remiere, une parabole qui ait pour directrice la ligne DE, & pour foyer le point F. Je dis qu'elle fera celle qu'on demande. Car, 1o. La ligne MO étant perpendiculaire à la directrice DE, fera parallele à l'axe; & par confequent un diametre felon la définition 7o. 2°. La ligne TMS sera * * tangente en M. 3°. Le parametre du diametre MO fera quadruple de M F. SECONDE MANIERE. Art. 25. * Art. 18. Soit AP le diametre donné, & LA L la tangente qui IG. 12. paffe par fon origine A. Cela pofé. Ayant pris fur le diametre AP, prolongé au delà de fon origine A, la partie AG égale à fon parametre, & mené une droite indéfinie DG D qui falle avec AG l'angle AGD égal à l'angle GAL pris du même côté ; on fera mouvoir une ligne droite indéfinie D M le long de G D toûjours parallelement à AG, en entraînant par fon extrêmité D le côté DA de l'angle DAM égal à l'angle GAL, & mobile par fon fommet autour du point fixe A. Je dis que l'interfection continuelle M de la ligne DM & du côté A M, décrira dans ce mouvement la parabole qu'on demande. Car menant MP parallele à AL, les lignes MP, GD feront égales entr'elles, puifque l'angle APM ou GAL étant égal à l'angle AGD, elles feront également inclinées entre les paralleles GP, DM. Or les triangles AGD, MPA font femblables : car l'angle MPA ou GAL est égal à l'angle AGD; & l'angle PMA ou MAL égal à l'angle GAD, puifque retranchant des angles égaux GAL, DAM, le même angle DAL, les reftes doivent être égaux. On aura donc AG. GD ou PM:: PM. AP, & partant GA APP M ̊ ; d'où il clair que PM eft * * Art. 19. une ordonnée au diametre AP qui a pour origine le & 21. point A, pour tangente la ligne LAL, & pour parame tre la ligne AG. Ce qu'il falloit, &c. Si le diametre AP étoit l'axe, alors les lignes GD, FIG. 13. FIG. 14. → Hyp.. AL, feroient paralleles, & la démonftration devien droit plus facile; car l'on voit tout d'un coup que GD eft égale à P M, & que les triangles rectangles AGD,. MPA font femblables; d'où il fuit AG. GD ou P M::: PM. AP. Donc AGAP-PM, &c. la •2. PROPOSITION VIEN Problême. 30. UN diametre AP étant donné avec fon parametre, &• tangente AL qui paffe par l'origine A de ce diametre ; trou ver autant de differens points que l'on voudra de la parabole,. ou (ce qui est la même chofe) la décrire par plufieurs points. PREMIERE MANIERE. Ayant pris fur le diametre AP prolongé au delà de fon origine A, la partie AG égale à fon parametre, divifé AG en deux parties égales au point D, & mené une ligne droite indefinie AF perpendiculaire à AG; on décrira d'un point C pris partout où l'on voudra fur DA prolongée indéfiniment du côté de A, comme centre, & du rayon CG, un arc de cercle P F qui coupera le diametre AP & fa perpendiculaire AF en deux points P, F. On menera par le point P une parallele. MPM à la tangente AL, fur laquelle on prendra de part & d'autre les parties PM, PM, égales chacune à AF. On trouvera de la même maniere autant de coule ple de points M que l'on voudra; par lefquels on fera paffer une ligne courbe MAM qui fera la parabole qu'on demande. Car tous les arcs PF paffant par le même point G,, & ayant leurs centres fur la ligne GA prolongée, s'il eft neceffaire du côté de A, auront pour diametres les lignes GP; & par conféquent la proprieté de ces cercles donnera toûjours AFGAA P. Mais chaque PM. est égale à fa correfpondante F, & de plus parallele * à la tangente AL qui paffe par l'origine A du diametre AP; elle fera donc * ordonnée à ce diametre. C'est * Art. 19. pourquoi la Parabole qu'on demande, doit paffer par & 21. tous les points. M. trouvés comme l'on vient d'enfei gner. Il eft vifible qu'on peut fe tromper en traçant les par ties de la parabole, qui joignent les points trouvés ; mais on voit en même temps que l'erreur ne peut être fenfible, lorfque ces points font fort près les uns des autres. Ceux qui ont befoin de décrire fouvent des Sections Coniques, préferent ordinairement cette metho de, de les décrire par plufieurs points; parce que les machines dont on fe fert pour les décrire par un mouvement continu, étant compofées, font fouvent fautives, & peu exactes dans la pratique. SECONDE MANIERE. & Ayant mené par un point quelconque Z de la tan. FrG. 15. gente AL, une parallele indéfinie LE au diametre A P; on prendra fur cette ligne & fur le diametre AP prolongé au delà de fon origine A, les parties LE, È E, EE, &c. AF, FF, FF, &c. toutes égales entr'elles, de telle grandeur qu'on voudra. On marquera fur LE, le point M, en forte que L M foit troifiéme proportionnelle au parametre donné du diametre AP, & à la partie AL de la tangente. On tirera enfin des points A, M, les lignes AE, AE, AE, &c. MF, MF, MF, &c; je que les points d'intersection N, N, N, &c. de chaque A E, avec la correfpondante MF, feront tous à la parabole qu'on demande. dis Car menant par le point marqué M, & & par l'un des points trouvez N, les lignes MP, NQ, paralleles à la tangente AL, & nommant AP, x; PM ou AL, y; AQ, u; QN; 2; les triangles semblables N QA,ALE & MPF, NQF, donneront ces deux proportions N (༢), (2), QA (u) :: AL (y), LE ou AF. & MP C (y). PF ou PA+A F (x+” 2 ) :: NQ (2)· Q Fou QA+AF (u u+"'.) • D'où en multipliant les Extrê u 2 え mes & les Moyens, l'on forme l'égalité «y+"323 x+uy; & effaçant de part & d'autre uy, & multipliant par 2, il vient uyyxzz, qui fe reduit à cette proportion AP (x.). A Q (u) :: MP (yy) NQ (22.). Or par la conftruction, le quarré de AL ou de PM, eft egal au rectangle de la partie A P du diametre donné, par fon parametre. Cette ligne PM fera donc une ordonnée au diametre AP, & par confequent QN en * Art.8.& fera * une autre. Ainfi le point N fera l'un des points de la parabole qui tombent d'un córe du diametre AP: pour les avoir de l'autre, il n'y a qu'à prendre fur les droites indéfinies LE, F, les parties égales Z E, EE, &c. A F, FF, &c de l'autre côte des points L, A. Art. 19. ரு 21. .20. * Si au lieu du parametre du diametre AP que l'on fuppofe ici donne, l'on avoit un des points M de la parabole, ce qui arrive fouvent il n'y auroit qu'à mener par ce point, une parallele indefinie LE, au diametre AP, & achever le refte comme cy-dessus. : |