FIG. 14.

Hyp.

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AL, seroient paralleles, & la demonstration devien droit plus facile; car l'on voit tout d'un coup que GD est égale à PM, & que les triangles rectangles AGD,. MPA font semblables; d'où il suit AG. G Dou PM:::

PM. AP. Donc AG*APPM, &c..

PROPOSITION VILL

Problême.

30. Un diametre AP étant donné avec son parametre, la tangente AL qui passe par l'origine A de ce diametre ; trouver autant de differens points que l'on voudra de la parabole, ou (ce qui est la mème chose) la décrire par plusieurs points.

PREMIERE MANIERE.

Ayant pris sur le diametre AP prolongé au delà de son origine A, la partie AG égale à son parametre, divise AG en deux parties égales au point D, & mene une ligne droite indéfinie AF perpendiculaire à AG; on décrira d'un point C pris partout où l'on voudra fur-DA prolongée indéfiniment du côté de A, comme centre, & du rayon CG, un arc de cercle P F qui coupera le diametre A P & fa perpendiculaire A Fen deux points. P., F. On menera par le point P une parallele MPM à la tangente AL, fur laquelle on prendra de part & d'autre les parties PM, PM, égales chacune à AF. On trouvera de la même maniere autant de con ple de points M que l'on voudra; par lesquels on fera passer une ligne courbe MAM qui fera la parabole qu'on

demande.

Car tous les arcs PF passant par le même point G, & ayant leurs centres sur la ligne GA prolongée, s'il eft necessaire du côté de A, auront pour diametres les lignes GP; & par conféquent la proprieté de ces cercles donnera toûjours AF = GA * A P. Mais chaque PM eft * égale à sa correspondante AF, & de plus parallele

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à la tangente A L qui passe par l'origine A du diametre AP; elle fera donc * ordonnée à ce diametre. C'est + Art. 19. pourquoi la Parabole qu'on demande, doit passer par & 21. tous les points M, trouvés comme l'on vient d'enfeigner.

Il est visible qu'on peut se tromper en traçant les para ties de la parabole, qui joignent les points trouvés ; mais on voit en même temps que l'erreur ne peut être sensible, lorsque ces points font fort près les uns des autres. Ceux qui ont besoin de décrire souvent des Sections Coniques, préferent ordinairement cette metho de, de les décrire par plusieurs points; parce que les machines dont on se sert pour les décrire par un mouvement continu, étant composées, sont souvent fautives, & peu exactes dans la pratique...

SECONDE MANIERE.

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Ayant mené par un point quelconque I de la tan. FIG. 15. gente AL, une parallele indéfinie L E au diametre A P ; on prendra fur cette ligne & fur le diametre AP prolongé au delà de son origine A, les parties LE, ÈE, EE, &c. A F, FF, FF, &c. toutes égales entr'elles, & de telle grandeur qu'on voudra. On marquera sur LE, le point M, en sorte que L M soit troifiéme proportionnelle au parametre donné du diametre AP, & à la partie A L de la tangente. On tirera enfin des points A, M, les lignes AE, AE, A E, &c. MF, MF, MF, &c; je dis que les points d'intersection N, N, N, &c. de chaque A E, avec la correspondante MF, feront tous à la parabole qu'on demande.

Car menant par le point marqué M, & par l'un des points trouvez N, les lignes MP, NO, paralleles à la tangente AL, & nommant AP, x; PM ou AL, y; AQ, u; QN, Z; les triangles semblables N QA, ALE, & MPF, NQF, donneront ces deux proportions QN (2); QA (u) :: AL (y), LE ou AF. & MP

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(y). PF ou PA+AF (x + 2) :: NQ (2). QF ou QA+ AF (U+). D'où en multipliant les Extrêmes & les Moyens, l'on forme l'égalité ay+"/ xz+uy; & effaçant de part & d'autre uy, & multipliant par z, il vient uyy=xzz, qui se reduit à cette proportion AP (x). AQ (u) :: MP (yy) NQ (zz). Or par la construction, le quarré de A Lou de PM, est egal au rectangle de la partie A P du diametre don. * Art. 19. né, par son parametre. Cette ligne PM fera donc * une ordonnée au diametre AP; & par consequent QNen * Art.8.& sera * une autre. Ainsi le point & fera l'un des points de la parabole qui tombent d'un côté du diametre AP: pour les avoir de l'autre, il n'y a qu'à prendre sur les droites indéfinies LE, F, les parties egales LE, EE, &c. AF, FF, &c de l'autre côte des points L, A.

20.

21.

Si au lieu du parametre du diametre AP que l'on suppose ici donne, l'on avoit un des points M de la parabole; ce qui arrive souvent : il n'y auroit qu'à mener par ce point, une parallele indefinie ZE, au diametre AP, & achever le reste comme cy-dessus.