FIG. 17. FIG. 16. l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre Axe: ainfi MP eft Ordonnée à l'Axe Aa, & M K à l'Axe Bb. 8. La troifiéme proportionnelle aux deux Axes, est appellee Parametre de celui qui eft le premier terme de la proportion. Ainfi fi l'on fait comme le premier Axe si a, eft au fecond Axe Bb, de même le fecond Bb, à une trofieme proportionnelle pi cette ligne p fera le Parametre du premier Axe. 9. Toutes les lignes droites qui paffent par le centre C, & qui font terminées de part & d'autre par l'Ellipfe, font appellées Diametres. 10. Une ligne droite qui ne rencontre l'Ellipfe qu'en un feul point, & qui étant continuée de part & d'autre, n'entre point dedans, mais tombe au dehors, eft appellée Tangente en ce point. REMARQUE. 31. Si l'on conçoit que les deux foyers F,ƒ, & le centre C fe réüniffent en un feul point, il est visible que I'Ellipfe fe changera alors en un Cercle qui aura pour rayon la droite CM, égale à la moitié de la corde CMC, attachée par ces deux bouts au point C, qui en fera le centre. On pourra donc confiderer un cercle comme une espece particuliere d'Ellipfe, dans laquelle la diftance des foyers eft nulle, de forte que tout ce qu'on démontrera dans la fuite de l'Ellipfe, telle que puiffe être la diftance de ces deux foyers, fe peut auffi appliquer au cercle, en fuppofant que cette distance devienne nulle. L COROLLAIRE I. 32. Iz suit de la définition premiere, que fi l'on mene d'un point quelconque M de l'Ellipfe, aux deux foyers F,f, les droites MF, Mf; leur fomme fera toûjours la même. COROLLAIRE II. 33. LORSQUE le point M tombe en A, il est vifible que MF devient AF, & que Mf devient Af: de même lorfque le point M tombe en a, il eft encore vifible que MF devient a F, & que Mf devient af. On aura donc AF Af, ou 2 A F+Ff=a F+af, ou 2aff F; & partant A F—af. D'où il fuit: 1°. Que la fomme des deux droites MF, M f, est toûjours égale au premier axe A a, puifque Mf+ME N • Aƒ+AF = Aƒ+fa. 2°. Que la distance Ff des foyers, eft divisée en deux parties égales par le centre C, puifque CAAF ou CF Caaf ou Cf. 34.5 COROLLATRE II I. 34. Si de l'extremité B du fecond axe Bb, l'on mene aux deux foyers F, f, les droites BF, Bf; il eft clair que les triangles rectangles BCF, B Cf, seront égaux 3 & qu'ainfi l'hypothenuse BF, est égal à l'autre hypothenufe Bf: & par confequent BF, ou Bf CA ou Ca, puifque * B F + Bf⇒ Aa. On prouve de même * Art. 33. que Fb ou bf CA ou Ca. D'où l'on voit : = = 1°. Que le fecond axe Bb, est divifé en deux parties égales par le centre C; car les triangles rectangles FCB, Fcb feront égaux, puifqu'ils ont des hypothenufes égales FB, Fb, & le côté FC commun. 2°. Que le second axe Bb, eft toûjours moindre que le premier Aa; puifque fa moitié BC étant l'un des côtez du triangle rectangle BCF, fera moindre que fon hypothenuse BF, qui est égale à la moitié CA du pre mier axe Aa. 3°. Que fi l'on décrit de l'une des extrémitez B du petit ou fecond axe Bb comme centre, & du rayon BF égal à CA, moitié du premier ou grand axe Aa, un cercle, il coupera ce grand axe en deux points F,ƒ, qui feront les deux foyers de l'Ellipfe. ES COROLLAIRE IV. 35. Les mêmes chofes étant pofées, fi l'on nomme CA ou BF, t; CF, m; le triangle rectangle B C F, don. nera BC-tt-mm. Or AF-t—m, & Fa=t+m,, & partant AF Fatt mm. D'où il est évident que le quarré de la moitié C B du petit axe Bb, est égal au rectangle de AF par Fa parties du grand axe Aa, prises entre l'un des foyers F, & fes deux extremités A,a. COROLLAIRE V. 36. Il fera facile à present de décrire une Ellipfe dont L * Art. 34. les deux axes Aa, Bb, font donnez. Car FIG. 16. ayant trouvé fur le premier ou grand axe Aa, les foyers F, f, on attachera dans ces points, les extremités d'un fil F Mƒ, dont la longueur égalera celle de cet axe; & ayant dé. crit par le moyen de ce fil, une Ellipfe comme l'on a enfeigné dans la définition premiere, il est évident qu'elle fera celle qu'on demande. I PROPOSITION I Theorême. 37. Si l'on mene l'ordonnée MP au premier ou grand axe Aa, & qu'on prenne fur cet axe la partie AD égale à MF; Je dis que CA. CF:: CP. CD. z; Ayant nommé, comme auparavant, les données CA, t; CF, m; & de plus les indetermnités CP, x; PM,y;. & l'inconnue CD, ; il peut arriver deux differens cas. Premier cas. Lorfque le point P tombe au dessus du centre C. Comme P F eft toûjours moindre que Pf; il. s'enfuit que MF ou A D fera moindre que Mfou a D ; c'est pourquoi AD où MFtz, aD ou Mf=t +2, FP=Mx ou xm (felon que le point P tombe au deffous ou jau deffus du foyer F), Pf-x+m. Or les triangles rectangles M P F, MPf, donnent t t... 2tz+zz=yy + m m − 2 m xxx, & tt+2+z+ zz➡yy+mm +2'm x + xx. Donc fi l'on retranche par ordre chaque membre de la premiere égalité de ceux de la feconde, on aura 4tz — 4 mx; d'où l'on tire : t Н Second cas. Lorfque le point P tombe au deffous du centre C, comme PF est toûjours plus grande que Pf, il s'enfuit que MF ou AD, fera plus grande que Mf ou a D c'est pourquoi AD ou MFt+2, a D ou Mf=tz, P F = x + m, P. f—x—m ou m—x (se-, lon que le point P tombe au deffous ou au deffus du foyer f. Or les triangles rectangles MPF, MPf, donnent tt2z+zz=yy + mm + 2 m x + xx, & tt 27 z+22=yy+mm — 2 M x + x, x. Donc fi l'on retranche par ordre chaque membre de la feconde égalité de ceux de la premiere, on aura 4t4mx; d'où l'on tire encore CD (2)=**. Par consequent en l'un & l'autre cas on aura CA (t), CF.(m) :: CP (x). CD (2). Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE. m x mx 38. I Left donc évident que fi l'on nomme les données CA ou Ca, t; CF ou Cf, m; & l'indéterminée CP, x; on aura toûjours M Ftt~~~, & Mf = t + **, lors. lorf 14 co que le point P tombe au deffus du centre C : & qu'au - contraire on aura M Ft,& Mf—t—”, lorf qu'il tombe au deffous. PROPOSITION II. Theorême. x 39. Le quarré d'une ordonnée quelconque MP à l'axe Aa, eft au rectangle de AP par Pa, parties de cet axe, comme le quarré de fon conjugué Bb, est au quarré de l'axe Aa. J 3 Il faut prouver que PM. AP Pa:: Bb. Aa. ༢ Les mêmes chofes étant pofées que dans l'article precedent, fi l'on met dans l'égalitétt ±27z+2L=YY* * Art. 37. +m m + 2 m x + xx que l'on a trouvée par le moyen du triangle rectangle MP F, à la place de fa valeur on formera toûjours celle ci tty y = t — t t x x ` mmt t + mm xx, laquelle étant réduite à une propor *Art. 35. tion, donne PM (yy). A P× Pa (tt-xx) :: BC +mx *Art. 39. FIG. 18. (tt mm). C.A" (tt) :: Bb. Aa. Ce qu'il falloit,&c.. I 40. Si l'on mene une ordonnée MK à l'autre axe C'est à dire que le quarré d'une ordonnée quelcon que M K à l'axe Bb, eft au rectangle de BK par Kb. parties de cet axe, comme le quarré de fon conjuguć Aa, eft au quarré de l'axe Bb. COROLLAIRE FONDAMENTAL. 41. Si l'on nomme l'un ou l'autre axe A a, 2t ; 2t; fon 19. conjugué Bb, ac; fon parametre p; chacune de fes ordonnées P M,y; chacune de fes parties CP prifes entre le centre, & les rencontres des ordonnées, x; on * Art. 39. aura * toûjours PM (yy). A P × P a ( t t — x x ) :: Bb 3 (4cc). Aa (4tt) :: p. Aa (2t). Puifque felon la défi- 4 cc 2 t les moyens de la proportion yy. ttxx: 4cc. 4tt, &. enfuite |