Ayant mené par l'origine A du diametre donné la ligne A E qui falle avec ce diametre de part ou d'autre, l'angle PAE égal à l'angle donné K, & trouvé sur * Art. 14. cette ligne (prolongée de l'autre côté de A lorsqu'elle & 20. ne tombe point dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL) le point M où elle rencontre la parabole, on menera par le point du milieu Q de la ligne AM, une parallele QD au diametre AP, qui rencontre la tangente A Lau point D; & on divisera QD par le milieu en B. Je dis que la ligne B Qest le diametre qu'on cherche, qu'il a pour origine le point B, & pour parametre une troifiéme proportionnelle à BQ, & Q A.

Car 1o. La ligne AM étant divisée en deux parties égales au point par le diametre B Q, elle sera ordonnée * * Art. 11.1 de part & d'autre à ce diametre, & comme les lignes BQ, & 20. AP sont paralleles entr'elles, l'angle B QA que fait le diametre B Qavec son ordonnée QA sera égal à l'angle PAM égal à l'angle donné Kou fon complement à deux droits. 2°. Le point du milieu B de la ligne Q D * Art. 22. fera l'origine * de ce diametre, puisque A Qen est une & 23. ordonnée. 3°. Le parametre du diametre B Qeft * la * Art. 19. troifiéme proportionnelle à BQ, QA.

Lorsque l'angle donnné K n'est pas droit, il est clair FIG. 8. qu'on peut mener de part & d'autre du diametre A P deux differentes lignes A E qui fassent avec ce diametre des angles égaux à l'angle donné K; & qu'ainsi on pourra toûjours avoir deux solutions differentes, en observant que si l'une des deux lignes AE tomboit sur la tangente AL, le diametre donné AP fatisferoit luimême à la question. Mais lorsque cet angle K est droit, comme l'on ne peut mener qu'une seule ligne A E qui F1G. 9. fasse avec le diametre AP un angle droit, il s'enfuit qu'on ne peut avoir alors qu'une solution ; & qu'ainsi * * Art. 23. le diametre cherché fera l'axe.

il est à remarquer que les deux diametres BQ, BQ, qui satisfont au Problême lorsque l'angle donné K n'est FIG. 10. pas droit, sont semblablement posés de part & d'autre

+

de l'axe AP, & que leurs parametres sont égaux : ce qui se voit par la construction même, en supposant que le diametre donné AP soit l'axe, & en menant deux differentes lignes AE, AE de part & d'autre. Car les triangles rectangles ALM, ALM, & ADQ, ADQ étant visiblement égaux & femblables entr'eux, les lignes AD, AD;DQ, DQ; leurs moitiés BQ, BQ ; & les

* Art. 19. ordonnées QA, QA seront égales entr'elles ; * & par confequent les parametres le sferont auffi.

FIG. И.

COROLLAIRE.

28. IL est donc évident, 1o. qu'il n'y a qu'un feul diametre qui fasse avec ses ordonnées des angles droits ; & qu'ainsi il ne peut y avoir qu'un seul axe. 20. Qu'on peut toujours trouver deux differens diametres, qui fafsent avec leurs ordonnées des angles égaux à un angle donné, lorsque cet angle n'est pas droit; que ces deux diametres feront semblablement pofés de part & d'autre de l'axe, & qu'ils auront des parametres égaux.

29. Un diametre étant donné avec la tangente qui paffe par son origine, & fon parametre ; décrire la parabole par un

mouvement continu.

PREMIERE

MANIERE.

Si le diametre donné étoit l'axe, on la décriroit selon l'article 4o; mais lorsqu'il ne l'est pas, soit mo le diametre donné, & TMS la tangente qui passe par fon origine M. Cela posé.

On prendra fur le diametre Mo prolongé au delà de son origine M, la partie M D égale au quart de fon parametre ; & on tirera une perpendiculaire indéfinie DEà MD. On menera M F qui fasse avec la tangenre TMS un angle FMT égal à l'angle OMS; & ayant pris MF égale à MD, on décrira selon la définition

remiere, une parabole qui ait pour directrice la ligne DE, & pour foyer le point F. Je dis qu'elle sera celle qu'on demande.

Car, 1o. La ligne MO étant perpendiculaire à la directrice DE, sera parallele à l'axe; & par confequent un diametre selon la definition 7. 2°. La ligne TMS sera * * Art. 25. tangente en M. 3°. Le parametre du diametre MO sera * quadruple de M F.

SECONDE MANIERE.

* Art. 18.

Soit AP le diametre donné, & L A L la tangente qui FIG. 12. passe par son origine A. Cela posé.

Ayant pris sur le diametre A P, prolongé au delà de fon origine A, la partie AG égale à fon parametre, & mené une droite indefinie DGD qui fasse avec AG l'angle AGD égal à l'angle GAL pris du même côté ; on fera mouvoir une ligne droite indéfinie DM le long de G D toûjours parallelement à AG, en entraînant par fon extrêmité Dle côté DA de l'angle DAM égal à l'angle .. GAL, & mobile par son sommet autour du point fixe A. Je dis que l'interfection continuelle M de la ligne DM & du côté AM, décrira dans ce mouvement la parabole qu'on demande.

Car menant MP parallele à AL, les lignes MP, GD feront égales entr'elles, puisque l'angle APM ou GAL étant égal à l'angle AGD, elles seront également inclinées entre les paralleles GP, DM. Or les triangles AGD, MPA sont semblables : car l'angle MPA ou GAL est égal à l'angle AGD ; & l'angle PMA ou MAL égal à l'angle GAD, puisque retranchant des angles égaux GAL, DAM, le même angle DAL, les restes doivent être égaux. On aura donc AG. GD ou PM:: PM. AP, & partant GA * AP=PM; ďoù il clair que PM est * * Art. 19. une ordonnée au diametre AP qui a pour origine le & 21. point A, pour tangente la ligne LAL, & pour parametre la ligne AG. Ce qu'il falloit, &c.

Si le diametre AP étoit l'axe, alors les lignes GD, FIG. 13.