BD, EF, les droites BF, DE, qui s'entrecoupent entre ces paralleles; les segmens BFDAB, DEBAD, feront égaux entr'eux. Car les triangles BFD, BED, qui font entre les mêmes paralleles BD, EF, & qui ont la même base BD, sont égaux entr'eux ; & partant fi l'on ajoûte d'une part le segment DMFD plus le segment BADB, & de l'autre BMEB égal au segment DMFD, plus aussi le même segment BADB; les touts BFDAB, DEBAD, feront égaux entr'eux. COROLLAIRE III 270. DE-LA un point donné D sur une Section Conique, deux feg- Si le point donné tomboit sur l'üne des extremités du fegment donné que je suppose être à present DG ED, il faudroit mener par l'autre extremité G, une parallele G F à la tangente qui passe par le point D; & tirant par le point F où cette parallele rencontre la Section, & par le point donné D, la soûtendante DF, il est clair que le fegment DFBD sera égal au segment donné DGED. Il est visible qu'il ne peut y avoir dans ce dernier cas. que le seul segment DFBD qui soit égal au segment donné DGED; puisque tout autre segment qui aura pour l'une de ses extremités le point donné D, sera plus grand ou moindre que le segment D F BD, selon que son autre ex-tremité sera plus proche ou plus éloignée du point Di que n'est le point F. D'où il suit que si deux segmens DGED, DFBD, qui ont une extremité commune D, sont égaux FIG. 113. entr'eux ; & que si l'on mene par le point D une parallele à la droite G F qui joint leurs autres extremites, elle fera tangente en D. COROLLAIRE IV. 208. ON tire du Corollaire précédent une maniere toute nouvelle & fort aitée de mener une Tangente par un point donné D sur une Section Conique donnée. Car ayant tiré par ce point deux droites quelconques DB, DE, qui rencontrent la Section aux points B, E, on menera par le point B une parallele B G à DE, & par le point E une parallele EFà BD, lesquelles rencontrent la Section aux points G, F, que l'on joindra par une ligne droite GF, à laquelle on tirera par le point Dune parallele qui fera la tangente cherchee; puisque les segmens DGED,DFBD, étant égaux chacun au même segment BEDB, le feront entr'eux. PROPOSITION IV. Theorême. 209. S'IL y a dans une Ellipse, dans une Hyperbole, 114. & 115. ou dans les Hyperboles opposées deux lignes droites BD, EF, paralleles entr'elles & terminées par la Section; & qu'on tire du centre Cles demi-diametres CB, CE, CD, CF, les Secteurs Elliptiques ou Hyperboliques CBE, CDF, feront égaux entr'eux. Car menant par les points de milieu H, K, des droi. tes BD, EF, le diametre CK les triangles CHв, CHD, & CKE, CKF, feront égaux entr'eux ; puis qu'ils ont le même sommet C, & que leurs bases HB, HD, & KE, K F, font égales. Par consequent (fig. 114.) KHBE-CBE=CKE_CHB=CKFJCHD= =KHDF+CDF; & (fig. 113. 115.) KHBE_CBE =CHB4 CKE=+CHD4CKF=KHDF_ CDF. Donc puisque les Trapeses Coniques KHBE, KHDF, font * égaux, il s'enfuit que les Secteurs Ellip- * Art. 205. tiques ou Hyperboliques CBE, CDF, le feront auffi. COROLLAIRE I. 210. Si la Section est une Ellipse, ou une Hyperbo- FIG. 113. le; & que la ligne B D parallele à EF, devienne tangen- 114. te en A; il est clair que les Secteurs CAE, CAF, feront égaux entr'eux. Car prolongeant le demi. diametre C A jusqu'à ce qu'il rencontre la ligne E Fau point K cette ligne sera coupée en deux également en ce point; & par conféquent les triangles CKE, CKF, feront égaux. Or les trilignes Coniques AKE, AKF, le font **aufsi. Donc &c. COROLLAIRE II. 211. D E-LA on voit que pour diviser en deux parties égales un Secteur Elliptique ou Hyperbolique quelconque CEF; il n'y a qu'à mener le demi. diametre CA qui divise par le milieu en K la soûtendante E F de ce Secteur. Ce qui donne encore les Secteurs CBE, CDF, égaux entr'eux, en supposant BD parallele à EF. Car ayant de cette maniére les Secteurs CAE, CAF, & CAB, CAD, égaux entr'eux, les Secteurs CBE, CDF, qui en font les differences, doivent aussi être égaux entr'eux. PROPOSITION V. : * Art. 209. 212. SO IT un demi-cercle ADH, qui ait pour diame- F1G. 116. tre le premier ou grand axe AH d'une demie Ellipse ABH; foit menée par un point quelconque P de l'axe AH, une perpendiculaire à cet axe, qui rencontre l'Ellipse au point M, & le cercle au point N; par où & par le centre C foient tirées les droites CM, CN. Je dis que le Secteur Elliptique * Art. 42. ss. CAM est au Secteur circulaire CAN, comme la moitié C B. du petit axe de l'Ellipse, et à la moitié CA ou CD dis grand. -2 2-2 S Car par la proprieté ** de l'Ellipse PM. CB :: AP*PH. AC*CH ou A, & par la proprieté du cercle PN.CD :: AP×PH. AC*CH ou CA. Donc PM.CB :: PN.CD.ou PM.PN :: CB. CD. Et en tirant les racines quarrées, IP M. P N :: C B. CD ou CA. Or comme cela arrive toûjours en quel. que endroit que tombe la perpendiculaire PMN, il *Art. 186 s'enfuit * que l'espace Elliptique entier ABH A eft au demi cercle A DHA, & la portion APM de cet efpace à la portion APN du demi cercle, comme CB est à CD ou à CA. Mais le triangle rectangle CPM eft: au triangle rectangle C P N qui a la même hauteur, comme la base PM est à la base IPN, c'est à dire, comme CBest à CD ou à CA; & par consequent l'espace Ellip. rique APM plus ou moins le triangle CPM (plus lorfque A P est moindre que AC, & moins lorsqu'elle est plus grande) c'est à dire, le Secteur Elliptique CAM sera à L'espace circulaire APN plus ou moins le triangle CPN, c'est à dire, au Secteur circulaire CAN, comme CB est à CD ou à CA. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE I. 213. COMME le Secteur de cercle CAN est égal au rectangle de l'arc AN par la moitié du rayon CA ou CD; il s'enfuit que le Secteur Elliptique CAM est aussi égal au rectangle de ce même arc. A N par la moitié de CB. COROLLAIRE II. 214. Si l'on mene par un point quelconque G du grand axe AH autre que le point P, une perpendiculaire à cet axe, qui rencontre l'Ellipse au point &, & le *cercle au point F; je dis que les Secteurs Elliptiques ACE, ACM, sont entr'eux, comme les Secteurs circulaires ACF, ACN. Car ACM. ACN :: C B. CD. Et de même ACE. ACF :: CB. CD. Et partant ACM. ACN:: ACE. ACF. Et ACM. ACE :: ACN. ACF. D'où l'on voit que pour trouver un Secteur Elliptique ACM, qui soit au Secteur Elliptique ACE en raison donnée; il n'est question que de trouver un Secteur circulaire ACN qui soit en raison donnée au Secteur ACF, ou ce qui est la même chose, de diviser en raison donnée l'arc ANF ou l'angle AC F. PROPOSITION VI Theorême. 215. S'IL y a deux demi. Hyperboles AM, AN, ON FIG. 117. BM, DN, qui ayent pour centres le même point C, pour un 118. de leurs demi diametres la même droite CA, & pour les deux • demi-diametres conjugués au demi-diametre CA, deux droites quelconques CB, CD, situées sur la mème ligne ; & qu'on mene par un point quelconque P du demi-diametre CA (prolongé s'il est neceffaire) une droite parallele à CD, laquelle rencontre les Hyperboles aux points M, N; par lesquels & par le centre C, foient tirées les droites CM, CN: je dis que les Secteurs Hyperboliques CAM, CAN, ou CBM, CDN, feront entr'eux comme les demi-diametres conjugués CB. CD. -2 -2 118. On aura par la proprieté des deux Hyperboles * Art. 8t. AM, AN, ou BM, DN, ces deux proportions PM CB::CP.CA.CA :: PN.CD. Et par conféquent PM.PN :: CB.CD. Et en prenant les racines quarrées, P M. PN :: CB. CD. Or comme cela arrive toûjours en quelque endroit que tombe la parallele PMN, il s'enfuit* que les espaces Hyperboliques APM, * Art. 186. APN, ou CPMB, CPND, sont entr'eux comme C B est à CD. Mais les triangles CPM, CPN, sont en 1 |