce diametre.

Pour les autres Sections. La conftruction eft la même que pour la Parabole, à l'exception que la ligne L M doit tourner autour de l'autre extremité a du diametre donné Aa; au lieu que dans la Parabole elle lui eft parallele. On fuppofe dans l'Hyperbole que le diametre donné eft un premier diametre; car fi c'étoit un fecond, on trouveroit felon l'article 115 du Livre troifiéme, le premier qui lui eft conjugué & fon parametre.

Car menant MP ordonnée au diametre Aa, les triangles femblables a P M, a AL, & APM, AHF, donnent a P. PM: a A. A Lou AH. Et AP. PM:: AH. HF.. Et partant, fi l'on multiplie les Antecedens & les Confequens des deux premieres raifons par ceux des deux fecondes, on aura a PPA. PM :: a A *-AH. *Art.41.55. A HHF::a A, HF. Donc * &c.

81.118.

.

Il faut obferver que les points H, a, doivent tomber de part & d'autre du point A dans l'Ellipfe, & du même côté dans l'Hyperbole, lorfque les points F, L, tom

162. DE LA on voit comment un diametre Aa étant donné avec une de fes ordonnées PM; on peut trouver fon parametre HF. Car 1°. Dans la Parabole on FIG. 84. prendra fur le diametre AP la partie A H égale à PM; & ayant tiré la ligne HF parallele à PM, & terminée en F par la ligne AM tirée de l'origine A du diametre par l'extremité M de l'ordonnée; il eft clair que cette ligne HF fera le parametre du diametre A P.

2o. Dans les autres Sections, on menera par l'une des FIG. 85.86. extremités a du diametre donné A a la ligne a M qui rencontre la tangente AL, qui paffe par l'autre extremité A, au point ; & ayant pris fur le diametre A a la partie AH égale à A L, on tirera H F parallele à PM, laquelle rencontrant en F la ligne A Ṁ, fera le para

metre du diametre Aa.

COROLLAIRE II.

163. ON tire de la feconde maniere qu'on vient d'expliquer, une methode uniforme & trés-exacte dans la pratique de décrire une Section Conique par plufieurs points. La voici dans l'Ellipfe : & elle fervira de Regle pour les autres Sections.

Ayant pris fur la tangente AL, qui paffe par l'une des F1G. 87. extremités A du diametre donné Aa, la partie AG égale à fon parametre, & mené une parallele indéfinie G F à Aa; on tirera librement par le point A autant de lignes droites AF, AF, &c. qu'on voudra. Ayant pris fur la tangente indéfinie AL, les parties AL, AL, &c. égales aux correfpondantes GF, GF, &c. & mené les droites a L, a L, &c ; je dis que les interfections M,M, &c. des droites correfpondantes FA, La, FA, La, &c. feront des points de l'Ellipfe qui a pour diametre la ligne Aa, pour tangente la ligne AL, & pour parametre du

* Hyp.

diametre Aa la ligne AG. Cela eft vifible en menang FH parallele à AG, & tirant la ligne HL par le point I correfpondant au point F. Car le triangle HAL fera ifofcelle; puifque* AL eft egale à GF ou AH, & HF fera égale au parametre du diametre Aa: c'est pourquoi cette conftruction retombe dans celle de la feconde des deux manieres précedentes.

Comme les lignes GF, AL, deviennent fort grandes, lorfqu'il s'agit de trouver des points M qui foient proches du point a; on pourra fe fervir, pour trouver ces points, de la tangente al qui paffe par l'autre extremité a du diametre Aa, & de la ligne gf parallele à Aa, comme l'on voit dans cette figure.

Si l'on mene les ordonnées MP, MP, &c paralleles. à la tangente AL, & qu'on les prolonge de l'autre côté du diametre a en M, M, &c. en forte qu'elles foient coupées chacune en deux egalement par ce diametre ; * Art. 43. il eft clair que ces nouveaux points M, M, &c. feront encore à la même Ellipfe.

FIG. 85.89.

On pourroit fe fervir d'une même ouverture de compas GF ou AL pour marquer fur les lignes GF, AL, autant de points F, F, &c, L, E, &c, qu'on voudra; car par ce moyen toutes ces petites parties étant egales entr'elles, chaque G F feroit égale à la correfpondante. AL; ce qui eft le fondement de la démonstration.

PROPOSITION XIIL

Theorême.

164. S'11 y a deux droites MN, AR, terminées par 90.91. une Section Conique, lefquelles fe rencontrent en un point P, &qui foient paralleles à deux droites données de pofition ; je dis que le rectangle MP PN fera toujours au rectangle APPR en raifon donnee en quelque endroit de la Section que puiffent tomber les droites MN, AR.

POUR