qui soient entr'elles comme les diametres AH, ah, on tire par les points L, L, les doubles ordonnées EF, ef: il est evident, dis je, que les segmens EAF, eaf, des deux Sections AM, am, sont semblables entr'eux.

COROLLAIRE IV..

202. Si deux segmens BAD, bad, sont semblables entr'eux ; & que l'un d'eux foit le segment d'une Ellipse ou d'une Hyperbole AM, qui ait pour un de ses diametres quelconques la ligne AH dont le parametre est AG; Je dis que l'autre bad fera le segment d'une autre Ellipse ou d'une autre Hyperbole am, qui aura pour l'ua de les diametres semblables à AH, la ligne ah qui sera en même raison avec son parametre ag, que AH avec le sien AG. Car ayant placé le segment bad, au dedans du segment BA D, en forte que la soûtendante b d foit parallele à la soûtendante BD, & que les lignes Bb, Dd, concourent en un point L du diametre AH (ce qui eft toûjours possible), & infcrit dans l'un & l'autre deux figures rectilignes quelconques semblables; on prouvera comme dans la Parabole article 197. que les droites L M, LN, LO, passeront par les points correspondans m, n, •, où elles seront divisées en même raison que LB l'eft. en b, ou Den d.

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Maintenant si l'on divise les parties LA, LH, du diametre AH aux points a, h, en même raison que

* Art. 161. LB l'est en b; & qu'on décrive + du diametre ah & du parametre ag qui soit au parametre AG du diametre AH, comme La est à LA, ou a bà AH, une Ellipse ou une Hyperbole am, dans les ordonnées pm soient paralleles aux ordonnées P M de l'autre Ellipse ou Hyperbo

* Art. 198. le A M: il est évident * qu'elle passera par tous les points b,m,n,o, d, qui divisent dans la raison donnée de bd à BD toutes les droites LB, LM, LN, LO, LD. Or comine ce raisonnement subsiste toûjours tel que puiffe être le nombre des côtés des figures rectilignes. semblables,

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semblables BMNOD, bmnod, & de telle grandeur qu'ils puissent être; il s'enfuit que l'Ellipse ou l'Hyperbole am passe par tous les mêmes points par lesquels passe le segment bd, & qu'ainsi ce segment en est une portion, Ge qu'il falloit demontrer.

COROLLAIRE. V.

203. IL est donc évident que si deux Ellipses ou deux Hyperboles A M, am, sont semblables, & qu'on pren ne dans la Section A M un de ses diametres quelconques AH; il y aura toûjours dans l'autre Section am un diametre ah semblable à AH, qui aura avec son parametre ag la même raison que AH avec le sien AG: & qu'ainsi les diametres semblables A H, ah, feront en même raison avec leurs diametres conjugués. Or comme dans ane Ellipse ou Hyperbole il ne peut y avoir * que deux * Art. 66. differens diametres conjugués qui fassent entr'eux les mê. 128. mes angles, & que ces diametres ne different que par leur position, leur grandeur demeurant la même ; il s'enfuit que dans les Ellipses ou les Hyperboles semblables tous les diametres conjugués qui feront les mêmes angles,, feront entr'eux en même raison; observant de prendre pour les antécédens de ces deux raisons les plus grands de ces deux diametres conjugués, & pour confequens les moindres..

PROPOSITION III.

Theorême.

204. Si l'on mene dans une Section Conique deux paral- Fic. 110, leles quelconques BD, EF, terminées par la Section; & qu'on 111. joigne leurs extremités par deux droites BE, DF; je dis que les fegmens BMEB, DMFD, compris par des portions de la Section, & par les droites qui joignent les extremités des pa ralleles, feront égaux entr'eux...

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Car ayant prolongé les soûtendantes BE, DF, juf qu'à ce qu'elles se rencontrent en un point G, & ayant mené par ce point & par le point de milieu H de la ligne BD, la droite GH; il est clair qu'elle divisera par le milieu en K la parallele E F à BD, comme aussi par le milieu en P un autre parallele quelconque 0 à la même ligne BD. Donc la ligne HK sera un diametre *Art. 146. * qui aura pour ordonnées de part & d'autre les paralle. les BD, EF; & partant si l'on mene par un de ses points quelconques P une parallele à ces lignes, elle rencontre

Art. 144. ra la Section en deux points M, M, également éloignés du point P; d'où l'on voit que les parties MO, OM, de la même parallele M Mà BD, comprises dans les segmens BMEB, DMFD, sont toûjours égales entr'elles, en quelque endroit que puisse tomber cette parallele en* Art. 186. tre les lignes BD, EF. Il est donc évident * que ces deux segmens seront égaux entr'eux.

Si les soûtendantes BE, DF, étoient paralleles entr'elles, il faudroit mener par le point de milieu H de la ligne BD une droite HK parallele à ces foûtendantes, & la demonstration demeureroit toûjours la même.

COROLLAIRE I.

205. PUISQUE PM est toûjours égale à PM; il s'enfuit 1o. Que les Trapeses Coniques KHBE, KHDF, font égaux entr'eux. 2°. (Lorsque la ligne B D au lieu de rencontrer la Section en deux points la touche en un point A) que les Trilignes Coniques AKE, AKF, font égaux; & qu'ainsi les segmens AEMA, AFMA, le sont auffi; puisque le triangle A E F est divisé en deux parties égales par le diametre AK qui passe par le milieu de E F.

COROLLAIRE II.

206. Si la Section étant une Parabole, une Ellipse, ou une Hyperbole, l'on mene par les extremités des paralleles

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